Guia integrales impropias PDF

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Apuntes de clases, formulario, ejercicios resueltos...

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!!!CENTRO!DE!DOCENCIA!DE!CIENCIAS!BÁSICAS!PARA!INGENIERÍA! FACULTAD!DE!CIENCIAS!DE!LA!INGENIERÍA.!

!!! ! ! !!!!!GUÍA!DE!APRENDIZAJE!N°8! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!BAIN037!CÁLCULO!I!PARA!INGENIERÍA! !

Resultados!de!Aprendizaje! Contenidos!

! Integrales!Impropias!de!primera!especie.! Integrales!Impropias!de!segunda!especie.! Convergencia!de!integrales!impropias.!

! ! Integrales!impropias.! ! En la definición de la integral de Riemann se impusieron dos condiciones fundamentales sobre la función !: la función está definida en un intervalo acotado [!, !] y por otra parte, ! es acotada en !, ! . Este concepto de integral definida se puede extender eliminando estas restricciones, es decir, considerar una función ! en un intervalo no acotado o considerar funciones no acotadas en el intervalo.

Ejemplo 1: Dada la función ! ! =

! ! ! !!

y su gráfica, para calcular!el!

área!encerrada!por!la!curva!y!el!eje! X ,!sería! +∞

equivalente!a!estudiar!la!integral!

∫

f ( x) dx !!

−∞

Ejemplo!2:! Dada la función !(!) = !=

! ! ! !!

y su gráfica, el área de la región

!, ! !ℝ! , 2 < ! ≤ 5 ∧ 0 ≤ ! ≤ !(!) , se reduciría al 5

dx x2− 2 2

estudio de la integral ∫

En este par de ejemplos, diremos que la primera integral corresponde a una integral impropia de primera especie (intervalo de integración no acotado) y, que el segundo ejemplo corresponde a una integral impropia de segunda especie (función no acotada en el intervalo de integración)

Integrales Impropias de primera especie. DEFINICIÓN I: Integral Impropia de Primera Especie (Intervalo no Acotado) Sea ! ∶ !, +∞ → ℝ, se dirá que ! es integrable en !, +∞ , si se cumple: a) ∀!" !, +∞ , ! es integrable en !, ! , en otras palabras b) El límite definido por lim

! !

! ! !"

existe.

! !

! ! !" existe, ∀!" !, +∞

b) El límite definido por lim!→!! !!

Si esto ocurre se dice que !

!

! ! !"

! ! !" es convergente y

!

!! !

! ! !" = lim!→!!

!

! ! !"

1

!!!CENTRO!DE!DOCENCIA!DE!CIENCIAS!BÁSICAS!PARA!INGENIERÍA! FACULTAD!DE!CIENCIAS!DE!LA!INGENIERÍA.!

!!! ! ! !!!!!GUÍA!DE!APRENDIZAJE!N°8! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!BAIN037!CÁLCULO!I!PARA!INGENIERÍA! ! En caso contrario, se dirá que la función no es integrable en !, +∞ , y se dice que la integral !! !

! ! !" diverge.

Observaciones: 1. Análogo para una función !: −∞, ! → ℝ Si lim!→!!

! !

! ! !" existe, entonces lim!→!!

2. Si el lim!→!!

! ! !

! !" no existe, se dirá que

! ! ! ! ! !!

! !" =

! ! !!

! !"

! !" diverge.

!!

3. Para analizar la convergencia de !! ! ! !" , con !: ℝ → ℝ se realiza el análisis ! ! para !! ! ! !" ! ! ! ! !" con ! ∈ ℝ. En el caso que ambas sean convergentes se dirá que la integral

!! ! !!

! !" es convergente y su valor corresponderá a la suma

de las integrales. Si alguna de ellas diverge,

!! ! !!

! !" diverge.

Resumen: !! ! !

Dada la integral

! !" con ! ∈ ℝ

Calculamos: !

i. ii.

!

! ! !" = (! ! − !(!)), donde ! es primitiva de !, con ! > !.

Se estudia la existencia de lim!→!!

! ! !

! !" = lim!→! ! ! − !(!)

• Si el limite existe y es igual a L entonces se dice que la integral converge a L o simplemente

!! f !

x dx = L

• Si el límite no existe, se dice que la integral diverge.

Ejemplos resueltos. Ejemplo 1a Determine si i.

!! !! ! !" !!

converge o diverge.

Cálculo de la integral definida para todo ! > −1. ! !!

ii.

! !! !" = (−! !! )

! !!

!

= −! !! + ! ! = ! − !, con ! > −1 !

Cálculo del límite: !

! !! !" = lim

lim

!→!!

!→!!

!−

1 !!

=!

!!

Conclusión: la integral converge a !, es decir

!! !! ! !" !!

Ejemplo 2a Determine si la integral i.

converge o diverge.

Cálculo de la integral definida para todo ! < 0. ! !" ! !" !

ii.

! !! ! !" !!

= (! ! ! − 1 )

Cálculo del límite:

! !

= −!! ! − 1 + ! ! con ! < 0

=!

!

lim

!" ! !" = !→!! lim −!" ! − 1 + ! !

!→!! !

!

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!!! ! ! !!!!!GUÍA!DE!APRENDIZAJE!N°8! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!BAIN037!CÁLCULO!I!PARA!INGENIERÍA! ! Se sabe que lim!→!! ! ! = 0 y el lim −!" ! es de la forma indeterminada 0 ∙ +∞, !→!!

entonces por L’Hopital se tiene que: !

!

lim!→!! ! ! ! = lim!→!! ! !! = lim − ! !! = lim −! ! = 0. !→!!

Por lo tanto,

! lim!→!!! !

!→!!

!

!" !" = −1, es decir, la integral

! !!

!! ! !" = −1.

Ejemplo 3a ! !" . !! !!! !

Estudie la convergencia de la integral

!

! !"

!"

y . Sea ! ∈ ℝ cualquiera, con las integrales !! ! !!! ! !!! ! Usando ! = 0. ! !" !! !!! !

Estudiaremos la convergencia de i.

Cálculo de la Integral definida con ! < 0 ! !

ii.

!" 1 + !!

= !!"#$% 0 − !"#$%& ! = −!"#$%(!)

Cálculo del límite !

lim

!→!!

!

! ! !" = − lim !"#$% ! = − − = ! !→!! 1+! 2 2 !

∴

! !! 1 + !

=

! 2

! !" ! !!! !

Estudiaremos la convergencia de i.

!"

Cálculo de la Integral definida con ! > 0 ! !

!" 1 + !!

= !"#$%& ! − !"#$%&0 = !"#$%(!)

ii. Cálculo del Límite !

lim

!→!

!

!" 1 + !! !

∴ !

= lim !"#$% ! = !→!

!" !!

1+

=

! 2

! 2

Ya que ambas integrales convergen, entonces. !! !!

1+

!!

Note que la función !(!) = ! !" ! !!! !

!

!" =

!! 1

! !!! !

!!

!" +

!!

+ !

es par y como la

!" 1 + !!

=!

! !" !! !!! !

es convergente entonces

también lo es.

Ejemplo 4a Estudie la convergencia de la integral i.

!! !"# !

! !" .

Cálculo de la Integral definida con ! > 0 !

!"# ! !" = −cos ! + !"# 0 = 1 − cos ! !

ii.

!

Cálculo del Límite

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!!! ! ! !!!!!GUÍA!DE!APRENDIZAJE!N°8! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!BAIN037!CÁLCULO!I!PARA!INGENIERÍA! ! !

!"# ! !" = lim (1 − cos ! )

lim

!→!!

!→!!

!

!! !"# !

Este límite no existe, por lo tanto la integral

! !" , diverge.

Ejemplo Importante. ! !" ! !!

¿Para qué valores de p la integral •

es convergente?

Si ! = 1.

i.

Cálculo de la integral definida para todo ! > 1 ! ! !" ! !

ii.

= (ln ! )

! !

= ln ! − ln (1) = ln ! con ! > 1

Cálculo del límite:

lim!→!!

!! !" ! !

= lim ln !

= ∞, ∴ para ! = 1 la integral diverge:

!→!!

•

Si ! ≠ 1

i.

Cálculo de la integral definida para todo ! > 1 ! !! ! !" !

ii.

=(

! !!! !!!

)

! !

=

! !!!

(! !!! − 1) con ! > 1

Cálculo del límite: !

! !! !" = lim

lim

!→!! 1

!→!! !

1 1 lim ! !!! − 1 ! !!! − 1 = 1 − ! !→!! −!

Debemos considerar para este caso de ! ≠ !, dos sub-casos; cuando ! < ! y cuando ! > ! • !

Si ! > 1 entonces 1 − ! < 0 !

lim ! !!! − 1 = !!! 0 − 1 =

!!! !→!!

• !

!! !!!

=

! !!!

, Para ! > 1 la integral converge a

! !!!

Si ! < 1 entonces ! − 1 < 0 lim ! !!! − 1 = ∞, entonces si ! < 1 la integral diverge.

!!! !→!!

!

Conclusión:

!

!

1 !" converge cuando p > 1 !!

!

!

!

1 !" diverge cuando p ≤ 1 !!

Este resultado es muy útil para el análisis de convergencia de algunas integrales impropias, donde calcular la primitiva no es posible y en las cuales usamos el siguiente criterio:

Criterio de comparación: Sean ! y ! funciones continuas en ℝ tales que 0 ≤ !(!) ≤ !(!), !"#$%& ! ≥ ! ! ! 1. Si ∫! !(!)!" es convergente, entonces ∫! !(!)!" !s convergente ! ! 2. Si ∫! !(!)!" es divergente, entonces ∫! !(!)!" !s divergente

Ejemplos resueltos. Ejemplo 1b ! !

!

es convergente.

Demuestre que ! !! !" Considerando que ! ∈ 1, ∞ y en este intervalo ! ≤ ! ! entonces −! ! ≤ −! . Como la función exponencial con base e es creciente, se tiene que

!

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!!! ! ! !!!!!GUÍA!DE!APRENDIZAJE!N°8! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!BAIN037!CÁLCULO!I!PARA!INGENIERÍA! ! !

−! ! ≤ −! ⇒ ! !! ≤ ! !! ! !! !! Por lo tanto ! ! !! !" ≤ ! ! !! !" !! !! ! !" !!

Por el ejemplo 1a ,

= ! !

!

!

Entonces!! ∫!! ! !! !" = ∫!! ! !! !" + ∫! ! !! !"! ! Luego!!∫! ! !! !" !es!convergente.! !

Como

!! !! ! !" !

converge, entonces

!! !! ! ! !" !

también converge.

Ejemplo 2b Analice la convergencia de

! !!! !! ! !

!"

Como 1 + ! !! > 1 1 1 + ! !! < , ∀! > 1 ! ! entonces Y como

!! ! !

! !!! !! !! ! !

!" <

!! !" ! !

diverge entonces

! !!! !! ! !

!" diverge.

Ejercicios Propuestos. I. Determine convergencia de las siguientes integrales impropias. 1.

!! !! !! !" !

2.

!! !" !! ! ! !! !!

4.

!! !!! ! !" ! !!

5.

!! ! ! !" !

6.

!! ! ! !!!! !" !! ! ! !!"! ! !!

7.

!! !" (!) !" ! !!

9.

!! !" ! ! ! !!

II.

3. y

!! !!

!

!" !! ! !(!" ! )!

!"

!

8.

!! !" ! !!

Suponga que un cohete se lanza desde la superficie de la tierra, y la fuerza de gravedad es la única fuerza que se opone al movimiento. Si v millas por segundo es la velocidad necesaria para escapar del campo gravitacional de la tierra, entonces ! ! = 2!! !

!! !! ! !" , !

donde g es la gravedad constante medida en millas por

segundo al cuadrado en la superficie de la tierra y R millas es el radio de la tierra. Considerando ! = 0,006094 y ! = 3963, aproxime la velocidad de escape con tres dígitos significativos. III 1. Sea ! ! =

!

. Determine, de ser posible el área de la región ! = !, ! !ℝ! , ! ≥ 3 ∧ 0 ≤ ! ≤ !(!) ! ! 2. Considere las funciones ! ! = y ! ! = ! . ! ! !! a) Grafique ambas en un mismo sistema coordenado b) Determine de ser posible el área de la región ! ! !!

!...