Matemáticas I 9 Integrales Impropias PDF

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Temario de Calculo en la Universidad de Navarra, Tecnun...

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Tema 9

9. tit Integrales impropias

En el tema anterior se ha definido la integral propia considerando 1) intervalos de integración [a, b ] acotados 2) la función integrando f (x) es una función acotada en [a, b ] . Se desea ahora ampliar el concepto de integral, extendiéndola a los casos en que dejan de cumplirse alguna o ambas restricciones antes citadas. Este es el objetivo de las integrales impropias, que se introducen como límites de las integrales definidas.

9.1. Integrales de funciones acotadas en intervalos no acotados 9.1.1. Definiciones Definición 1: Dada una función f (x) definida en un intervalo [a, ∞ ) e integrable en todo intervalo [a, t ] con t ≥ a , se define integral impropia de f (x) en [a, ∞ ), y se designa

∞

∫a ∞

∫a

f ( x) dx , al límite t

f ( x) dx = lim ∫ f ( x) dx t →∞ a

suponiendo que exista este límite. Según si el límite anterior es finito o infinito, se dice que la integral impropia ∞

∫a

f ( x) dx es convergente o divergente, respectivamente.

Ejemplos:

[

t 1 x x lim lim arctg x2 dx = 4 4 dx = ∫0 1 + x t →∞ ∫0 1 + x t 2 →∞ La integral es convergente. ∞

•

∞

1 dx = lim t 1 dx = 2 lim ∫ t →∞ 1 x t →∞ x La integral es divergente.

∫1

•

[ x]

t 1

]

t 0

(

=

1 1π π lim arctg t 2 = = → ∞ t 2 22 4

)

= 2 lim t − 1 = ∞ t→∞

Definición 2: Dada una función definida en un intervalo (− ∞, b ] e integrable en todo intervalo [t, b ] con t ≤ b , se define integral impropia de f (x ) en (− ∞, b ] , y se designa b

∫−∞ f ( x) dx , al límite b

∫−∞ f ( x) dx = tlim →−∞ ∫t

b

f ( x) dx

123

Funciones de una variable

suponiendo que exista este límite. Según si el límite anterior es finito o infinito, se dice que la integral impropia b

∫−∞ f ( x) dx es convergente o divergente, respectivamente. Observación: f (x) sea positiva en [a, ∞ ), la integral impropia

Cuando la función

∞

∫a

f ( x) dx

coincide con el valor del área de la región limitada por la gráfica de la función y = f (x) , el eje OX y la recta x = a . Evidentemente, si lim f (x ) = l ∈ R o lim f ( x ) = ∞ , la integral impropia es divergente y x →∞

x →∞

lo mismo ocurre en el caso de la integral impropia en intervalos de la forma (− ∞, b] . (Cfr. Fig. 9.1). Solamente si lim f ( x) = 0 la integral impropia puede ser convergente, x →∞

aunque esta condición no es suficiente.

y

y

lim f ( x ) = ∞

x →∞

lim f (x ) = l

x →∞

y=l

a

t→∞

x

Fig. 9.1a. Integral impropia divergente ∞

∫a

a

t→∞

Fig. 9.1b. Integral impropia divergente ∞

∫a

f ( x) dx = ∞

f ( x ) dx = ∞

Ejemplo Área de la región R, limitada por la curva x 2 y = 1, la recta y = x y el eje OX. Intersección curva-recta: x 2 y =1 ⇒ x = 1, y = 1  y x =  1

t 2 ∞ 1 µ (R ) = ∫ 0 x dx + ∫ dx2 = x  + lim− 1  = 1 x 2  0 t→∞ x  1

= 1 − lim 1 + 1 = 3 u 2 . 2 t →∞ t 2

124

Fig. 9.2

x

Tema 9. Integrales impropias

9.1.2. Caso particular a destacar La integral impropia

∞

∫c

1 dx (c > 0) es convergente si α > 1 y divergente si α ≤ 1 . xα

Demostración •

si α ≠ 1 ∞

∫c •

t

1 dx = lim 1 x 1−α  = 1 lim  t 1−α − c  c 1 − α t→∞  t → ∞ 1− α xα

1−α

 c 1− α α −1  =     ∞

si α > 1 si α < 1

si α = 1 ∞ 1 t ln x]c = lim(ln t − ln c ) = ∞ ∫ c x dx = tlim t →∞ →∞

Con este caso particular se ve claramente cómo no es suficiente la condición lim f ( x) = 0 para que su integral impropia en un intervalo no acotado [a, ∞ ) sea x →∞

convergente. Por decirlo de un modo intuitivo, la función f (x) tiene que tender a 0 “suficientemente rápido” (Cfr. Fig. 9.3).

y 4

f (x ) = 1 x2 g (x ) = 1 x

3

h( x) = 1 x

2

1

x

0 0

1

2

Fig. 9.3. Funciones de la forma f (x ) =

3

1 xα

4

5

para distintos valores de α

125

Funciones de una variable

9.2. Integrales de funciones no acotadas en intervalos acotados 9.2.1. Definiciones Definición 1: Dada una función f (x) definida en un intervalo [a, b) , no acotada en un entorno de x = b e integrable en todo intervalo [a, t ] con a ≤ t < b , se define integral impropia de f (x) en [a, b) , y se designa ∫ f ( x) dx , al límite b

a

∫

b a

t

f ( x) dx = lim− ∫ f ( x ) dx = lim+ ∫ t →b

ε →0

a

b− ε a

f ( x ) dx

suponiendo que exista este límite (Cfr. Fig. 9.4). Según si el límite anterior es finito o infinito, se dice que la integral impropia

b

∫ a f ( x) dx

es convergente o divergente, respectivamente. Ejemplo:

]

2

(

)

1 dx = lim t 1 dx = lim (− 2) 2 − x t = − 2 lim 2 − t − 1 = 2 . 1 − ∫ − t → 2− t →2 1 2 − x t →2 2−x La integral es convergente

∫1

Definición 2: Dada una función definida en un intervalo (a, b ] no acotada en un entorno de x = a e integrable en todo intervalo [t, b ] con a < t ≤ b , se define integral impropia de f (x ) en (a, b ] , y se designa b

b

∫a f ( x) dx = tlim ∫ →a t +

b

∫ a f ( x) dx, al límite

f ( x) dx = lim+ ∫ ε →0

b a +ε

f ( x) dx

suponiendo que exista este límite (Cfr. Fig. 9.5). Según si el límite anterior es finito o infinito, se dice que la integral impropia es convergente o divergente, respectivamente. Ejemplo: 1

1

ln x ]t = lim (0 − ln t ) = ∞ ∫ 0 1x dx = t→lim0 ∫t 1x dx = tlim →0 t→ 0 +

La integral es divergente.

126

1

+

+

b

∫ a f ( x) dx

Tema 9. Integrales impropias

y

y

x a

x

b

a

Fig. 9.4. Integral impropia de función no acotada b

∫a

f ( x) dx = lim

∫

t

t →b − a

b

Fig. 9.5. Integral impropia de función no acotada b

∫a

f ( x ) dx

f ( x) dx = lim

t →a+

b

∫t

f ( x) dx

9.2.2. Caso particular a destacar La integral impropia

∫ 0 x1α dx b

(b > 0) es convergente si α < 1 y divergente si α ≥ 1 .

Demostración •

si α ≠ 1

∫

b

0

•

b

1 1 1 dx = lim+ x 1− α  = lim+ b1 − α − t 1 −α α t 0 → 1− α x  t 1 −α t → 0

(

si α = 1 b1 ln x] bt = lim+ (ln b − ln t) = ∞ ∫ 0 x dx = tlim t →0 →0+

)

 b1 −α  = 1 − α   ∞

si α < 1 si α >1

9.3. Integrales de funciones no acotadas en intervalos no acotados A partir de los casos vistos de integrales impropias, pueden considerarse ahora casos mixtos donde los intervalos de integración sean no acotados y suceda lo mismo con la función integrando en el entorno de uno o varios puntos. En tal caso se descompondrá la integral impropia en sumas de integrales impropias definidas anteriormente.

127

Funciones de una variable

ex ∫ −∞ 1+ e 2x dx El integrando es una función continua en R (obsérvese que el denominador nunca se anula) y por tanto integrable en todo intervalo cerrado. El intervalo de acotación es no acotado. L integral se puede separar en suma de dos integrales impropias como sigue, siendo a un número real cualquiera. ∞ ∞ a t a ex ex ex ex ex lim lim dx dx dx dx dx = = + = + ∫−∞ 1 + e 2 x ∫ −∞ 1 + e 2 x ∫a 1+ e 2x t →∞ ∫a 1 + e 2x t → −∞ ∫t 1 + e2 x a t = lim arctg e x t + lim arctg e x a = lim arctg e a − arctg e t + lim arctg e t − arctg e a = ∞

Ejemplo 1: Calcular la integral

t→ −∞

[

]

t→ ∞

[

]

π = arctg ea − 0 +  − arctg e a 2

(

)

t → −∞

(

)

t→ ∞

(

)

 π = .  2

Obsérvese que el valor de la integral no depende del valor intermedia a elegido. Ejemplo 2: Calcular la integral

∞

∫

−∞

sen x dx

Procediendo como en el ejemplo anterior,

∫

∞

∞

a

sen x dx = ∫ sen dx + ∫ sen x dx = lim

−∞

−∞

t→ −∞

a

a

t

t

t →∞ a

∫ sen x dx + lim ∫ sen x dx =

a t = − lim cos x ] t − lim cos x ]a = − cos a + lim cost − lim cost + cos a = lim cost − lim cost . t → −∞

t→ ∞

t → −∞

t →∞

t → −∞

t →∞

Cada uno de los límites anteriores no existe y por tanto esta integral impropia no existe. Ejemplo 3: Calcular la integral

∫

x

1

dx 1 −x 2 En este caso el intervalo de integración es acotado y la función no es acotada en un entorno de x = 1 no de x = -1. Por ello descomponemos en suma de dos integrales. Sea a cualquier número que verifique -1 < a < 1.

∫

1

−1 3

x 1 −x2

dx =

−1 3

 − 3 = lim+   3 1 − x 2 t→ −1  4 

(

x

a

∫

1 − x2

)

 −3  =   lim+  3 1 − a 2  4  t → −1 

(

−1 3

1

x

a3

1 − x2

dx + ∫

dx = lim+ ∫ t → −1

x

a t 3

1 − x2

t

x

a 3

1− x 2

dx + lim− ∫ t →1

dx =

a

2

t   − 3 3 2 2  + x ( ) lim − 1    =  a  t t→ 1  4  −

)

2

(

− 3 1 −t 2

Ejemplo 4: Calcular la integral

∫

)  +  − 3 lim  (1 − t ) 2

3

  4  t →1  −

1 −1

2 2

(

)

2 −3 3 + =0 − 3 1 − a 2  = 4  4

x dx 1− x 2

Como se ha visto en los casos anteriores, el valor de la integral es independiente del valor intermedio que se elija, por ello podemos tomar un valor determinado por ejemplo x = 0.

128

Tema 9. Integrales impropias

1

x ∫−11 − x 2 dx = t →lim − 1+

0

∫t

x dx + lim t→1− 1 − x2

t

(

)

0

x  − 1  ln 1− x 2  + ∫0 1 − x2 dx = t →lim  t −1+  2  t

 −1  − 1  −1 lim+ 0 − ln 1 − t 2 +   lim+ ln 1 − t 2 − 0 = −∞ + ∞ + lim−   ln 1 − x 2  = t→1  2  2 t→−1  2  t →− 1 0 Esta integral impropia no existe ya que la suma de los límites no tiene sentido.

(

)

[

(

)]

[ (

) ]

1 dx x4 La función integrando no está acotada en un entorno de x = 0 . Separando en dos integrales impropias, Ejemplo 5: Calcular la integral

∫

1

−1

1

t

1 t 1 dx = lim − 1  + lim − 1  = ∫−1 x14 dx = t→lim0− ∫−1 x14 dx + tlim ∫ 3 3 + t t →0 − 3 x  −1 t → 0+ 3 x  t →0 x4 1

    = − 1 lim−  13 + 1 + − 1 lim+ 1 − 13  = ∞ + ∞ = ∞ 3 t →0  t 3 t→0  t   1 dx x4 La función integrando no está acotada en un entorno de x = 0 y además el intervalo no es acotado. En este caso separamos en suma de tres integrales impropias: a 1 0 1 ∞ 1 ∞ 1 ∫−1 x 4 dx = ∫−1 x 4 dx + ∫0 x4 dx + ∫a x4 dx siendo a cualquier número real con a > 0 . t t 1 0 1 −1   −1 1  lim lim dx dx = = = lim− 3 −  = ∞ ∫−1 x 4 ∫ 4 3 → t →0 − −1 x t →0 − 3 x  0 t 3  −1  3t

Ejemplo 6: Calcular la integral

∫

∞

−1

a

a 1 −1  1  −1 1  lim lim dx = =  3 + 3 =∞ 4 3 ∫0 x 4 dx = tlim ∫ →0+ t x t →0 + 3 x  3t   t t →0+  3 a ∞ 1 La tercera integral ∫ 4 dx es convergente ya que es del tipo a x α = 4 > 1. a

∫

∞

a

1 dx ( a > 0 ) con xα

Así pues, la suma de las tres integrales es ∞ y la integral impropia es divergente. 9.4. Criterios de convergencia para integrales de funciones no negativas En muchas ocasiones interesa saber si la integral converge o diverge, sin necesidad de calcular el valor de la integral impropia. A continuación, se demuestran algunos criterios para el caso de integrales impropias de funciones no negativas. 9.4.1. Criterio de comparación Sean f (x) y g (x) dos funciones definidas en un intervalo [a, b ), no acotadas en un entorno de x = b e integrables en [a, t ] con a ≤ t < b , que verifican ∀x ∈ [a, b ), 0 ≤ f ( x) ≤ g ( x) . Entonces se cumple (1) Si

∫

b a

g ( x) dx es convergente, entonces

∫

b a

f ( x) dx es convergente.

129

Funciones de una variable

(2) Si

b

∫

f ( x) dx es divergente, entonces

a

∫

b a

g ( x) dx es divergente.

Demostración Obsérvese que por ser las funciones no negativa, se cumple que las funciones integrales t

t

a

a

F (t ) = ∫ f ( x) dx y G (t ) = ∫ g ( x) dx son crecientes y por tanto las integrales impropias

∫

b a

t

f ( x) dx = lim− ∫ f ( x) dx y t →b

a

∫

b a

t

g ( x) dx = lim− ∫ g ( x) dx son convergentes o divergentes t →b

a

(no se da el caso de que el límite no exista). Por cumplirse 0 ≤ f ( x) ≤ g ( x) ∀x ∈ [a, b ), se cumple la desigualdad

∫

f ( x) dx ≤ ∫ g ( x) dx ∀t ∈ [a, b )

t

t

a

a

y por tanto t

t

lim− ∫ f ( x) dx ≤ lim− ∫ g ( x) dx .

t →b

a

t→ b

a

De esta desigualdad se deduce (1) Si

∫

b

t

a

g ( x) dx es convergente, es decir, el límite lim− ∫ g ( x) dx es un número real, t →b

a

t

lim− ∫ f ( x) dx no puede ser infinito, también es un número real, de donde t →b

∫

b a

(2) Si

a

f ( x) dx es convergente.

∫

b

t

a

t

f ( x) dx es divergente, es decir, lim− ∫ f ( x) dx = ∞ , lim− ∫ g ( x) dx no puede ser t →b

t

un número real, de donde lim− ∫ g ( x) dx = ∞ y t →b

a

t →b

a

∫

b a

a

g ( x) dx es divergente.

Nota: El criterio también es válido en el caso de funciones no acotadas en el otro extremo del intervalo, o para funciones acotadas en intervalo no acotado. Las demostraciones son análogas a las presentadas anteriormente. 9.4.2. Criterio del límite Sean f (x) y g (x) dos funciones definidas y no negativas en un intervalo [a, b ) , no acotadas en un entorno de x = b e integrables en [a, t ] con a ≤ t < b . (1) Si

∫

b a

f ( x) dx converge y lim− x→b

g ( x) = l ∈ R (es decir, l ≠ ∞ ), entonces f (x )

∫

b

∫

b

a

g ( x) dx

converge. (2) Si

∫

b a

f ( x) dx

divergente.

130

diverge y

lim

x→b −

g ( x)  l ∈ R con l ≠ 0 , entonces = f (x )  ∞

a

g ( x) dx

Tema 9. Integrales impropias

Demostración: Se procede a demostrar los casos de límite finito. El caso de límite infinito se demuestra de modo análogo. g ( x) Por hipótesis, lim− = l ∈ R , es decir, x→b f ( x ) g ( x) ∀ε > 0, ∃δ (ε ) > 0 / ∀x ∈ (b − δ , b ), l − ε < < l + ε , y por tanto, f ( x) (l − ε ) f ( x) < g ( x ) < (l + ε ) f ( x) . (1) Si

∫

b a

f ( x) dx es convergente,

criterio de comparación, (2) Si

∫

b a

∫

b a

∫

b a

b a

(l + ε ) f ( x) dx también converge, y aplicando el

g ( x) dx es convergente.

f ( x) dx es divergente,

criterio de comparación,

∫ ∫

b a

(l − ε ) f ( x) dx también diverge, y aplicando el

g ( x) dx es divergente.

Consecuencia: Dadas dos funciones f (x ) y g (x ) definidas y no negativas en un intervalo [a, b ) , no acotadas en un entorno de x = b e integrables en [a, t ] con a ≤ t < b. Si f (x ) y g (x ) son asintóticamente equivalentes cuando x → b , por cumplirse b b g (x ) lim− = 1, las integrales impropias ∫ f ( x) dx y ∫ g ( x) dx tienen el mismo carácter. a a x →b f ( x) Nota: El criterio también es válido en el caso de funciones no acotadas en el otro extremo del intervalo, o para funciones acotadas en intervalo no acotado. Las demostraciones son análogas a las presentadas anteriormente.

131

Funciones de una variable

Ejercicios 1. Usando la definición de integral impropia, calcular las siguientes integrales, o establecer su no convergencia.

I1 = ∫

x

∞ 0

4

x +1

dx

dx

2

I 4 =∫

1

I 7 =∫

e1/ x dx −1 x 3

x −1

0

∞

dx x ln x

I 3 =∫

1

dx

−1

4

I6 =

∫2

I2 =

I5 = ∫

I8 = ∫

x

1 dx x x −1

∞

1

x ln2 x

e

∫

I 9 =∫

dx

∞

1 1/ x

e dx 0 x3 ∞

0

dx (x − 1)2

2. Estudiar la convergencia de las siguientes integrales impropias, discutiendo según los valores de los parámetros, si los hay. I 10=

I 13=

∫

∞

1

∫

I 16= ∫

2 x dx x + x +3

I 11= ∫

dx x + 3 sen4 x

I 14= ∫ 0

1 − cos x dx xα

I 17 = ∫

3

∞ 2

π 0

∞

dx

2 3

2

I 12 = ∫

x −1

16 + x 4 dx 16 − x 4

2

∞ 0
...