16- Integrales impropias PDF

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Resumen de integrales impropias...

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INTEGRALES IMPROPIAS

En las integrales que se denominan impropias se consideran los dos casos que no están contemplados o incluidos en el concepto de integrales definidas: el caso en que el intervalo de integración no está acotado, y el caso en que la función no está acotada en el intervalo de integración. Se definen a partir de esto dos tipos de integrales impropias: las que se denominan de 1° especie y las de 2° especie. Tal como veremos a continuación, estas integrales impropias se resuelven a través del cálculo de límites.

Integrales impropias de 1° especie: al menos uno de los extremos de integración es infinito. En ese caso, el intervalo de integración no está acotado.

Por ejemplo: En cada caso, lo resolveremos a través del cálculo de límites:

Si el límite es finito, la integral impropia se denomina convergente; la integral converge al límite l. Si el límite es infinito, la integral impropia se denomina divergente. Si no existe el límite, la integral impropia es oscilante.

Entonces, la integral

En el otro ejemplo:

es convergente.

Para poder resolver esta integral impropia, tengamos en cuenta primero cómo resolver la integral indefinida:

Al calcular el límite se presenta una indeterminación en uno de sus términos, por lo que analizamos:

Entonces

Para resolver las integrales del tipo

la integral es convergente

tengamos en cuenta las propiedades de las

integrales, por lo que

El punto intermedio en el que dividimos la integral no debe influir en el resultado. Podemos continuar el cálculo con un valor genérico c o considerar un valor particular, si eso hace más sencillo el cálculo. Por ejemplo:

También puede considerarse, en este caso, que la función integrando es par por lo que:

Tengamos en cuenta primero cómo resolver la integral indefinida:

La integral es convergente.

Integrales impropias de 2° especie: la función integrando tiene al menos una discontinuidad esencial con salto infinito en algún punto del intervalo de integración. En ese caso, la función integrando no está acotada en el intervalo de integración.

Por ejemplo: De manera similar a lo resuelto anteriormente, recurrimos a los cálculos de límites:

La función

tiene una discontinuidad esencial con salto infinito en x = 0, que es

uno de los extremos del intervalo de integración, por lo que:

La integral es convergente.

Para resolver

tengamos en cuenta que la función

tiene una

discontinuidad esencial con salto infinito en x = 0, que es uno de los extremos del intervalo de integración; entonces:

La integral es divergente.

En el caso de

la función

tiene una discontinuidad esencial con

salto infinito en x = 9, que pertenece al intervalo de integración, por lo que:

Para ello tengamos en cuenta que:

La integral es convergente

Otros ejercicios resueltos

1) Analizar si

es convergente

La integral es divergente.

2) Determinar para qué valores de

es convergente

De acuerdo con el ejercicio anterior, si p = 1 la integral es divergente. Si

:

Si

:

Si

:

Es decir, las integrales de la forma

3) Calcular el área limitada por la gráfica de

sólo son convergentes si

y el Eje X en el intervalo

4) Calcular el área limitada por la gráfica de mayores que 1. Para calcular su asíntota oblicua:

La ecuación de la asíntota oblicua es y = x

y su asíntota, para valores de x...