Mecanica de los Medios Continuos Unidad 1 PDF

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Los invito a leer y entender mejor estos temas de esta asignatura que es Fundamentos de la mecánica de los medios continuos, ya que se utilizará a lo largo de la carrera...

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CERRO AZUL. Carrera: Ingeniería Civil. Semestre: 4.

Grupo: 1.

Asignatura: Fundamentos de la Mecánica de los Medios Continuos. Contenido: Investigación de la Unidad 1 Fundamentos Matemáticos. Docente: Ingeniero Adalberto Vargas Santiago. Alumna: Cindy Ruiz Sampayo. Número de control: 20500780. Lugar y fecha: Teayo, Castillo de Teayo, Ver. A 02 de febrero de 2022.

Unidad 1 Fundamentos matemáticos.

Contenido 1.1 Notación indicial. ..............................................................................................................2 1.2 Operaciones de Tensores. .............................................................................................4 1.3 Métodos para el cálculo de valores y vectores propios. ........................................6 1.4 Gradiente, divergencia y rotacional. ..........................................................................11 1.5 Teoremas de Green y de Stokes. ................................................................................17 1.6 Método numérico para la solución de polinomios. ................................................22 Bibliografía. ............................................................................................................................28

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Unidad 1 Fundamentos matemáticos.

1.1 Notación indicial. El convenio de sumación de Einstein, notación de Einstein o notación indicial a la convención utilizada para abreviar la escritura de sumatorios, en el que se suprime el símbolo de sumatorio (representado con la letra griega sigma - Σ). El convenio fue introducido por Albert Einstein en 1916. Se aplica en matemáticas en especial a los cálculos realizados en álgebra lineal destinados a la física. El convenio se aplica sólo a sumatorias sobre índices repetidos. El convenio se usa especialmente con tensores donde es muy frecuente la operación de suma sobre índices repetidos y sería muy fatigoso escribir explícitamente los signos de sumatorios. Definición. Dada una expresión lineal en

en la que se escriben todos sus

términos de forma explícita: 𝒖 = 𝑢1 𝑥1 + 𝑢2 𝑥2 + ⋯ + 𝑢𝑛 𝑥𝑛 Esta puede expresarse convencionalmente como el sumatorio: 𝑛

𝒖 = ∑ 𝑢𝑖 𝑥𝑖 𝑖=1

La notación de Einstein obtiene una expresión aún más condensada eliminando el signo de sumatorio y entendiendo que en la expresión resultante un índice indica suma sobre todos los posibles valores del mismo. 𝒖 = 𝑢𝑖 𝑥𝑖 Índice. Un índice utilizado en la notación de Einstein puede aparecer en forma de producto hasta dos veces en mismo término de una expresión, por lo que las siguientes expresiones son válidas: 𝑘𝑖 𝑥𝑖

𝑽𝑖 = 𝑢𝑖𝑗 𝑥𝑗

𝐶𝑖𝑗𝑘 𝑒𝑖 𝑒𝑗 𝑒𝑘

Y las siguientes expresiones no se encuentran definidas o son inválidas: 𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝑧𝑖

𝑎𝑚 𝑥𝑚𝑗𝑦𝑚𝑘

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En cálculo de tensores es también común utilizar una de las ocurrencias como un subíndice y la otra como un superíndice. Por ejemplo, en la siguiente expresión en

. 𝑎𝜇 𝑏𝜇 = 𝑎0 𝑏0 + 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3

Un índice que se repite dos veces en el mismo término de una ecuación se conoce como índice mudo, por ejemplo: 𝐴 = 𝐴𝑖 𝑒𝑖 Un índice que se repite en cada uno de los términos de una expresión a excepción de los términos constantes se conoce como índice libre: 𝑆𝑟 = 𝑎𝑟 𝑥𝑖 + 𝑏𝑟 𝑥𝑗 + 𝑐𝑟 − 1 Los índices libres no se expanden en forma de sumatorio, sino que representan un sistema de ecuaciones independientes.

Representación vectorial. Se emplea el convenio de Einstein en Álgebra lineal para distinguir fácilmente entre vectores columna y vectores fila. Se puede, por ejemplo, poner índices sobre-escritos para representar elementos en una columna e índices subscritos para representar elementos en una fila. Siguiendo esta convención, entonces: 𝑢 = 𝑢𝑖 = [𝑢1 , 𝑢2 … 𝑢𝑛 ] Para 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛 Representa 1 𝑥 𝑛 vector fila y representa 𝑛 𝑥 1 vector columna. 𝑢1 𝑉 = 𝑣 = [ 𝑢 2 ] Para 𝑗 = 1,2,3, … , 𝑛 𝑢𝑛 𝑗

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En matemática y en física teórica y en particular en la relatividad general, los vectores fila representan vectores contravariantes mientras que los vectores columna representan vectores covariantes.

1.2 Operaciones de Tensores. Producto tensorial y producto exterior. Dados dos tensores se puede definir entre ellos el llamado producto tensorial cuyo resultado es un tensor de tipo más complejo cuyas componentes pueden obtenerse a partir de los tensores originales. El producto de dos tensores es un tensor cuyo rango es la suma de los rangos dados por los dos tensores. Este producto implica la multiplicación ordinaria de los componentes de un tensor y es llamado producto exterior. Por ejemplo: 𝒋𝒌𝒍

𝒋𝒌

𝒍 = 𝑪𝒊𝒎 𝑨 𝒊 𝑩𝒎

Subir y bajar índices. En una variedad riemanniana existe la posibilidad de definir una operación sobre tensores, que en general no puede realizarse en una variedad cualquiera. Esa operación permite substituir en los cálculos un tensor de tipo

por otro de tipo

con tal que

. Esta operación se

denomina usualmente ley de subir o bajar índices. Esa operación se basa en la existencia de un isomorfismos entre espacios de tensores covariantes

y

contravariantes definidos

riemanniana o pseudoriemanniana

sobre

una variedad

. Por tanto para emplear, la subida

y bajada de índices es necesario usar el tensor métrico

(y su inverso

,

llamado co-tensor métrico). Estas operaciones resultan muy útiles en la teoría general de la relatividad donde cualquier magnitud física puede ser representada por tensores covariantes o contravariantes indistintamente, y sin alterar el significado físico, según las necesidades del problema planteado.

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Así para cualquier magnitud física representada por un tensor de tercer rango, puede ser representado por varios conjuntos de magnitudes relacionables gracias a la operación de "subir y bajar índices":

Contracción. La contracción de tensores es una operación que reduce el orden total de un tensor. Esta operación reduce un tensor tipo (𝒏, 𝒎) a otro tipo

(𝒏 − 𝟏, 𝒎 − 𝟏). En términos de componentes, esta operación se logra sumando el índice de un tensor contravariante y un covariante. Por ejemplo, un tensor (1,1)

puede ser contraído a un escalar a través de

; donde el convenio de

sumación de Einstein es empleado. Cuando el tensor (1,1) se lo interpreta como un mapeo lineal, esta operación es conocida como la traza. La contracción se utiliza usualmente con el producto tensorial para contraer el índice de cada tensor. La contracción puede también entenderse en términos de la definición de un tensor como un elemento de un producto tensorial de copias del espacio

con el espacio

, descomponiendo primero el tensor en una

combinación lineal de tensores más simples, y posteriormente aplicando un factor de

a un factor de

. Por ejemplo:

Puede ser escrito como la combinación lineal de

La contracción de

en el primero y último espacio es entonces el vector:

Producto interno. El producto interno de dos tensores se produce al

contraer el producto exterior de los tensores. Por ejemplo, dados dos tensores

y

su producto externo es

, se obtiene el producto interno:

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Igualando índices, .

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1.3 Métodos para el cálculo de valores y vectores propios. En álgebra lineal, los vectores propios, autovectores o eigenvectores de un operador lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. Este escalar λ recibe el nombre valor propio, autovalor, valor característico o eigenvalor. A menudo, una transformación queda completamente determinada por sus vectores propios

y

valores

propios.

Un espacio

propio, autoespacio o eigenespacio es

el conjunto de vectores propios con un valor propio común.

Las transformaciones lineales del espacio —como la rotación, la reflexión, el ensanchamiento, o cualquier combinación de las anteriores; en esta lista podrían incluirse otras transformaciones— pueden interpretarse mediante el efecto que producen en los vectores. Los vectores pueden visualizarse como flechas de una cierta longitud apuntando en una dirección y sentido determinados. ▪

Los vectores propios de las transformaciones lineales son vectores que, o no se ven afectados por la transformación o se ven multiplicados por un escalar, y por tanto no varían su dirección.

▪

El valor propio de un vector propio es el factor de escala por el que ha sido multiplicado.

▪

Un espacio propio es un espacio formado por todos los vectores propios del mismo valor propio, además del vector nulo, que no es un vector propio.

▪

La multiplicidad geométrica de un valor propio es la dimensión del espacio propio asociado.

▪

El espectro de una transformación en espacios vectoriales finitos es el conjunto de todos sus valores propios.

Por ejemplo, un vector propio de una rotación en tres dimensiones es un vector situado en el eje de rotación sobre el cual se realiza la rotación. El valor propio correspondiente es 1 y el espacio propio contiene a todos los vectores paralelos al eje. Como es un espacio de una dimensión, su multiplicidad geométrica es uno. Es el único valor propio del espectro (de esta rotación) que es un número real.

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Formalmente, se definen los vectores propios y valores propios de la siguiente manera: Si A: V → V es un operador lineal en un cierto espacio vectorial V, v es un vector diferente de cero en V y c es un escalar tales que 𝐴𝒗 = 𝑐𝒗 Entonces decimos que v es un vector propio del operador A, y su valor propio asociado es c. Observe que si v es un vector propio con el valor propio c entonces cualquier múltiplo diferente de cero de v es también un vector propio con el valor propio c. De hecho, todos los vectores propios con el valor propio asociado c junto con 0, forman un subespacio de V, el espacio propio para el valor propio c. Observe además que un un espacio propio Z es un subespacio

invariante de A,

es

decir

dado w un

vector

en Z,

el

vector Aw también pertenece a Z. espacio propio Z es un subespacio invariante de A, es decir dado w un vector en Z, el vector Aw también pertenece a Z. Casos de interes espcial. Intuitivamente, para las transformaciones lineales del espacio de dos dimensiones

•

, los vectores propios son:

Rotación: ningún vector propio de valores reales (existen en cambio pares valor propio, vector propio complejos).

•

Reflexión: los vectores propios son perpendiculares y paralelos al eje de simetría, los valores propios son -1 y 1, respectivamente.

•

Escalado uniforme: todos los vectores son vectores propios, y el valor propio es el factor de escala.

•

Proyección sobre una recta: los vectores propios con el valor propio 1 son paralelos a la línea, vectores propios con el valor propio 0 son paralelos a la dirección de la proyección.

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Cálculo de valores propios y vectores propios de matrices. Si se quiere calcular los valores propios de una matriz dada y ésta es pequeña, se puede calcular simbólicamente usando el polinomio característico. Sin embargo, a menudo resulta imposible para matrices extensas, caso en el que se debe usar un método numérico.

Cálculo simbólico. Una herramienta importante para encontrar valores propios de matrices cuadradas es el polinomio característico: decir que λ es un valor propio de A es equivalente a decir que el sistema de ecuaciones lineales A v = λ v --> A v - λ v = 0 (Factorizando por v queda) (A - λI) v = 0 (donde I es la matriz identidad) tiene una solución no nula v (un vector propio), y de esta forma es equivalente al determinante:

det(𝐴 − 𝜆𝐼) = 0

La función p(λ) = det(𝐴 − 𝜆𝐼)es un polinomio de λ pues los determinantes se definen como sumas de productos. Éste es el polinomio característico de A: los valores propios de una matriz son los ceros de su polinomio característico. Todos los valores propios de una matriz A pueden calcularse resolviendo la ecuación: Si A es

una

matriz 𝑛 × 𝑛,

máximo 𝑛 valores propios. El teorema

fundamental

del

entonces

tiene

álgebra dice

que

grado 𝑛 y 𝐴 tiene esta

ecuación

como

tiene

exactamente 𝑛 raíces (ceros), teniendo en cuenta su multiplicidad. Todos los

polinomios reales de grado impar tienen un número real como raíz, así que para n impar toda matriz real tiene al menos valor propio real. En el caso de las

matrices reales, para 𝑛 par e impar, los valores propios no reales son pares conjugados.

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Encontrando vectores propios. Una vez que se conocen los valores propios λ, los vectores propios se pueden hallar resolviendo el sistema de ecuaciones homogéneo:

Una forma más sencilla de obtener vectores propios sin resolver un sistema de ecuaciones lineales se basa en el teorema de Cayley-Hamilton que establece que cada matriz cuadrada satisface su propio polinomio característico. Así, si

son los valores propios de A se cumple que

por lo que los vectores columna de propios de

son vectores

.

Ejemplo de matriz sin valores propios reales. Un ejemplo de matriz sin valores propios reales es la rotación de 90 grados en el sentido de las manecillas del reloj:

Cuyo polinomio característico es

y sus valores propios son el par de

conjugados complejos i, -i. Los vectores propios asociados tampoco son reales. Ejemplo Considérese la matriz

que representa un operador lineal R³ → R³. Si se desea computar todos los valores propios de A, se podría empezar determinando el polinomio característico:

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y porque p(x) = - (x - 2)(x - 1)(x + 1) se ve que los valores propios de A son 2, 1 y -1. El teorema de Cayley-Hamilton establece que cada matriz cuadrada satisface su propio polinomio característico. Es decir:

Efectivamente, para el caso del valor propio 2, se puede comprobar que

De donde (1, 1, -1) es un vector propio asociado a 2.

Cálculo numérico. En la práctica, los valores propios de las matrices extensas no se calculan usando el polinomio característico. Calcular el polinomio resulta muy costoso, y extraer las raíces exactas de un polinomio de grado alto puede ser difícil de calcular y expresar: el teorema de Abel-Ruffini implica que las raíces de los polinomios de grado alto (5 o superior) no pueden expresarse usándose simplemente raíces enésimas. Existen algoritmos eficientes para aproximar raíces de polinomios, pero pequeños errores en la estimación de los valores propios pueden dar lugar a errores grandes en los vectores propios. En consecuencia, los algoritmos generales para encontrar vectores propios y valores propios son iterativos. La manera más fácil es el método de las potencias: se escoge un vector aleatorio

y se calcula una secuencia de vectores

unitarios:

,

,

, ...

Esta sucesión casi siempre convergerá a un vector propio correspondiente al mayor valor propio. Este algoritmo es sencillo, pero no demasiado útil aisladamente.

Sin

embargo,

hay

métodos

la descomposición QR, que se basan en él.

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más

populares,

como

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1.4 Gradiente, divergencia y rotacional. Gradiente. En cálculo vectorial, el gradiente un campo vectorial. El genérico campo de

vector

del dominio de

,

gradiente de

de un campo escalar evaluado en

es

un punto

( ), indica la dirección en la cual el

varía más rápidamente y su módulo representa el ritmo de variación

en la dirección de dicho vector gradiente. El gradiente se representa con el

operador diferencial nabla

seguido de la función (cuidado de no confundir el

gradiente con la divergencia, ésta última se denota con un punto de producto escalar entre el operador nabla y el campo). También puede representarse mediante

, o usando la notación

gradiente a campos

. La generalización del concepto de

vectoriales es el concepto de matriz Jacobiana.

Si se toma como campo escalar el que se asigna a cada punto del espacio una presión P (campo escalar de 3 variables), entonces el vector gradiente en un punto genérico del espacio indicará la dirección en la cual la presión cambiará más rápidamente. Otro ejemplo es el de considerar el mapa de líneas de nivel de una montaña como campo escalar que asigna a cada pareja de coordenadas latitud/longitud un escalar altitud (campo escalar de 2 variables). En este caso el vector gradiente en un punto genérico indicará la dirección de máxima inclinación de la montaña. Nótese que el vector gradiente será perpendicular a las líneas de contorno (líneas "equiescalares") del mapa. El gradiente se define como el campo vectorial cuyas funciones coordenadas son las derivadas parciales del campo escalar, esto es:

Esta definición se basa en que el gradiente permite calcular fácilmente las derivadas direccionales. Definiendo en primer lugar la derivada direccional según un vector:

Una forma equivalente de definir el gradiente es como el único vector que, multiplicado por el vector unitario, da la derivada direccional del campo escalar: 11

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Con la definición anterior, el gradiente está caracterizado de forma unívoca. El gradiente se expresa alternativamente mediante el uso del operador nabla:

Interpretación del gradiente. De forma geométrica el gradiente es un vector que se encuentra normal (perpendicular) a la curva de nivel en el punto que se está estudiando, llámese (𝑥, 𝑦), (𝑥, 𝑦, 𝑧), (tiempo, temperatura), etcétera. Algunos ejemplos son: ▪

Considere una habitación en la cual la temperatura se define a través de un campo escalar, de tal manera que en cualquier punto ∅(𝑥, 𝑦, 𝑧), la

temperatura es ∅(𝑥, 𝑦, 𝑧). Asumiremos que la temperatura no varía con

respecto al tiempo. Siendo esto así, para cada punto de la habitación, el gradiente en ese punto nos dará la dirección en la cual se calienta más rápido. La magnitud del gradiente nos dirá cuán rápido se calienta en esa dirección.

▪

Considere una montaña en la cual su altura en el punto (𝑥, 𝑦) se define como

𝐻(𝑥, 𝑦). El gradiente de H en ese punto estará en la dirección para la que hay un mayor grado de inclinación. La magnitud del gradiente nos mostrará cuán empinada se encuentra la pendiente.

Propiedades....