ME6 Pohlsches Rad - - Praktikumsanleitung PDF

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Versuchsanleitung zum Physik-Praktikum ME & MuK

Mechanische Schwingungen Pohlsches Rad

Teilnehmer / Matr.-Nr. / Studiengang

Gruppen-Nr.

Versuch: ME6 Stand: 03-2016 Seite 1 von 12 Betreuer

(1) (2) (3) Termine: Versuchsdurchführung / Protokollabgabe Abgabe 1. Korrektur Abgabe 2. Korrektur Testat Verbindliche Erklärung: Hiermit erklären wir, die nachfolgende Ausarbeitung eigenständig und nur mit den angegebenen Hilfsmitteln angefertigt zu haben. Unterschriften:

(1) __________________

Gießen, den _______________

(2) __________________

(3) _________________

Anmerkungen: Der Versuch wurde ordnungsgemäß durchgeführt.

Die Ausarbeitung entspricht den Anforderungen.

Die Korrektur entspricht den Anforderungen.

ja / nein

ja / nein

ja / nein

Wichtig: Bei Vorlage der korrigierten Ausarbeitung ist die beanstandete Version beizufügen. Folgende Nachbesserungen sind erforderlich:

Stempel Testat 1 

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Versuchsanleitung zum Physik-Praktikum ME & MuK

Mechanische Schwingungen Pohlsches Rad

Versuch: ME6 Stand: 03-2016 Seite 2 von 12

Eigenfrequenz, Resonanz und Dämpfung bei einem Drehpendel 

1. Messanordnung:

Abb.1: Pohl'sches Rad 2. Theoretische Grundlagen Harmonischer Oszillator, Federschwinger, Fadenpendel, Resonanz, Dämpfung, magnetische Induktion, Elektromagnet, Pohlsches Rad, Wirbelstrom (-bremse) 3. Grundsätzliches zum Messverfahren Dreht man das Pendel aus seiner Gleichgewichtslage und gibt es dann frei, führt es Schwingungen um die Gleichgewichtslage aus. Die, bei vernachlässigbarer Dämpfung, periodisch immer wieder auftretende Maximalauslenkung wird als Schwingungsamplitude φm bezeichnet. Mit:

 t    m  cos  t 

  2  f

(1)

Die Zeit für ein volles Hin- und Zurückschwingen des Pendels heißt Schwingungsdauer T. Sie ist unabhängig von der Amplitude. Die Eigenfrequenz f gibt die Anzahl der Schwingungen des Pendels pro Zeiteinheit an. Man berechnet sie aus: (2) 1 f  . T

Erfährt das Pendel durch eine zeitlich veränderliche äußere Kraft Ft   Fe  cos  e t 

 e  2  fe 2

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(3)

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Mechanische Schwingungen Pohlsches Rad

Versuch: ME6 Stand: 03-2016 Seite 3 von 12

eine gleichbleibende periodische Anregung, bildet sich im Laufe der Zeit eine erzwungene Schwingung des Pendels mit konstanter Amplitude φ aus. Die Schwingungsdauer TA stimmt nach dem Einschwingen mit der Periodendauer der Anregung überein. Die Größe der Schwingungsamplitude φ hängt von der Anregungsfrequenz ab. Es gilt (4) 1 fe  . Te Diejenige Anregungsfrequenz fe, für die φm maximal ist, wird als Amplitudenresonanzfrequenz fRes bezeichnet. Bei nicht zu starker Pendeldämpfung ist sie praktisch gleich der Eigenfrequenz f.

Das System (Pohlsches Rad) kann durch Anlegen eines Magnetfeldes gedämpft werden. Realisiert wird dies durch einen Elektromagneten, der in der bewegten Schwungscheibe (Kupfer) des Pendels Wirbelströme induziert (Wirbelstrombremse!). Die Spule des Elektromagneten ist an ein Netzteil angeschlossen. Die Stärke der Dämpfung kann über die Stromstärke des Spulenstroms variiert werden (max. 1 A). 4. Messungen 4.1. Messung der Eigenfrequenz an einem ungedämpften System (f0)

Das Pendel wird bei abgeschaltetem Motorantrieb und abgeschalteter Dämpfung ausgelenkt und dann losgelassen. Man misst seine Schwingungsdauer mit einer Stoppuhr mit Hundertstelsekunden-Anzeige. Zur Untersuchung der Messgenauigkeit und zum Erkennen systematischer Fehler beim manuellen Stoppen führt man mehrere Messreihen mit je 5 Messungen von jeweils 1 Schwingung (T0) und 12 Schwingungen (12 T0) durch. Man stellt die Messwerte für T0 und f0 tabellenmäßig zusammen und berechnet für jede der beiden Messreihen (T0, 12 T0) die Mittelwerte T0 , f 0 und die statistischen Unsicherheiten  T0 , f0 (s. Abschnitt 5). Für die folgenden Versuche ist danach derjenige Mittelwert ( T0 ) für T0 zu verwenden, der sich als genauester herausgestellt hat. Als Frequenz f0 ist im Folgenden der Kehrwert von diesem T0 zu verwenden. 4.2. Messung der Eigenfrequenz an einem gedämpften System (fd)

Analog zu 4.1. soll bei verschiedenen System-Dämpfungen, nach Einstellen verschiedener Stromstärken am Netzteil (Id = 200, 300, 500 und 800 mA) die Schwingungsdauer Td und daraus die resultierende gedämpfte Eigenfrequenz fd bestimmt werden. Dabei ist jeweils eine noch gut messbare Anzahl N von Schwingungen für jede Stromstärke sinnvoll zu wählen (max. 20). 3 

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Mechanische Schwingungen Pohlsches Rad

Versuch: ME6 Stand: 03-2016 Seite 4 von 12

Ferner ist für jede Messung aus der Beziehung 2

 d  0  2

bzw.

2

f d  f0 

2 . 2 4

(5)

die Abklingkonstante δ zu bestimmen. 4.3. Bestimmung der Abklingkonstante  aus Amplitudenmessungen

Es wird am Netzteil eine konstante Dämpfung bei einem Spulenstrom von 300 mA eingestellt. Das Pendel wird manuell auf etwa 18 Skalenteile nach einer Seite ausgelenkt. Es werden in der Tabelle die Amplituden notiert, die sich jeweils nach ganzzahligen (gleiche Seite) oder halbzahligen (andere Seite) Schwingungsdauern einstellen. Die zugehörige Schwingungsdauer Td wurde bereits in Abschnitt 4.2. ermittelt. Berechnen Sie aus allen aufeinanderfolgenden gleichsinnigen Amplituden gemäß der folgenden Gleichungen für das Dämpfungsverhältnis die Abklingkonstante δ k

 m t   mt  T 

k  e Td .

(6)

Die Berechnung ist für alle möglichen Kombinationen (Zeitunterschiede T) von Amplituden φm(t) und φm(t+T), die gemessen wurden, durchzuführen. Bestimmen Sie für aus den so ermittelten Abklingkonstanten den Mittelwert und die statistische Unsicherheit (s. Abschnitt 5) und vergleichen Sie das Ergebnis mit dem aus Abschnitt 4.2. 4.4. Resonanzkurvenmessung

Die Messungen erfolgen bei eingeschalteter Dämpfung. Diese ist so einzustellen, dass ein Spulenstrom von 300 mA fließt. Ohne diese Dämpfung ist die Schwingungsamplitude in der Nähe der Resonanzstelle für die vorgegebene Apparatur zu groß. Zur Anregung der Schwingung wird ein Schrittmotor mit 1000 Schritten pro Umdrehung verwendet. Dies bedeutet, dass der Motor 1000 Taktimpulse für eine Umdrehung der Achse vom Funktionsgenerator erhalten muss. Die Anregungsfrequenz fe des Pendels ist also ein Tausendstel der Taktfrequenz fTakt, die der Funktionsgenerator liefert. Zur Auswertung der Messresultate stellt man φm (stabile Amplitude nach einer kurzen Einschwingzeit) über fe grafisch (Millimeterpapier) dar, nachdem die Messwerte in die 4 

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Mechanische Schwingungen Pohlsches Rad

Versuch: ME6 Stand: 03-2016 Seite 5 von 12

Tabelle eingetragen wurden. Für das Diagramm wähle man 1 cm pro 1 Skalenteil als Maßstab auf der φm-Achse sowie 1 cm für 0,01/s als Maßstab auf der fe-Achse. Die Resonanzstelle sollte etwa in der Mitte der fe-Achse liegen (Nullpunktunterdrückung der fe-Achse erforderlich). Die Messpunkte sind deutlich zu markieren. Die Resonanzkurve ist möglichst glatt anhand der Messpunkte zu zeichnen, wobei die Messpunkte eventuell nur näherungsweise auf der Kurve liegen. Die Messpunkte sind also nicht unbedingt zu verbinden! Aus der Resonanzkurve ist die Resonanzfrequenz fRes (bei der die Amplitude φm maximal ist) und die Güte zu bestimmen. Hierzu sucht man die beiden Frequenzen f1 und f2 auf der linken bzw. rechten Flanke der Resonanzkurve auf, bei denen der Wert der Amplitude auf den Anteil 1  0,707 des Maximalwertes abgefallen ist. 2 Die Resonanzfrequenz ergibt sich zu: fRe s 

f1  f 2 . 2

(7)

Man überprüfe, ob fRes in das Intervall f0 ± ∆f (aus Abschnitt 4.1.) fällt. Bei einer gut ausgeführten Messung mit schwacher Dämpfung sollte dies der Fall sein. Ein Maß für die relative Stärke der Dämpfung ist der dimensionslose Gütefaktor Q. Je größer Q, desto geringer ist die Dämpfung. Bestimmen Sie Q aus der Beziehung: Q

fRe s . f 2  f1

(8)

5. Messunsicherheiten (statistische Messunsicherheit)

Um für eine gemessene Größe (allgemein: x) die Messunsicherheit (x) zu bestimmen, kann man bei Vorliegen mehrerer unabhängiger Messungen die Streuung der einzelnen Messwerte (xi) um den Mittelwert der Messwerte heran ziehen. Der Mittelwert ( x ) der Messgröße ergibt sich bei n Messungen aus den Einzelmesswerten xi durch

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Versuchsanleitung zum Physik-Praktikum ME & MuK

Mechanische Schwingungen Pohlsches Rad x

1  xi . n i

Versuch: ME6 Stand: 03-2016 Seite 6 von 12

(9)

Die Messunsicherheit für den so bestimmten Mittelwert erhält man mathematisch aus der Standardabweichung des Mittelwertes 1 x  x  x 2 (10) n  1 i i (n = Anzahl der Messungen) über (11)  x  m  x n Dabei ist n die Anzahl der Messungen. Der ganzzahlige Wert m legt fest, mit welcher Sicherheit der gesuchte wahre Wert für die Größe x in dem ermittelten Intervall x   x, x   x liegt. Wählt man m = 1, so erhält man eine 68,3 %ige Sicherheit. Meist ist dies nicht zufriedenstellend, so dass m = 2 gewählt wird, womit man eine 95,4 %ige Sicherheit erhält. Für noch sicherere Angaben kann man m = 3 wählen und ist dann zu 99,7 % sicher, dass der gesuchte Wert x im Intervall liegt. Hier im Praktikum soll mit m = 2 gearbeitet werden. Die Ermittlung der statistischen Unsicherheit ist für eine große Anzahl n von Messungen günstig – allgemein setzt man n > 10. Es soll hier näherungsweise auf die Bestimmung der ungedämpften Schwingungsdauern (x  T0, s. Abschnitt 4.1) und der Abklingkonstante (x  , s. Abschnitt 4.3) angewendet werden, um eine Unsicherheit für die ermittelten Werte abzuschätzen.

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Versuch: ME6 Stand: 03-2016 Seite 7 von 12

Mechanische Schwingungen Pohlsches Rad Messprotokoll und Auswertung

4.1. Eigenfrequenz an einem ungedämpften System (f0) Angabe von abgelesenen Werten mit 2, von berechneten Werten mit mindestens 3 Nachkommastellen. Das Pendel sollte auf etwa 15 Skalenteile ausgelenkt werden.

T 0 [s]

12 T0 [s]

T0 [s]

1. Messung 2. Messung 3. Messung 4. Messung 5. Messung Mittelwert T0 [s] Standardabweichung

 T0 [s] (Gl. (10), (11)) f0 [Hz] (Gl. (2))

f 0 

 T0 T0 2

[Hz]

Ergebnis für T0 (Angabe mit Unsicherheit korrekt gerundet):

±

T0

 T0

T0 (aus 1 T0) =

±

s

T 0 (aus 12 T0) =

±

s

Fortsetzung Protokoll auf nächster Seite 7 

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Versuch: ME6 Stand: 03-2016 Seite 8 von 12

Mechanische Schwingungen Pohlsches Rad

Für weitere Berechnungen ist als ungedämpfte Schwingungsdauer T0 bzw. Frequenz f0 der Wert zu verwenden, der am genauesten ist:

T0 =

s

Zugehörige Frequenz f0 mit „Konfidenzintervall“ (durch Unsicherheit bestimmter Bereich, in dem der gesuchte Wert sicher liegt):

±

f0 f0 =

f 0

±

Hz

4.2. Eigenfrequenz an einem gedämpften System (fd)

Umstellung von Gl. (5) nach der Abklingkonstante [Vorbereitung!]

=

Angabe von n·Td mit 2, von Td mit 3 und von allen anderen Größen mit mindestens 4 Nachkommastellen. Das Pendel sollte auf etwa 18 Skalenteile ausgelenkt werden.

Id [mA]

200

300

500

800

N N·Td [s] Td [s] fd [Hz] fd2 [Hz2]  [Hz]

Fortsetzung Protokoll auf nächster Seite 8 

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Mechanische Schwingungen Pohlsches Rad

Versuch: ME6 Stand: 03-2016 Seite 9 von 12

4.3. Abklingkonstante () aus Amplitudenmessungen Das Pendel ist entweder nach links oder nach rechts auf 18 Skalenteile auszulenken. Zu jeder halben bzw. vollen Schwingungsdauer ist auf der zugehörigen Seite die Maximalauslenkung m abzulesen:

t

0

T/2

T

3T/2

2T

5T/2

3

m(t) [Skt.]

Umstellung von Gl. (6) nach der Abklingkonstante [Vorbereitung!]

=

zugehörige Periodendauer [s]

Td =

Nach Gl. (6) ist k das Verhältnis zweier Maximalauslenkungen, die jeweils einen zeitlichen Abstand von einer vollen Schwingungsdauer T voneinander haben

t

0

T/2

T

3T/2

2T

k  [Hz]



  2

1 n

 =

Hz

i

i

1 2   i    = n n  1 i

Hz

Ergebnis für  (Angabe mit Unsicherheit korrekt gerundet):



=

± ±



Hz

Fortsetzung Protokoll auf nächster Seite 9 

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Versuchsanleitung zum Physik-Praktikum ME & MuK

Mechanische Schwingungen Pohlsches Rad

Versuch: ME6 Stand: 03-2016 Seite 10 von 12

Welcher Wert für  ist der verlässlichere, der aus Versuchsteil 2 oder 3? Die Aussage bitte kurz begründen.

4.4. Resonanzkurvenmessung

Die Ablesung der Amplitude kann entweder immer auf der linken oder immer auf der rechten Seite erfolgen. fTakt [Hz]

fe [Hz]

m [Skt]

420 440 460 480 490 500 510 515 520 525 530 535 540 545 550 560 580 600 620 Fortsetzung Protokoll auf nächster Seite 10 

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Versuchsanleitung zum Physik-Praktikum ME & MuK

Mechanische Schwingungen Pohlsches Rad

Versuch: ME6 Stand: 03-2016 Seite 11 von 12

Auswertung der Resonanzkurve: Angabe von f1 und f2 mit mindestens 3 Nachkommastellen.

Skt

größte Amplitude m,max. 1 2

 m,max .  0,707   m,max .

Skt

(Einzeichnen im Diagramm) f1 (links vom Kurvenmaximum,

Hz

einzeichnen im Diagramm)

f2 (rechts vom Kurvenmaximum,

Hz

einzeichnen im Diagramm)

Resonanzfrequenz nach Gl. (7): f Re s =

Hz

Liegt die Resonanzfrequenz im Konfidenzintervall der Eigenfrequenz f0 (Seite 8)?

ja / nein Wenn nein, welche Gründe könnte es dafür geben?

Gütefaktor nach Gl. (8): Q=

11 

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Resonanzkurve: Amplitude m [Skt] in Abhängigkeit von der erregenden Frequenz fe [Hz]

12 ...