Integrales de linea - practica 2 PDF

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2o curso del Grado en Ingenier´ıa

´ctica 3: Integrales de l´ınea Pra INTEGRALES DE L´INEA La representaci´on de una curva en param´etricas se realiza con las instrucciones: t=linspace(a,b,n); x=x(t); y=y(t); plot(x,y), donde a y b son los l´ımites del par´ametro y n el n´ umero de puntos escogido para hacer la representaci´ on. En el espacio se hace igual salvo que habr´ıa que definir la z=z(t) y escribir plot3(x,y,z). EJEMPLO 1 Representaci´on de la cicloide x=2∗(t-sin(t)), y=2∗(1-cos(t)) EDU≫ t=linspace(0,4*pi,1000); EDU≫ x=2*(t-sin(t)); EDU≫ y=2*(1-cos(t)); EDU≫ plot(x,y), axis([0 26 0 5]), xlabel(’X’), ylabel(’Y’),gtext(’CICLOIDE’) Hemos dibujado dos ciclos y tomado los ejes con la x entre 0 y 26 y la y entre 0 y 5. Con xlabel e ylabel hemos puesto texto en los ejes X e Y. Con gtext escribimos un t´ıtulo en cualquier punto de la gr´afica. EJEMPLO 2 Representaci´on de la h´elice x = sin(t), y = cos(t), z = t2 . EDU≫ t=linspace(0,8*pi); EDU≫ x=sin(t); EDU≫ y=cos(t) EDU≫ z=t.∧ 2; EDU≫ plot3(x,y,z) El c´alculo de la longitud de una curva se realiza integrando el m´odulo del vector tangente. Las ´ordenes ser´an: syms t ; x=x(t); y=y(t); dl=sqrt(diff(x)∧ 2+diff(y)∧ 2); int(dl,t,a,b) en el plano. El par´ametro se define como variable simb´olica, se definen las variables x e y como funci´on de t. diff(x,t) significa la derivada de x respecto a t. Sumamos los cuadrados de las derivadas y tomamos la ra´ız cuadrada integr´andola finalmente para calcular la longitud. EJEMPLO 3 Vamos a calcular la longitud del arco de cicloide con t en [0,2*pi] EDU≫ syms t EDU≫ x=2*(t-sin(t)); EDU≫ y=2*(1-cos(t)); EDU≫ dl=sqrt(diff(x,t)∧ 2+diff(y,t)∧ 2) EDU≫ int(dl,t,0,2*pi) 1

ans = 4*16∧ (1/2) EDU≫ simplify(int(dl,t,0,2*pi)) ans = 16 EDU≫ simplify(int(dl,t,0,4*pi)) ans = 32 Hemos calculado la longitud de dos ciclos.Ahora calculamos para una cicloide con valor gen´erico a EDU≫ syms t a EDU≫ x=a*(t-sin(t)); EDU≫ y=a*(1-cos(t)); EDU≫ dl=sqrt(diff(x,t)∧ 2+diff(y,t)∧ 2) EDU≫ int(dl,t,0,2*pi) ans = 4*(a∧ 2)∧ (1/2)*4∧ (1/2) Podemos calcular la longitud de una circunferencia de radio a EDU≫ syms a t EDU≫ x=a*cos(t); EDU≫ y=a*sin(t); EDU≫ dl=sqrt(diff(x,t)∧ 2+diff(y,t)∧ 2) EDU≫ int(dl,t,0,2*pi) ans = 2*pi*(a∧ 2)∧ (1/2) EJERCICIO 1 Representar la curva x=cos(t)*(1+cos(t)), y=sin(t)*(1+cos(t)) con 0 ≤ t ≤ 2π. Calcular su longitud.(sol: 8) EJEMPLO 4 Tambi´en podemos integrar un campo escalar sobre una curva. Integramos el campo escalar x − y sobre la circunferencia x2 + y2 = ax (a > 0); la parametrizacion es a a x = (1 + cos(t)) , y = sin(t). 2 2 EDU≫ syms t a EDU≫ x=a/2*(1+cos(t)); EDU≫ y=a/2*sin(t); EDU≫ dl=sqrt(diff(x,t)∧ 2+diff(y,t)∧ 2) EDU≫ f=x-y EDU≫ int(f∗dl,t,0,2*pi) EDU≫ simplify(int(f∗dl,t,0,2*pi))

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ans = 1/2*csgn(a)*a∧ 2*pi Fijaos en que hemos de definir la funci´on a integrar y multiplicarla por el elemento de longitud dl. Despu´es integramos el producto y obtenemos la soluci´on. csgn(a) significa el signo de a. EJEMPLO 5 Podemos calcular la integral de l´ınea de un campo vectorial en el espacio f=(f1,f2,f3) calculando el vector tangente con la instrucci´on [diff(x,t) diff(y,t) diff(z,t)] e integrando el producto escalar del campo y vector tangente, donde f es campo vectorial y v el vector tangente. sum(f.∗v) es el producto escalar.Finalmente integraremos con int(sum(f.∗v),t,a,b). Integramos como ejemplo el campo vectorial f=(x∧ 2,y∧ 2,z∧ 2) a lo largo de la curva (cos(t), sin(t), t2 ). Declaramos simb´olicas las variables EDU≫ syms t EDU≫ x=cos(t); EDU≫ y=sin(t); EDU≫ z=t∧ 2; EDU≫ v=[diff(x,t) diff(y,t) diff(z,t)] EDU≫ f=[x∧ 2 y∧ 2 z∧ 2] EDU≫ g=sum(f.*v) EDU≫ int(g,t,0,2*pi) ans = 64/3*pi∧ 6 EJERCICIO 2 4 Calcular la integral curvil´ on de las superficies p ınea de zdx + xdy + y dz a lo largo de la curva intersecci´ 2 2 2 x + y + z = 1 , z = x2 + y2 . (sol:pi/2) EJERCICIO 3 ~ = (yexy + 2x, xexy + 2y), probar que es conservativo y calcular el potencial. Sea el campo vectorial F xy 2 2 (sol:e + x + y )

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