Matrices Elementales - Summary Álgebra lineal PDF

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Tema - Matrices, Subtema - Matrices Elementales, Escalerización....

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Matrices Elementales y Escalerización matricial Introducción Trabajaremos con matrices cuadradas nxn.

Llamamos operaciones elementales de escalerización, aplicables a una matriz: 1) Multiplicar una fila por un número distinto de cero. 2) A una fila sustituirla por ella sumándole una combinación lineal de las restantes. 3) Intercambiar dos filas. Mediante estas operaciones podemos ir transformando una matriz cualquiera a la que denominaremos una matriz escalerizada de la anterior la cual presenta las siguientes características: 1) Todas las filas, salvo quizás la primera, comienzan con una sucesión de ceros. 2) Cada fila tiene al principio por lo menos un cero más que la fila inmediata superior excepto que la fila esté constituida toda por ceros. Llamaremos matrices elementales a las matrices que permiten escribir el resultado de una operación elemental como el producto de esta matriz elemental por la matriz a la que se le aplicó la operación.

Matrices Elementales Una matriz n × n se llama matriz elemental si puede obtenerse de la matriz identidad I nxn por medio de sólo una operación elemental. Como hay tres tipos diferentes de operaciones elementales, hay tres tipos de matrices elementales. Entonces podemos obtener el resultado de aplicar una operación elemental a una matriz nxn, multiplicando la matriz elemental nxn asociada a esa operación por la matriz a la que quiero aplicarle la operación elemental. Si A es una matriz nxn y E una matriz elemental de tamaño nxn asociada a una operación elemental, el producto ExA es la matriz que se obtiene al aplicar la operación elemental a la matriz A. Ejemplo: 1) A=

(

1 4 3 5 2 6 0 7 2

)

=> F2 A’=

(

1 4 3 10 4 12 0 7 2

)

2) Id=

1 0 0 0 1 0 0 0 1

(

)

= > F2 E =

multiplicaré E*A

x

E=

(

1 0 0 0 2 0 0 0 1

A=

)

(

1 4 3 5 2 6 0 7 2

1 0 0 0 2 0 0 0 1

(

)

Esto es una matriz elemental, ahora

)

Resultado=

(

1 4 3 10 4 12 0 7 2

)

-> Como se puede observar obtuvimos el mismo resultado que en el paso 1, la matriz A con la operación 2xF2

Escalerización Matricial Una matriz A se puede escalerizar aplicándole las operaciones elementales de forma conveniente para llegar a su matriz escalerizada. Entonces una matriz escalerizada de la anterior es aquella que presenta las siguientes características: 1) Todas las filas, salvo quizás la primera, comienzan con una sucesión de ceros. 2) Cada fila tiene al principio por lo menos un cero más que la fila inmediata superior excepto que la fila esté constituida toda por ceros.

Vimos que cada operación elemental de una matriz cualquiera nxn se puede obtener multiplicando la matriz elemental nxn asociada a esa operación por la matriz que quiero modificar. Entonces se puede llegar a la matriz escalerizada mediante la multiplicación de matrices elementales asociadas a las operaciones elementales necesarias para escalerizar dicha matriz, por la matriz original.

A escalerizada =E1∗ E2∗E 3∗…∗Ek ∗A nxn

Ejemplo:

2 1 0 −4 −1 −3 3 1 2

(

A=

)

Escalerización de A:

(

2 1 0 −4 −1 −3 3 1 2

)

F2...