GUIA 2 Integrales Sustitucion Trigonometrica PDF

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1 CÁLCULO II (DCCB00207) Guía N° 2 / Segundo semestre 2018 Integrales por sustitución trigonométrica Profesores: Ma.A, A, C INTEGRALES POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMETRICA Ya hemos visto como algunas técnicas de integración requieren de una sustitución de cambio de variable. Ahora estudiaremos sustitucion...

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CÁLCULO II (DCCB00207) Guía N° 2 / Segundo semestre 2018 Integrales por sustitución trigonométrica Profesores: Ma.A.Peralta, A.Bernal, C.Villalobos INTEGRALES POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMETRICA Ya hemos visto como algunas técnicas de integración requieren de una sustitución de cambio de variable. Ahora estudiaremos sustituciones que implican funciones trigonométricas, las cuales conducen a integrales trigonométricas. Estudiaremos 6 casos de cómo el cambio de variable mediante sustitución trigonométrica permite con frecuencia evaluar una integral que contiene una expresión de una de las formas siguientes:

a2  x2 ,

a 2  x2 ,

x 2  a2 ,

a 2  b2 x2 ,

a 2  b2 x2 ,

b2 x 2  a 2

Por lo tanto un INTEGRANDO, que sea de una de las formas antes mencionadas, se puede transformar, si no contiene otro factor irracional, en otro formado a base de funciones trigonométricas de una nueva variable, efectuando los cambios siguientes: EXPRESION

SUSTITUCIÓN ADECUADA

a2  x 2

x  a sen 

a2  x 2

x  a tan

x2  a2

x  a sec

a 2  b2 x 2

x 

a sen  b

a 2  b2 x 2

x 

a tan b

b2 x2  a2

x 

a b

sec 

 dx  a cos d 

dx  a sec 2 x dx

 dx  a sec tan d 

dx 

 dx  

dx 

a cos d b a sec 2  d b a b

sec  tan  d

2

EJEMPLO 1: Integrales que contienen la expresión a2  x 2 

Calcular la siguiente integral

x

dx 2

9  x2

Para resolver esta integral utilizamos el cambio de variable indicado en la tabla anterior:

x  a sen  3 sen



dx  3 cos d

Reemplazando en la integral:

x

2

3 cos  dx  d 2 2 9sen  9  9 sen 2 9x

Resolvemos esta última integral:

3 cos 

1 cos  1 cos  d   d  2 3 sen2  9 1  sen2  9 sen  1  sen2 9  9 sen  1 cos  1 cos 1 d 1 d   d       cos ec 2 d 2 2 2 2 9 sen  cos  9 sen  cos  9 sen  9 1 1   cos ec2 d   cot an  C 9 9

 9 sen  2

2

d 





Ahora volvemos a la variable original “x”, usando un triangulo rectángulo: Sabemos que:

x  3 sen   sen  

x 3 3

x

9  x2  a2  a  9  x2 Del triangulo podemos determinar cot an :

cot an 

 9  x2

9  x2 x

1 9  x2 9 x 2 1  cot an   C    C   C 9x x 9 9 Por lo tanto el valor de la integral es:



9 x 2 dx  C 9x x2 9  x2

3

EJEMPLO 2: Integrales que contienen la expresión a2  x 2 

Calcular la siguiente integral

dx

 x

2



1

3

2

Primero reescribimos la integral para poder utilizar la sustitución trigonométrica:

 x

dx 2



1

3

2

dx



x

2



1

3





dx x2 1



3

Para resolver esta integral utilizamos el cambio de variable indicado en la tabla anterior:

x  a tan   tan 

dx  sec2  d 



Reemplazando en la integral y resolvemos:



dx

 x 1 



2

3



sec2 

 tan

2

 1

d   3



d  cos  d  sen  C sec 

sec2 

d   3

 sec   2

d sec2  d   3 sec  sec

Ahora volvemos a la variable original “x”, usando un triangulo rectángulo: Sabemos que:

x  tan   tan   x

h 2  1 x 2  h  1  x 2

1  x2

x

Del triangulo podemos determinar sen :

sen 



x

1

1  x2

sen  C 

x 1  x2

C

Por lo tanto el valor de la integral es:



dx 1  x2



3



x 1 x 2

C

4

EJEMPLO 3: Integrales que contienen la expresión x 2  a 2 

Calcular la siguiente integral



x2  3 dx x

Para resolver esta integral utilizamos el cambio de variable indicado en la tabla anterior:

x  a sec  3 sec

dx  3 sec tan d



Reemplazando en la integral y resolvemos:

x 2 3 3 sec 2   3  3 sec tan dx d    3 sec2   1  tan  d  3 sec2   1 tan  d   x  3 sec  2 2 2  3 tan   tan d  3  tan  d  3 sec  1 d   3tan     C





Ahora volvemos a la variable original “x”, usando un triangulo rectángulo: Sabemos que:

x  3 sec  sec 

x  x     arc sec  3  3

x 2  3 a 2  a  x 2  3 Del triangulo podemos determinar tan  y  :

tan 

x

x 3 2

 3

x 3 3 2

   arc sec 

x    3

Por lo tanto el valor de la integral es:



 x2  3 x  x2 3  x  C dx  3  arc sec   C  x2 3  3 arcsec    x 3 3 3      

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EJEMPLO 4: Integrales que contienen la expresión a 2  b2 x 2 

Calcular la siguiente integral

9  4x 2 dx x



Para resolver esta integral utilizamos el cambio de variable indicado en la tabla anterior:

x 

a 3 sen   sen  2 b



dx 

3 cos  d  2

Reemplazando en la integral y resolvemos:



2





9 1  sen2  cos 9  4  32 sen    32 cos  9  4  94 sen 2  cos 9  4 x2 dx   d d d       3 x sen sen 2 sen 

1 1  sen 2 cos 2  cos2   cos  d  3  d  3 d   3  sen d  3 cos ec  sen  d sen  sen sen    sen   3ln cos ec cot an 3 cos  C

 3

Ahora volvemos a la variable original “x”, usando un triangulo rectángulo: Sabemos que:

x 

3 sen 2



sen 

2x 3 3 2x

9  4x 2  a 2  a  9  4x 2



Del triangulo podemos determinar cos ec , cot an y cos  :

9  4x 2

cos ec  

3 , cot an  2x

9  4x 2 2x

y

cos  

9  4 x2 3

Por lo tanto el valor de la integral es:



9  4x2 3 9  4 x2 3 9  4x 2 3  9  4x 2  9  4x 2  C dx  3 ln    C  3 ln x 2x 2x 3 2x

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EJEMPLO 5: Integrales que contienen la expresión a 2  b 2 x 2 

Calcular la siguiente integral 

dx 2 x 9  4x

Para resolver esta integral utilizamos el cambio de variable indicado en la tabla anterior:

x 

3 tan   2



dx 

3 2 sec  d 2

Reemplazando en la integral y resolvemos:

x 

dx 9  4x 2



3 2

3 2

sec 2 

d  2

tan 9  432 tan  

sec 2 

 tan 91 tan   2

d 

1 sec 2  d 3  tan  sec 2 

1 sec 2  1 sec 1 1 cos  1 1 1 d   d    d   d   cos ec d  3 tan  sec 3 tan  3 cos  sen 3 sen 3

1  ln cos ec  cot an  C 3 Ahora volvemos a la variable original “x”, usando un triangulo rectángulo: Sabemos que:

x 

3 tan   2



tan  

2x 3

9  4x 2  a 2  a  9  4x 2

9  4 x2

2x

Del triangulo podemos determinar cos ec , cot an :

3 9  4x 2 cos ec   , cot an  2x 2x Por lo tanto el valor de la integral es:



9  4x2  3 1 ln C  2x x 9  4x 2 3 dx

 3

7

EJEMPLO 6: Integrales que contienen la expresión b 2 x 2  a 2

Calcular la siguiente integral 





dx 4 x  24 x  27 2



3

Para calcular esta integral y llevarla a la forma para la sustitución trigonométrica, completamos cuadrados en el denominador:













4 x2 24 x 27  4 x2 6 x  27  4 x2 6 x 9 9  27  4 x2  6 x  9  27  36  4  x 3  9 2

Para resolver esta integral utilizamos el cambio de variable indicado en la tabla anterior:

x3 

3 sec   2



dx 

3 sec  tan  d 2

Reemplazando en la integral y resolvemos:

 

3 2

sec tan

4  94 sec2   9



3

d 

1 3 sec  tan  1 sec tan  1 sec d   d   2 d   3  3 27 2 18 tan  18 tan  sec2   1





1 cos  d 18  sen 2

Para resolver esta integral utilizamos sustitución simple:

u  sen  



du  cos d

1 cos  1 du 1 1 1 1 cosec   C C   d   2     C   2  18 sen  18 u 18 u 18 sen  18

Ahora volvemos a la variable original “x”, usando un triangulo rectángulo: Sabemos que:

x 3 

3 sec   2

 sec  

2x  6 d 3

2x  6

4x 2  24x  36  9  a 2  a  4x 2  24x  27

4 x2  24x  27

Del triangulo podemos determinar cos ec  :

cos ec 

 3

2x  6 4 x2  24 x  27

Por lo tanto el valor de la integral es:



dx 4 x2  24 x  27



3



1 2x  6 C  18 4 x 2  24x  27

8

INTEGRALES POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA Calcular las siguientes integrales utilizando la sustitución adecuada en cada caso: Integral

1.



9 x2 dx x2

2.



x 2  5 dx

3.

x

4.

 6  x 

5.

x

9  x2  x  arcsen    C 2 x 3 



x 2 5 x 1 5 2 5 ln x x   C 2 2 5

dx

x2  9 1  x arc sec   C 2 54  3  18 x

x 9

3

Respuesta

2

x

dx

2

6.



7.

x

3 2



4  x2 C 4x

4 x 2 dx x2



4  x2  x  arcsen    C x 2

dx

x2 dx x2  6

9.

 2  x 

1 x x2  6  3 ln 2 x

dx

2

3 2

2 2  x2

dx

4 x

2

9





3 2

dx

x

2

x2  4  2 C x

1 ln 2

x2  4



11. 

C

dx 4  x2

2

8.

10. 

6 6  x2



 6 x  18 ln 3 w

12. 

w ln w  4

13. 

x2 dx 2x  x 2

2

3 2

dw



C

x 9 4 x2  9 1 9

x2  6  x C 6

C

x 3 x  6 x 18 2



C



1 ln 2 w  4 8  ln 2 w  C 3

1 3 arcsen x 1   x  3 2 x  x 2  C 2 2...