Cuarta Unidad - Apuntes Regla de LHôpital e Integrales Impropias PDF

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Regla de LHôpital e Integrales
Impropias...

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IV Unidad: Regla de L’Hôpital e Integrales Impropias Mg. María Eugenia Ruz Laferte Departamento de Matemáticas - UCN 1.

FORMAS INDETERMINADAS:

Al estudiar límites en el primer curso de Cálculo, nos encontramos con 0 expresiones de la forma . Para calcular estos límites se debía realizar 0 un arreglo algebraico.

1 1

Formas de este tipo se llaman "formas indeterminadas". Otras formas ; 11 ; 0 ; ; 0: ; 01 indeterminadas son

1 11 1

Estudiaremos una regla que nos permitirá resolver límites de estas formas aplicando derivadas. 0 ; Formas del tipo 0 Según el teorema del Valor Medio, si f; g continuas en [a; b] y diferenciables en (a; b) ; g0 (x) = 0 x (a; b) ; entonces c tal que f (b)f (a) ba

luego:

1 1 6 8 2

= f 0 (c) 0

(c) = 0 g (c)

f

f g

(b) (b)

 

f g

g(b)g(a) ba

9

= g 0 (c)

(a) (a)

Regla L’ Hôpital:

0 f (x) (x) = es una forma indeterminada y que lim 0 x!a g (x) x!a g (x) 0 f (x) f (x) = L: = lim 0 entonces lim x!a g (x) x!a g (x)

Supongamos que lim L

f

1

Demostración:

Como g

^

limf (x) = 0

x!a

(a) = 0

lim g (x) = 0

x!a

lo que implica que

f

(x)

y

g

podemos suponer que

(x)

son continuas en

x

f

(a) =

= a:

Además son diferenciables, lo que implica que son continuas tanto en

(r; a)

(a; s) ;

como en

luego son continuas en

(r; s) :

Aplicando el Teorema del Valor Medio, . existe tal que

(x) g (x)

f

y cuando

!

x

a,

!

c

 

(a) = g (a)

f

(x) = g (x)

f

f

c

0

2[

x; a

] ó [a; x]

8 6= x

a

(c)

0 g (c)

a

0 0 f (c) f (c) (x) =L = lim 0 = lim 0 x!a g (x) x!a g (c) c!a g (c)

lim

Ejemplos: (a) (b) (c)

(d)

lim

x!0

cos x

1

2

f

0 L0 H = lim x!0 0

x



sen x

1

=0

0H 2 L= = lim2x = 2 lim x!1 1x x!1 x 0H sec x tan x sec x L= = lim  lim  lim    1 + tan x x!( 2 ) sec2 x x!( 2 ) x!( 2 )

2x x!1 ln lim

t

lim

t!0

lim

t!0

0 0

 cos ) 0 L=H lim 1  cos + (  0 t 1  cos

(1 t

1 1

t

t

0

!0

sent

2sent + t cos t sent

t

sent

t

0 2 cos t + cos t = lim 0 t!0 cos t



) 0 L0 H = lim t!0 0

tsent

senx

sent

=1 + sent + t cos t sent

=3 0 ; 0

La Regla de L´Hôpital sólo se puede usar para las formas indeterminadas

1 1 11

Para las otras formas indeterminadas, debemos primero realizar algún arreglo algebraico para llevarlas a Formas del tipo:

Si

lim

x!a

f

(x)

g

(x)

10

ó

es de la forma

0 ; 0

10 2

entonces

lim

( )

f x

x!a g(1x)

es de la forma

1 1

:

=

1 1

y aplicamos la regla de L’Hôpital

Ejemplos:



1.

lim x!( 2 )

2



2





x





x

sec

2.

xlim !0+

x

cot x

lim

x!0+ tan 

3.

0

x

lim

x!0+



1 x

sen x

lim

x!0+



x



x!0+ cos x + cos x 4.

xlim !0+ lim

x!0+

x



0 0

(ln x  ln 

 ln

x sen x

sen x

1

(sacando mínimo común denominador)

)



=0

11

(aplicando propiedades de logaritmo)



 1  x   lim senx  = ln 1 = 0 sen x = ln x!0+ x

Formas del tipo

Usando

=

0H L=

sen x

lim

sen x

0H L=

0 0

cos x 1 x!0+ sen x + x cos





11

sen x

x sen x

lim

x! 2

1

0H 1 L= =1 lim x!0+ sec2 x

1



lim

1

0 0

x

1

0H L=

0 0

lim x!( 2 ) cos x

0

x

ln,

11 ;

1



; 01

podemos llevarlos a la forma

recordando que si

xlim !a

ln f (x) = b

0

1

entonces

3

lim

x!a

y de ahí a f

0 0

(x) = eb :



o

1 1

Ejemplos:

 1.

lim

1+

x!1

1

x

100

x



y=

Sea

1+

 ln y = x ln 1 +

 1 x x

1



x



xlim !1

ln y = lim x ln 1 +

x!1

 ln

1+

= lim

x!1

1

1



10

x



x

L=0 H

0 0

1 x

1 = lim

1+

1

0 11 @ 2 A x

0x 1 @ 12 A

x!1

=1

x

Como

xlim !1

ln y = 1

entonces

lim y = e1 = e

x!1

Esta es la de…nición del número e

e = lim

x!1

 x 2.

lim

x!0+ Sea

1

1

x y=

 1 x x

 1+

1

x

x



entonces

ln y = x ln 4

 1 x

lim ln y = lim x ln

x!0+

x!0+

1

0

x

 

1

1

ln

x

= lim

x!0+

L0 H

0 0

1

=

0 1x @ 1 A x

= lim

x!0+

Como

3.



x2

lim ln y = 0

entonces

x!0+

lim (cos x)1=x y = (cos)1=x

entonces

j

ln cos x

lim ln y = lim

x!0+

x!0+

lim y = e0 = 1

x!0+

11

x!0+ Sea

=0

1



= lim

x!0+

j

j

ln y = x1 ln cos x

0 x 0 tan x = 0

L0 H

1=2 ) x!1+ lim (cos x) = 1

 4.

lim x sen

x!1

lim

sen 1

x!1

1



x

1 0 0

x

lim

x!1

L0 H

=

0 1 @ 1 A x x2 0 1 =1 @ 12 A

x cos

10

1

x



5.



 sen x 1  1 (3x + 1) sen x  x = lim

lim

x!0+

x!0+

3x + 1

1

x

x sen x

0 0

L0 H

5

=

j

+ (3x + 1) cos x  1 0 L0 H = 0 x!0+ sen x + x cos x 3 cos x + 3 cos x  (3x + 1) sen x lim + =3 x!0 cos x + cos x  x sen x lim

6.

3

sen x

cos x  1

L=0 H

0 0

lim x!0 ex x  1

sen x 0 L=H x!0 ex  1 0  cos x = 1 0

lim

lim

x!0

e

x

ln

7. Comportamiento de Si

a >

0

lim

x

y

e

x

para valores grandes de

x:

^ b > 0 se tiene que: (ln

x

)b

(a)

x!1

(b)

=0 lim x!1 eax

x

x

a

=0

b

INTEGRALES IMPROPIAS:

Recordemos que una integral del tipo

R

f

(x)

o Integral Inde…nida y que una integral del tipo Integral De…nida y existe siempre que

f

se llama Antiderivada

dx

Rb

a f (x)

continua,

a; b;

dx

se llama

2 R …nitos

(esta última integral tambien recibe el nombre de Integral Propia)

Si no se cumple una de estas condiciones, la integral se llama IMPROPIA. INTEGRAL IMPROPIA DE PRIMERA

Si

Rb

f

ESPECIE:

está de…nida en un intervalo no acotado, se dice que la integral.

a f (x)

dx

es una integral impropia de Primera Especie

Z

Z

b f

(x)

dx

o

1

6

+1

a

f

(x) dx

Para calcular integrales impropias de primera especie, usaremos límites: a) Si

es continua en

f

Z

1

(

;b

]

entonces

Z

b f

siempre que el límite exista

[a; +

es continua en

f

Z

1)

Z

1 f

a

(x) dx = lim

(x) dx

f

t!1 t

1

b) Si

b

(x) dx = lim

t f

t!1

a

(x) dx

siempre que el límite exista. Si el límite existe, diremos que la integral CONVERGE en caso contrario la integral DIVERGE. Si

f

es continua

Z

8 2R ^ 2R x

c

Z

+1 f

f

1

=

Z

c

(x) dx =

1

, entonces:

(x) dx + Z

lim

t1 !1

t1

(x) dx

f

c

c f

+1

Z

t2

(x) dx + lim

f

t2 !1 c

(x) dx

La integral converge si ambos límites existen. Ejemplos:

1.

R0 1

x e

2x

dx

= lim

t!1 t





lim

t!1

2.

R +1 1

dx

1+

x2

= lim

t!1 t1

j

= lim

t!1

 arctan

t1

x e

1 + 4

R0

0 = lim (arctan x) t1

t!1

R0

te

2x



dx

2t

2 dx x2

+

  = +1

= lim

xe

2

t!1

e

2t

4

+ lim

R t2

2x



j

dx

0

+ lim arctan t2 = t!+1

7



2

+

2x 0

4

DIVERGE

t!1 1+ 1 + x2 + lim (arctan x) t02 t!+1

e



2

=

t

INTEGRALES IMPROPIAS DE SEGUNDA ESPECIE: Si f no es continua en un punto c del intervalo

Rb

integral.

a

(x) dx

f

f

a

Rb

(x) dx = lim

(a; b]

f

t

t!a+

f

a

Rt

(x) dx = lim

)

integral converge si el límite existe.

entonces:

(x) dx

f

a

t!b

entonces:

(x) dxLa

2. Si f es continua en [a; b

Rb

se dice que la

es una integral impropia de segunda especie.

1. Si f es continua en

Rb

[a; b]

La integral converge si el límite existe.

[a; b] entonces Rb f (x) dx+ c f (x) dx

3. Si f no es continua en un punto interior del intervalo separamos la integral en dos integrales

= lim

Rt

f

a

t!c

Rb

(x) dx + lim+

t

t!c

f

(x) dx

Rb a

(x) dx =

f

Rc a

La integral converge si ambos límites

existen. Ejemplos:

1.

R1 0

x

ln x

dx

R1

= lim

t

t!0+

ln x

x

dx

 14 j   ln 1 1 1 lim    = 4 4 2 4 ln ln 0 1 lim lim lim 2 4 2

= lim

x

t!0+

2

ln x 2 t

x

2

2 1

t

t

t

t!0+

t

2

t

t!0+

Z

2.

La integral converge

1

t

:

t!4

Z

t

dx

x

2

0



( ln

dx

t!4 0

x

)

dx

=

x

t3

t!0+

= lim t!4

=0

 2 p4 

x

t 

0

La integral converge

t

t!4

R1

t

t

0

L H

p4  = lim p4  p = lim  2 4  + 4 = 4 4

0

3.

2



x

ln

x

+

x

j

1

t

= lim [1 + t ln t!0+

8

t

 ]=1 t

La integral converge

4.

R1 8

dx p 3 x

= lim

=

t1 !0



lim

t!0

5.

6.

8

dx p 3 x

+

+ lim 8 tR

!0+



3 2

x

2=3 t1 8



R3 0

R1

R t1

t1 !0

= lim

R0

t2

dx p 3 x

dx p 3 x

+ lim

t1 !0+

3 2

x



2=3 1

t1



3 3 3 2=3  t 6 + lim 2 2 t1 !0+ 2

R +1 arctan 0

x dx

x2

= lim

t+1

Rt 0

t

0

dx

(1 + x)

p

x

= lim

Rt

t!+1

=

9 La 2

0

dx

(1 + x)

t

=

p

x



2

La integral converge

= lim

R

du

1+

2 u

=

p 1 arctan x: 2

9

1

t!1 2

= 1 2

integral converge

arctan x dx 1+x2

1+ 1 lim (arctan x)jt0 = lim arctan t!+1 t!+1 2 R +1



2=3



4

arctan

t

2



La integral converge...