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D'Ortona - Matematica Finanziaria - Unisannio

Matematica Finanziaria (6cfu) (Appunti - N.E. D’Ortona)

1

D'Ortona - Matematica Finanziaria - Unisannio

Titolo della lezione

Prestiti Indivisi (parte 3)

2

D'Ortona - Matematica Finanziaria - Unisannio

Indice 1. Tasso effettivo di un prestito (TAEG) 2. Valore di un prestito 3. Leasing finanziario

3

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Titolo della lezione

Tasso effettivo di un prestito

4

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TAEG Definizione. Il tasso effettivo di un prestito è il tasso che rende il valore attuale delle quote d’ammortamento e delle spese periodiche eguale alla somma netta che il debitore ha incassato. Se espresso su base annua è detto tasso annuo effettivo globale (TAEG). Siano:

;0

la somma mutuata

|

; ,

1,2,... , le rate d’ammortamento

|

; ,

1,2,... , le spese periodiche

;0

la spesa iniziale il tasso annuo di remunerazione del prestito

*

il tasso annuo effettivo globale

La ricerca del tasso annuo effettivo richiede la risoluzione dell’equazione:

∑

(1

*

)

1

5

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(continuazione) Graficamente, si ha: Dove:

∑ 1

∑

1

( *)

1

( *)

∑

(1

*

)

1

1

2

*

2( )

0

* 1

* 2

( *)

∑

(1

*

)

1

*

6

Esempio. Un prestito di 10.000 euro viene concesso al tasso effettivo annuo di interesse del 5%, prevedendo delle spese iniziali nella misura dell’2% del valore del prestito e delle Spese periodiche nella misura dell’1,5% della rata. Determinare il taeg. 5|0 , 05

2%

10.000

0,05 1 1,05

Ipotesi:

2.309,7

5

200

1,5%

34,65,

∑

(1

k 0 1 2 3 4 5

1,2,...,5 *

)

1 5

10.000 200

∑ 2.309,7

34,65 (1

*

i1 5% vk

i2 7%

(Rk+Sk)vk vk 1 0,95 2232,71 0,91 2126,39 0,86 2025,13 0,82 1928,70 0,78 1836,86

Rvk= A-S =

)

10149,79 9800,00 349,79 g2 =

g1 =

1 5

*

( )

∑

2.344,35 (1

*

)

9.800 0

i*

0,063

1 *

2 2

( 2)

1

( 1)

( 2)

(Rk+Sk)vk 1 0,93 2190,98 0,87 2047,64 0,82 1913,68 0,76 1788,49 0,71 1671,49 9612,28 9800,00 -187,72

(continuazione).

Scadenze

A

06/03/2015 06/03/2016 06/03/2017 06/03/2018 06/03/2019 06/03/2020

10.000

Tasso prestito i= TAEG i1 TAEG i2

Rk -2.309,70 -2.309,70 -2.309,70 -2.309,70 -2.309,70

5,0% 5,7% 6,3%

0,7% 1,3%

S Sk (1,5% x Rata) (2% x A) -200 -34,65 -34,65 -34,65 -34,65 -34,65

A+S

Rk + Sk

9.800

Note Senza costi 14,7%Costi iniziali 25,7%Costi iniziali e periodici

-2.344,35 -2.344,35 -2.344,35 -2.344,35 -2.344,35

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Titolo della lezione

Valore di un prestito

9

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Valore di un Prestito Definizione: Il valore del prestito all’epoca di negoziazione è il controvalore delle quote d’ammortamento non ancora scadute, ad un tasso di interesse coerente con le condizioni del mercato finanziario. Siano: |

;

,

1,2,...

: le quote d’ammortamento del prestito

: il tasso effettivo uniperiodale di valutazione

, (

1

)

: l’epoca di valutazione

Il valore del prestito in t, al tasso di valutazione j, risulta:

( )

∑

(1

)

(

)

1

Osservazione:

  ( ):   

, se , se , se 10

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Nuda proprietà e Usufrutto di un Prestito Inoltre, per la scomponibilità (e negoziabilità) delle quote componenti la rata, si ha:

( )

∑

(1

)

(

)

1

∑

(1

)

(

∑

)

1

(1

)

(

)

1

( )

( )

( )

dove: ( )

∑

(1

)

(

)

(1

)

(

)

1

( )

∑ 1

: Nuda proprietà = valore capitale delle quote capitali al tasso di valutazione j. : Usufrutto = valore capitale delle quote interessi al tasso di valutazione j. 11

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Esempio Un prestito di A = 10.000 € è ammortizzabile in 5 anni al tasso effettivo annuo composto i = 5%, mediante una rata annua costante. Si valuti il prestito, nelle sue componenti di nuda proprietà e usufrutto dopo 3 anni e 3 mesi assumendo un tasso di valutazione annuo costante j = 9%. Soluzione. Dati: A = 10.000€; i = 5%; n = 5; R = costante; j = 9%; t = 3 + 3/12 anni. = 3,25 anni. Si tratta, in parte, di un problema già esaminato in precedenza. Il piano d’ammortamento risultava:

10.000 2.309,7

1.809,7

500,0

8.190,1

1.809,7

3

2.309,7 2.309,7

1.900,2 1.995,2

409,5 314,5

6.289,9 4.294,7

3.709,9 5.705,1

4

2.309,7

2.095,0

214,7

2.199,7

7.800,1

5

2.309,7

2.199,7

110,0

-

10.000 12

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(continuazione) Tenendo conto dell’epoca di valutazione t = 3,25, il valore del prestito e le sue componenti risultano:

(9%) 2.309,7 1,09

3, 25

( 4 3, 25)

2.309,7 1,09

( 5 3, 25)

3.976,42

3, 25

(9%) 2.095 1,09

( 4 3, 25 )

2.199,7 1,09

( 5 3, 25)

3.693,03

3, 25

(9%) 214,7 1,09

( 4 3, 25)

110 1,09

(5 3, 25)

283,39

13

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Formula di Makeham Si consideri un prestito che prevede quote d’ammortamento periodiche. In tal caso si conoscono formule (di Makeham) semplificate di calcolo del valore del prestito e delle sue componenti. Siano: |

;

,

1,2,...

: le quote d’ammortamento del prestito;

: il tasso effettivo uniperiodale di valutazione;

,

(

0,1,...,

1)

: l’epoca di valutazione

14

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L’usufrutto in t, al tasso di valutazione j, vale:

∑

( )

(1

∑

)

1

(1

) 1

∑

(

1

∑ (1

)

1)

)

2

(1

1

(1

1

)

∑

3

...

1

...

2 1

(1

(1

1

)1

(1

1

) 1

(1

)

(1

 )  

(

)

2 2

...

1

)

(1

)

2

...

(1

)

1

(1

)

2

... (1

)

(

)

|

1

∑

1 (1

)

1

 ∑  1

∑ 1

( )

( )

( )

Formula di Makeham 15

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(continuazione) Pertanto, il valore del prestito risulta:

( )

( )

( )

La nuda proprietà vale:

( )

( )

16

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Esempio Un prestito di A = 10.000 € è ammortizzabile in 5 anni al tasso effettivo annuo composto i = 5%, mediante una rata annua costante. Si sviluppi il piano di ammortamento e si valuti il prestito, con la formula di Makeham, dopo 3 anni assumendo un tasso di valutazione annuo costante j = 9%. Soluzione. Dati: A = 10.000€; i = 5%; n = 5; R = costante; j = 9%; t = 3 anni. Si tratta, in parte, di un problema già esaminato in precedenza. Piano d’ammortamento

10.000 2.309,7

1.809,7

500,0

8.190,1

1.809,7

2.309,7

1.900,2

409,5

6.289,9

3.709,9

4

2.309,7 2.309,7

1.995,2 2.095,0

314,5 214,7

4.294,7 2.199,7

5.705,1 7.800,1

5

2.309,7

2.199,7

110,0

-

10.000 17

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(continuazione) All’epoca di valutazione t = 3, risulta: Nuda proprietà: 3

(9%) 2.095 1,09

( 4 3)

2.199,7 1,09

( 5 3)

3.773,46

Debito residuo: 3

4.294,7

Valore del prestito 3

(9%)

3

(9%)

0,05 0,09

3

3

(9%)

0,05 4.294,7 3.773, 46 0,09 3.773, 46 289,58 4.063,04

3.773, 46

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Valore del prestito nell’ammortamento francese Si consideri un prestito che prevede l’ammortamento in quote periodiche, costanti. Siano:

|

;

,

1,2,...

: le quote d’ammortamento del prestito;

: il tasso effettivo uniperiodale di valutazione;

,

0,1,...,

(

1)

: l’epoca di valutazione.

Il valore del prestito, risulta:

( )

∑

(1

)

|

|

|

1

19

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(continuazione): Nuda proprietà

∑

( )

(1

)

)

1

1

∑

(1

|

(1

)

1

|

(1

1

)

∑ (1

) (1

)

) (1

)

1

|

(1

)

(1

)

(

)

1 (1 (

)

(1

)

(

1

(1 (1

) )

)

|

(1

)

(1

)

(

)

,

20

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(continuazione): Usufrutto

( )

( )

( ) (1

)

(

)

(1

)

(

)

|

(1

|

) (1

|

)

|

|

|

,

21

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Esempio Un prestito di A = 10.000 € è ammortizzabile in 5 anni al tasso effettivo annuo composto i = 5%, mediante una rata annua costante. Si calcoli il valore del prestito, dopo 3 anni, utilizzando le formule di Makeham e assumendo un tasso di valutazione annuo costante j = 9%. Soluzione. Si tratta, in parte, di un problema già esaminato in precedenza. Piano d’ammortamento

10.000 2.309,7

1.809,7

500,0

8.190,1

2.309,7

1.900,2

409,5

6.289,9

4

2.309,7 2.309,7

1.995,2 2.095,0

314,5 214,7

4.294,7 2.199,7

5

2.309,7

2.199,7

110,0

-

22

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(continuazione) All’epoca di valutazione t = 3, risultano: Nuda proprietà: 2.309,7 3 (9%)

(1 0,05)

( 5 3)

(1 0,09) 0,09 0,05

( 5 3)

2.309,7 1,6337446 3.773,46

Usufrutto: 3

(9%)

2.309,7 0,05

5 3|0 ,05

5 3|0 ,09

0,09 0,05 1,8594104 1,7591112 2.309,7 0,05 0,04 289,58

Valore del prestito: 3 (9%)

5 3|0, 09

2.309,7

1 1,09 ( 5 0,09

3)

4.063,04 23

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Titolo della lezione

Leasing finanziario

24

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Descrizione Definizione. Il leasing finanziario è un contratto mediante il quale una parte (azienda locatrice) concede in un uso uno o più beni strumentali (mobili, immobili o mobili registrati), per un periodo di tempo determinato, ad un’altra azienda (azienda locataria) dietro corresponsione di adeguati canoni (costanti o variabili) a scadenze prefissate (di solito infrannuali). Al termine del contratto l’azienda locataria ha la possibilità di riscattare il bene in uso con il versamento di una somma (il prezzo di riscatto).

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Rappresentazione analitica. Indichiamo con: • P0: il prezzo del bene (o valore di fornitura) oggetto di contratto di leasing; • Pr: Il prezzo di riscatto al termine del contratto (percentuale valore fornitura); • n: la durata in anni del contratto; • m: il numero di canoni corrisposti in ogni anno di contratto; • N = nm; il numero totale dei canoni • R: canone leasing costante corrisposto in via anticipata, con periodicità infrannuale (m = 2,3,4,6,12). Si possono concordare profili di canoni variabili, ottenuti assegnando il primo e i rapporti tra di essi. Se 0=1, 1, …, N-1 rappresentano questi rapporti la successione dei canoni risulta: R0, R1= R0 1 …, Rs = R0 s, …, RN-1 = R0 N-1 • i: il tasso annuo di interesse, calcolato sulla base di un tasso di sconto di mercato d, maggiorato da una percentuale di utile , cioè il tasso di interesse equivalente al tasso di sconto d+ = d’: i = d’/(1-d’) • C: l’anticipo versato dall’azienda locataria alla stipula del contratto in aggiunta 26 al primo canone.

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Determinazione dei canoni I° Caso: Canoni periodici costanti anticipati, con un anticipo pari ad una percentuale del prezzo del bene. Il prezzo del bene risulta: 1

∑ (1

0

)

(1

)

0

e il valore dei canoni costanti risultano:

(1

0

)

1

∑(1

)

0 0

(1

)

&&( | )

27

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Determinazione dei canoni 2° Caso: Canoni periodici variabili anticipati, con un anticipo pari ad una percentuale del prezzo del bene. Il prezzo del bene vale: 1

∑

0

(1

0

)

(1

)

0

e il valore del primo canone è dato da:

(1

0 0

)

1

∑

(1

)

0

28

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Determinazione dei canoni 3° Caso: Canoni periodici costanti anticipati, con un anticipo costituito da h - 1 di questi canoni: Il prezzo del bene è

0

(

∑ (1

1)

)

(1

)

0

e il valore dei canoni è dato da:

0

 1 

1

|

  

1

Osservazione. Se i canoni sono posticipati, la precedente formula di R tiene, considerando h (anziché h-1) numero di canoni anticipati. 29

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Esempio Tizio stipula un contratto di leasing relativo a una autovettura automobilistica il cui costo è di 33.000 €. Il contratto prevede il pagamento di 36 canoni mensili anticipati, tutti dello stesso importo; tasso mensile 1,5%. All’atto della stipulazione del contratto Tizio deve corrispondere 5 canoni. Il valore di riscatto viene fissato nella misura di 1.800€. Soluzione. Dati: P0 = 33.000€; Pr = 1.800€; i1/12 = 1,5%; n = 3; m = 12; N = 36; h -1 =5 h = 6. Per il principio di equivalenza finanziaria, il prezzo del bene oggetto del contratto di leasing deve essere uguale al valore attuale delle somme a carico del locatore. Pertanto, deve valere l’uguaglianza:

33.000 5 33.000 5 33.000 6

&&

36 5|0 ,015

(1

1.800 1,015

36 5 1|0 ,015

36 6|0 ,015

36

) 1.800 1,015 36

1.800 1,015

36

30

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(continuazione) I canoni mensili risultano:

33.000 1.800 1,015 6 36 6|0, 015

36

33. 000 1.800 0,58509 6 24,01584 1.064,33€ Osservazione. Distribuzione temporale dei flussi 6R

R

…

0

1

…

R N - h -1

Pr N

mesi

31

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Esempio Un’azienda ha bisogno di un impianto il cui costo è di 65.000€, a tal fine stipula un contratto di leasing con una società, sulla base del quale si impegna a pagare mensilmente 48 canoni posticipati e costanti, versandone 5 anticipatamente. Determinare l’importo di ciascun canone sapendo che il tasso mensile dell’operazione di leasing è pari all’1,5% e che il prezzo di riscatto, a scadenza, è pari a 8.000€. Soluzione. Dati: P0 = 65.000€; Pr = 8.000€; i1/12 = 1,5%; n = 4; m = 12; N = 48; h = 5. Per il principio di equivalenza finanziaria, il prezzo del bene oggetto del contratto di leasing deve essere uguale al valore attuale delle somme a car...