MATERI AJAR MATA PELAJARAN : MATEMATIKA KELAS : VIII MATERI POKOK : GARIS SINGGUNG LINGKARAN PENYUSUN PDF

Preview

Summary

MATERI AJAR MATA PELAJARAN : MATEMATIKA KELAS : VIII MATERI POKOK : GARIS SINGGUNG LINGKARAN PENYUSUN : THOMAS SUTASMAN, S.Si KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN TAHUN PELAJARAN 2018/2019 1 GARIS SINGGUNG LINGKARAN A. Pendahuluan 1. Kompetensi Dasar 3.8 Menjelaskan garis singgung persekutuan luar ...

Description

Accelerat ing t he world's research.

MATERI AJAR MATA PELAJARAN : MATEMATIKA KELAS : VIII MATERI POKOK : GARIS SINGGUNG LINGKARAN PENYUSUN thomas sutasman

Related papers

Download a PDF Pack of t he best relat ed papers 

Modul Mat emat ika SMP kelas 9 maria dhae

Smp8mat Mat emat ika Konsep Dan Aplikasinya Dewi Nuharini Rachma Sari MAT ERI DAN LAT IHAN SOAL MAT EMAT IKA NGAT INI.Spd SMP N 1 PWDD Apri Adi

MATERI AJAR MATA PELAJARAN KELAS MATERI POKOK PENYUSUN

: MATEMATIKA : VIII : GARIS SINGGUNG LINGKARAN : THOMAS SUTASMAN, S.Si

KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN TAHUN PELAJARAN 2018/2019 1

GARIS SINGGUNG LINGKARAN A. Pendahuluan 1. Kompetensi Dasar 3.8 Menjelaskan garis singgung persekutuan luar dan persekutuan dalam dua lingkaran dan cara melukisnya 4.8 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan garis singgung persekutuan luar dan persekutuan dalam dua lingkaran

2. Indikator 3.8.1 Menyatakan pengertian garis singgung lingkaran 3.8.2 Menjelaskan sifat-sifat garis singgung lingkaran 3.8.3 Menentukan panjang garis singgung lingkaran yang melalui satu titik di luar lingkaran yang membentuk segitiga 3.8.4 Menentukan panjang garis singgung lingkaran pada garis singgung melalui satu titik di luar lingkaran yang membentuk layang-layang 4.8.1 Melukis Garis Singgung Melalui Suatu Titik pada

dan di luar

Lingkaran 4.8.2 Menyelesaikan masalah tentang panjang garis singgung lingkaran yang melalui satu titik di luar lingkaran

3. Materi Pokok a.

Pengertian garis singgung lingkaran

b.

Sifat-sifat garis singgung lingkaran

c.

Melukis garis singgung lingkaran

d.

Menentukan panjang garis singgung lingkaran yang melalui satu titik di luar lingkaran. 2

B. Peta Konsep

Catatan : Garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran dan garis singgung persekutuan luar dua lingkaran menjadi materi selanjutnya.

3

C. Uraian Materi 1. Pengantar Lebih dari seribu tahun yang lalu, para ahli matematika Bangsa Yunani biasa memandang garis singgung sebuah lingkaran sebagai

sebuah

garis

yang

menyentuh

lingkaran hanya di satu titik. Descartes bahkan mempunyai argumen bahwa pasti ada dua

titik

potong

ketika

sebuah

garis

memotong lingkaran. Jika hanya ada satu titik Gambar 1: Issac Newton Sumber: http://mentalfloss.com/ article/24520/6-things-you-shouldknow-about-isaac-newton

potong, maka garis itu pastilah garis singgung lingkaran.

Mereka

hanya

menempatkan

lingkaran sebagai bangun yang stagnan.

Berlawanan dengan ide-ide tersebut, Issac Newton, orang Inggris yang menemukan Hukum Universal Gravitasi, mempunyai pendapat yang berbeda mengenai garis singgung. Ia memandang garis singgung pada sebuah titik sebagai limit posisi dari sebuah garis yang melalui titik itu dan titik lain yang bergerak semakin dekat ke titik tadi. Dengan demikian, lingkaran menurut Newton merupakan lintasan lengkung tertutup sederhana yang membolehkan gerakan dan oleh karena itu lingkaran disebut bangun yang dinamis. Dalam kehidupan sehari-hari, manfaat penggunaan garis singgung lingkaran adalah:

4

1. Alat timba air tradisional atau katrol ganda mempermudah pengangkatan barang

Sumber: https://i.ytimg.com/vi/NCWzWW6KIek/maxresdefault.jpg

2.

Katrol penarik barang pada proyek bangunan

Sumber: https://inventorsoftomorrow.com/2016/09/26/pulleys-2/

3. Garis singgung persekutuan dalam pada terjadinya gerhana

Sumber: https://www.infoastronomy.org/2016/03/gerhana-bulan-penumbra-23maret-2016.html

5

2.

Pengertian dan Sifat Garis Singgung Lingkaran Untuk menentukan pengertian Garis Singgung Lingkaran, perlu diperhatikan gambar berikut.

Gambar 1. Garis singgung lingkaran Gambar 2 di atas menunjukkan lingkaran yang berpusat di titik O dengan diameter AB. Garis g tegak lurus AB dan memotong lingkaran di dua titik. Jika g digeser terus menerus ke atas hingga menyentuh titik A, maka akan diperoleh garis p yang menyinggung lingkaran dan tegak lurus AB. Garis p disebut garis singgung dan titik A disebut titik singgung. Uraian di atas menggambarkan definisi dari garis singgung lingkaran, sebagai berikut: garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran tepat di satu titik.

6

Dengan demikian didapat beberapa hal sebagai berikut: 1.

Titik pada lingkaran yang dilalui garis singgungnya dinamakan titik singgung lingkaran.

2.

Setiap garis singgung lingkaran selalu tegak lurus pada diameter atau jari- jari yang ditarik melalui titik singgung.

Perhatikan gambar 3 berikut:

Gambar 3.Garis singgung lingkaran Gambar 3 memperlihatkan bahwa garis g menyinggung lingkaran di titik A. Garis g tegak lurus jari-jari OA. Dengan kata lain, hanya terdapat satu buah garis singgung yang melalui satu titik pada lingkaran. Penjelasan selanjutnya, dengan memperhatikan gambar 4 berikut ini.

Gambar 4.

7

Pada gambar 4 di atas, garis p dan q adalah garis singgung lingkaran yang melalui titik A di luar lingkaran dan menyinggung lingkaran di titik B dan C. Apabila titik A digeser ke H, maka garis p dan q akan bergeser sehingga menjadi garis r dan s yang menyinggung lingkaran di titik D dan E. Apabila titik H digeser ke F tepat pada keliling lingkaran, maka garis r dan s bergeser dan saling berimpit menjadi garis t. Jadi, hanya terdapat satu garis singgung lingkaran yang melalui satu titik pada lingkaran. Selanjutnya, akan dibahas tentang garis singgung lingkaran yang melalui satu titik di luar lingkaran, dengan memperhatikan gambar berikut ini.

Gambar 5. Layang-layang garis singgung Pada gambar 5, titik A terletak di luar lingkaran. Garis p melalui titik A dan menyinggung lingkaran di titik B, sehingga garis p tegak lurus jari-jari OB. Garis q melalui titik A dan menyinggung lingkaran di titik C, sehingga garis q tegak lurus jari-jari OC. Dengan demikian, dapat dibuat dua buah garis singgung yang melalui satu titik di luar lingkaran.

8

Dengan demikian di dapat beberapa hal sebagai berikut: 1. Hanya terdapat satu buah garis singgung yang melalui satu titik pada lingkaran 2. Dapat dibuat dua buah garis singgung yang melalui satu titik di luar lingkaran

3. Melukis Garis Singgung Lingkaran a. Melukis Garis Singgung Melalui Suatu Titik pada Lingkaran

Langkah-langkah melukis garis singgung lingkaran melalui satu titik pada lingkaran: 1) Buat lingkaran dengan pusat O dan sebuah titik A terletak pada lingkaran, kemudian tarik garis dari pusat O ke titik A dan panjangnya di luar lingkaran, sehingga OA merupakan jari-jari lingkaran.

2) Lukis busur lingkaran berpusat di A sehingga memotong garis OA dan panjangnya di titik B dan C.

9

3) Lukis busur lingkaran berpusat di titik B dan C sehingga saling berpotongan di titik D dan E. Hubungkan titik D dan E. Garis DE adalah garis singgung lingkaran di titik A.

b. Melukis Garis Singgung Melalui Satu Titik di Luar Lingkaran

Langkah melukis garis singgung melalui satu titik di luar lingkaran: 1. Buatlah sebuah lingkaran dengan pusat O. Hubungkan O dengan titik T yang terletak di luar lingkaran.

2. Bagilah garis OT menjadi dua ruas garis yang sama panjang dengan melukis busur lingkaran yang berpusat di titik O dan titik T yang saling berpotongan dititik A dan B, kemudian hubungkan titik A dan B sehingga memotong garis OT di titik M sebagai titik tengah, sehingga OM = MT.

10

3. Buatlah busur lingkaran dengan pusat M dan jari-jari OM sehingga memotong lingkaran dengan pusat O di titik C dan D.

4. Hubungkan titik C dengan T dan titik D dengan T sehingga diperoleh CT dan DT, yaitu pasangan garis singgung yang melalui titik T.

11

4.

Menentukan panjang garis singgung lingkaran dari satu titik pada atau di luar lingkaran

a. Menentukan Panjang Garis Singgung Lingkaran dari Satu Titik pada lingkaran berbentuk Segitiga siku-siku Perhatikan gambar berikut:

Gambar 6 Pada gambar 6 di atas, lingkaran berpusat di titik O dengan jari-jari OB dan OB tegak lurus garis AB. Garis AB adalah garis singgung lingkaran melalui titik A di luar lingkaran. Terbentuk segitiga siku-siku ABO, sehingga teorema Pythagoras berlaku: OB2  AB2  OA 2 AB2  OA 2  OB2 AB  OA 2  OB 2

12

Diketahui jari-jari lingkaran OB = OP = r.

Jarak terdekat titik A dengan lingkaran adalah AP, dimana AP = AO – OP = OA – r Jarak terjauh titik A dengan Lingkaran adalah AB, dimana AB =

(OA) 2  (OB) 2  (OA) 2  r 2

Contoh 1: Perhatikan gambar berikut!

AB merupakan garis singgung lingkaran dengan pusat O. Jika besar AOB  57o , maka tentukan besar OAB !

Penyelesaian: Karena garis singgung AB tegak lurus dengan OB, maka besar ABO  90o , sehingga OAB = 180o  ABO  AOB OAB = 180o  90o  57o

13

OAB = 33o

Contoh 2: Perhatikan gambar berikut!

Jika diketahui jari-jari lingkaran

cm dan OA = 10 cm. Tentukan

panjang garis singgung AB!. Penyelesaian: AB2  OA 2  r 2

AB  10 2  6 2 AB  100  36

AB  64 AB  8 Jadi, panjang AB adalah 8 cm.

b. Menentukan Panjang Garis Singgung Lingkaran dari Satu Titik di Luar Lingkaran berbentuk Layang-layang

Sekarang akan menghitung panjang garis singgung yang ditarik dari sebuah titik di luar lingkaran, dengan memperhatikan gambar 7 berikut.

14

Gambar 7 Garis AB dan AC adalah garis singgung lingkaran yang berpusat di titik O. Panjang OB = panjang OC = r = jari-jari lingkaran, maka panjang garis singgung selalu tegak lurus terhadap jari-jari lingkaran, sehingga panjang garis singgung AB dan AC dapat dihitung dengan menggunakan teorema Pythagoras.

Pada ΔOAB , gambar 7 di atas, berlaku teorema Pythagoras sebagai berikut: OB2  AB2  OA2 AB2  OA2  OB2 AB  OA 2  OB2 AB  OA 2  r 2

Pada ΔOAC juga berlaku teorema Pythagoras, yaitu : OC2  AC2  OA2 AC2  OA2  OC2

15

AC  OA 2  OC2 AC  OA 2  r 2

Ternyata di dapat AB = AC =

OA 2  r 2 .

Dari uraian tersebut dapat ditarik kesimpulaan bahwa kedua garis singgung lingkaran yang ditarik dari sebuah titik di luar lingkaran mempunyai panjang yang sama.

Gambar 8 Selain itu, pada gambar 8 di atas tampak bahwa garis AB dan AC adalah garis singgung lingkaran yang berpusat di titik O. Dengan demikian, o

 OCA =  OBA =90 dan AB = AC dengan garis BC merupakan tali busur.

Pada ∆OBC, OB = OC = jari-jari, sehingga ∆OBC adalah segitiga sama kaki. Sekarang, perhatikan ∆ABC. Pada ∆ABC, AC = AB = garis singgung, sehingga ∆ABC adalah segitiga sama kaki. Dengan demikian, segi empat OBAC terbentuk dari segitiga sama kaki OBC dan segitiga sama kaki ABC dengan alas BC yang saling berimpit. Oleh karena itu, kita dapat mengatakan bahwa segi empat OBAC merupakan layang-layang. Karena sisi layang-layang OBAC terdiri dari jari-jari lingkaran dan garis singgung lingkaran, maka segi empat OBAC disebut layang-layang garis singgung.

16

Dengan demikian di dapat beberapa hal sebagai berikut: a. Dua garis singgung lingkaran yang melalui titik di luar lingkaran dan dua jari-jari yang melalui titik singgung dari kedua garis singgung tersebut membentuk bangun layang-layang. b. Layang-layang yang terbentuk dari dua garis singgung lingkaran dan dua jari-jari yang melalui titik singgung dari kedua garis singgung tersebut disebut layang-layang garis singgung. Luas layang –layang OBAC dapat di cari dengan dua cara: 1. Luas OBAC = 2 x Luas segitiga OAB =2x

ABxOB 2

= AB x OB 2. Luas OBAC = ½ x diagonal 1 x diagonal 2 =

OAxBC 2

Contoh 3: Perhatikan gambar di bawah!

Pada gambar di atas AB dan AC adalah garis singgung lingkaran titik A di luar lingkaran. Jika panjang OC =

cm, AC =

cm, dan OA =

cm, maka

hitunglah panjang BC! Penyelesaian:

17

Diketahui: Panjang OC =

cm, AC =

cm, dan OA =

cm

Ditanya: Panjang BC Jawab: 1  OC  AC 2

Luas ∆ OCA =

=

1  x y 2

=

xy 2

Luas layang-layang OBAC =2

luas ∆ OCA

=2

xy 2

= 1 2

Luas layang-layang =  OA BC =

1  z  BC 2 z 2

=  BC

xy = BC z 2 xy 

2  BC z

2 xy  BC z

18

Jadi panjang BC adalah

2 xy . z

Contoh 4: Perhatikan gambar di bawah!

Bangun OACB adalah layang-layang garis singgung dengan panjang OB = 9 cm dan OA = 15 cm. Berapakah panjang tali busur BC? Penyelesaian: OB2  AB2  OA2 AB  OA 2  OB2 AB  152  9 2

AB  225 81

AB  144 AB  12

Luas OBAC = ½ x diagonal 1 x diagonal 2 AB x OB = 12 x 9 =

OAxBC 2

15xBC 2

2(12x9)  15xBC

19

BC 

216  14,4 cm 15

D. Rangkuman a. Sifat-sifat Garis Singgung Lingkaran 1. Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran di satu titik. 2. Garis singgung lingkaran tegak lurus terhadap jari-jari atau diameter yang ditarik melalui titik singgungnya. 3. Melalui sebuah titik pada lingkaran hanya dapat dibuat satu garis singgung pada lingkaran tersebut. 4. Melalui sebuah titik di luar lingkaran dapat dibuat dua garis singgung pada lingkaran tersebut. 5. Kedua garis singgung lingkaran yang ditarik dari sebuah titik di luar lingkaran mempunyai panjang yang sama.

b. Menghitung panjang garis singgung lingkaran yang ditarik dari satu titik di luar lingkaran. A g

r O d

AOB merupakan segitiga siku-siku B

karena OA tegak lurus dengan AB, karena AB garis singgung dan OA jarijari. Menurut teorema Phytagoras berlaku : g =

d 2  r2

OA = r = jari-jari AB = g = garis singgung dari titik B 20

OB = d = jarak titik B dari pusat lingkaran O C.

Layang-layang garis singgung A OABC adalah layang-layang garis

g

singgung. O

d

C

AC = BC = garis singgung lingkaran OC = jarak titik C dari titik pusat

B

lingkaran O Luas ∆OAC = ½ x OA x AC Luas OACB = OA x AC Karena OACB layang-layang maka luasnya dapat dihitung dengan rumus : L. OACB = OC x AB

E. Latihan Soal 1.

Sebutkan sifat-sifat dari garis singgung lingkaran! Jawab : .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. ..................................................................................................................................

21

2.

Perhatikan gambar !

Diketahui KL garis singgung lingkaran. Jika besar OKL  37o , maka tentukan besar KOL ! Jawab : .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. 3.

Perhatikan gambar!

KL garis singgung lingkaran. Jika panjang jari-jari lingkaran adalah 5 cm dan jarak OL = 13 cm, tentukan panjang KL ! Jawab : .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. ..................................................................................................................................

22

4.

Sebuah lingkaran berjari-jari 9 cm dan titik A berada 15 cm di luar lingkaran dari titik pusat lingkaran. Garis singgung lingkaran tersebut yang di tarik dari titik A menyinggung lingkaran di titik B. a.

Gambarlah keterangan di atas

b.

Tentukan panjang garis singgung lingkaran tersebut yang di tarik dari titik A!

Jawab : .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. ..................................................................................................................................

5.

Lingkaran berpusat di O berjari-jari 10 cm. Panjang garis singgung yang ditarik dari titik P adalah 24 cm, tentukan jarak titik P dari titik pusat lingkaran O! Jawab : .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .....................................................................................

6. Perhatikan gambar di bawah ini!

AB adalah garis singgung. Jika diketahui sudut APC = 350, maka berapakah besar sudut ABC ?

23

Jawab : ......................................................................................................................... ......................................................................................................................... ......................................................................................................................... ......................................................................................................................... ........................................................