Mecánica vectorial estática y dinámica (5a. ed.) PDF

Preview

Summary

¡¡APRUEBA TU EXAMEN CON SCHAUM!! Mecánica vectorial: Estática y Dinámica 5ª EDICIÓN E. W. Nelson ³ C. L. Best ³ W. G. McLean REDUCE TU TIEMPO DE ESTUDIO INCLUYE 1320 PROBLEMAS RESUELTOS, TOTALMENTE EXPLICADOS Utilízalo para las siguientes asignaturas: MECÁNICA MECÁNICA TÉCNICA Mecánica Vectorial Est...

Description

¡¡APRUEBA TU EXAMEN CON SCHAUM!!

Mecánica vectorial: Estática y Dinámica 5ª EDICIÓN

E. W. Nelson ³ C. L. Best ³ W. G. McLean

REDUCE TU TIEMPO DE ESTUDIO INCLUYE 1320 PROBLEMAS RESUELTOS, TOTALMENTE EXPLICADOS

Utilízalo para las siguientes asignaturas:

MECÁNICA

MECÁNICA TÉCNICA

Mecánica Vectorial Estática y Dinámica Quinta edición

Mecánica Vectorial Estática y Dinámica Quinta edición E. W. NELSON, B. S. M. E., M. Adm. E. Engineering Supervisor, Retired Western Electric Company CHARLES L. BEST, B. S. M. E., M. S., Ph. D. Emeritus Professor Lafayette College W. G. McLEAN, B. S. E. E., Sc. M., Eng. D. Emeritus Director of Engineering Lafayette College

Traducción y Revisión Técnica Mª Rosa Dalmau José Vilardell Universidad Politécnica de Cataluña

MADRID Q BUENOS AIRES Q CARACAS Q GUATEMALA Q LISBOA Q MÉXICO NUEVA YORK Q PANAMÁ Q SAN JUAN Q SANTAFÉ DE BOGOTÁ Q SANTIAGO Q SÃO PAULO AUCKLAND Q HAMBURGO Q LONDRES Q MILÁN Q MONTREAL Q NUEVA DELHI Q PARÍS SAN FRANCISCO Q SIDNEY Q SINGAPUR Q SAN LUIS Q TOKIO Q TORONTO

MECÁNICA VECTORIAL. ESTÁTICA Y DINÁMICA.Quinta edición

No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright. Traducido de la edición en inglés de Engineering Mechanics Statics and Dynamics. Fifth Edition Copyright © 1998 by The McGraw-Hill Companies, Inc. ISBN: 0-07-046193-7 DERECHOS RESERVADOS © 2004, respecto a la quinta edición en español, por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA DE ESPAÑA, S. A. U. Edificio Valrealty, 1.ª planta Basauri, 17 28023 Aravaca (Madrid) ISBN: 84-481-2950-4 Depósito legal: Editora: Silvia Figueras Asist. editorial: Amelia Nieva Compuesto en Vuelapluma, S. L. Diseño de cubierta: MGH Impreso en IMPRESO EN ESPAÑA - PRINTED IN SPAIN

PREFACIO El propósito de este libro es servir de complemento a los textos oficiales, más que nada como ayuda para que los estudiantes de ingeniería y ciencias adquieran unos conocimientos mas sólidos y una mayor destreza en mecánica analítica y aplicada. Se basa en el convencimiento de los autores de que uno de los mejores procedimientos para aclarar las ideas y fijar mentalmente las ideas fundamentales consiste en resolver un buen número de problemas. Mientras que este libro no encaja exactamente con ningún otro texto, los autores creen que puede ser un valioso acompañante a todos ellos. Las anteriores ediciones fueron recibidas muy favorablemente. En esta edición se incluyen las unidades tradicionales de EE. UU. y las unidades SI, tal como en las ediciones tercera y cuarta. Los problemas se presentan aproximadamente al cincuenta por ciento en unas y otras, pero sin mezclarlas en ningún caso. Se ha procurado hacer uso de las mejores herramientas matemáticas de que disponen los estudiantes a nivel de segundo curso. Por ello, se recurre al método vectorial en los capítulos donde esas técnicas brindan elegancia y sencillez tanto en la teoría como en la resolución de problemas. Por otra parte, no hemos dudado en emplear métodos escalares en los demás casos, pues proporcionan unas soluciones enteramente suficientes a gran parte de los problemas. En el Capítulo 1 se repasan por completo el número mínimo de definiciones y operaciones vectoriales necesarias para la totalidad del libro, de las que se hace uso a lo largo de todo el texto. Se ofrecen algunas soluciones por computadora, pero la mayoría de los problemas pueden resolverse fácilmente por otros procedimientos. Los temas de los capítulos corresponden a las materias habitualmente tratadas en los cursos oficiales de introducción a la Mecánica. Cada capítulo empieza con el enunciado de las definiciones, principios y teoremas pertinentes. Al material de texto siguen unas colecciones de problemas resueltos y problemas propuestos ordenados por dificultad creciente. Los problemas resueltos sirven para ilustrar y ampliar la teoría, presentar métodos de análisis, ofrecer ejemplos prácticos y centrar la atención en los aspectos cruciales que capacitan al estudiante para aplicar los principios básicos correcta y confiadamente. Entre los problemas resueltos se incluyen numerosas demostraciones de teoremas y deducciones de fórmulas. El gran número de problemas propuestos sirven como repaso completo de la materia tratada en cada capítulo. En la primera edición los autores reconocieron agradecidos su deuda con Paul B. Eaton y J. Warren Gillon. En la segunda edición, los autores recibieron la ayuda de las sugerencias y críticas de Charles L. Beste y John W. McNabb. Asimismo, en esa edición, Larry Freed y Paul Gary comprobaron las soluciones a los problemas. En la tercera edición, James Schwar nos ayudó en la preparación de las soluciones por computadora del Apéndice C. En la cuarta edición, volvimos a agradecer a James Schwarr y a Michael Regan, Jr., su ayuda en las soluciones por computadora del Apéndice C. En esta quinta edición, los autores agradecen a William Best su comprobación a las soluciones de los nuevos problemas y la revisión del material añadido. Por el mecanografiado de los manuscritos de las ediciones tercera y cuarta, estamos en deuda con Elizabeth Bullock. E. W. NELSON C. L. BEST W. G. MCLEAN

V

ACERCA DE LOS AUTORES E. W. NELSON es licenciado en ingeniería mecánica y master en administración por la Universidad de New York. Fue profesor de ingeniería mecánica en Lafayette College y posteriormente entró en la división de ingeniería de Western Electric Company (hoy Lucent Technologies). Retirado de esta última , actualmente es miembro de la American Society of Mechanical Engineers. Está colegiado como ingeniero profesional y es miembro de las sociedades Tau Beta Pi y Pi Tau Sigma. CHARLES L. BEST es profesor emérito de ingeniería en Lafayette College. Es licenciado en ingeniería mecánica por Princeton, master en matemáticas por el Instituto Politécnico de Brooklyn y doctor en mecánica aplicada por el Instituto Politécnico de Virginia. Es coautor de dos libros de ingeniería mecánica y de otro libro de programación en FORTRAN para estudiantes de ingeniería. Es miembro de la sociedad Tau Beta Pi. W. G. McLEAN es director emérito de ingeniería en Lafayette College. Posee una licenciatura en ingeniería eléctrica por Lafayette College, un master en ciencia por la universidad de Brown y un doctorado honorario en ingeniería por Lafayette College. El profesor McLean es coautor de dos libros de ingeniería mecánica, fue presidente de la Sociedad de Ingenieros Profesionales de Pennsylvania y forma parte de los comités de codificación y normalización de la American Society of Mechanical Engineers. Está colegiado como ingeniero profesional y es miembro de las sociedades Fi Beta Kappa y Tau Beta Pi.

VII

CONTENIDO Capítulo 1

VECTORES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1 Definiciones 1.2 Suma de dos vectores 1.3 Sustracción de un vector 1.4 Vector cero 1.5 Composición de vectores 1.6 Producto de vectores por escalares 1.7 Terna ortogonal de vectores unitarios 1.8 Vector de posicion 1.9 Producto escalar o interno 1.10 Producto vectorial 1.11 Cálculo vectorial 1.12 Dimensiones y unidades

Capítulo 2

OPERACIONES CON FUERZAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Momento de una fuerza 2.2 Par de fuerzas 2.3 Momento de un par de una fuerza única 2.5 Sistemas de fuerzas coplanarias 2.6 Notas

Capítulo 3

19

2.4 Sustitución

RESULTANTES DE SISTEMAS DE FUERZAS COPLANARIAS . . . . . . . . . . .

31

3.1 Fuerzas coplanarias 3.2 Sistemas concurrentes 3.3 Sistemas paralelos 3.4 Sistemas no concurrentes y no paralelos 3.5 Resultantes de los sistemas de fuerzas distribuidas 3.7 Clases de conjuntos indexados 3.8 Cardinalidad. Números cardinales

Capítulo 4

RESULTANTES DE SISTEMAS DE FUERZAS NO COPLANARIAS . . . . . . . . 4.1 Sistemas de fuerzas no coplanarias coplanarias 4.3 Sistema concurrente rrentes y no paralelos

Capítulo 5

45

4.2 Resultantes de un sistema de fuerzas no 4.4 Sistema paralelo 4.5 SistemaS no concu-

EQUILIBRIO DE SISTEMAS DE FUERZAS COPLANARIAS . . . . . . . . . . . . . .

55

5.1 Equilibrio de un sistema de fuerzas coplanarias 5.2 Cuerpos de dos y tres fuerzas 5.3 Sistema concurrente 5.4 Sistema paralelo 5.5 Sistema no concurrente y no paralelo 5.6 Observaciones - diagramas de cuerpo libre

Capítulo 6

EQUILIBRIO DE SISTEMAS DE FUERZAS NO COPLANARIAS . . . . . . . . . .

77

6.1 Equilibrio de un sistema de fuerzas no coplanarias 6.2 Sistemas concurrentes 6.3 Sistemas paralelos 6.4 Sistemas no concurrentes y no paralelos

Capítulo 7

CERCHAS Y CABLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1 Cerchas y cables

Capítulo 8

93

7.2 Cerchas 7.3 Cables

FUERZAS EN LAS VIGAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 8.1 Vigas 8.2 Tipos de vigas 8.3 Fuerza cortante y momento flector 8.4 Diagramas de cortantes y de flectores 8.5 Pendiente del diagrama de cortantes 8.6 Variación del cortante 8.7 Pendiente del diagrama de flectores 8.8 Variación del flector

ix

x MECÁNICA

Capítulo 9

VECTORIAL. ESTÁTICA Y DINÁMICA

ROZAMIENTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 9.1 Conceptos generales 9.2 Leyes del rozamiento 9.3 Gato mecánico en las correas y cintas de freno 9.5 Resistencia a la rodadura

9.4 Rozamiento

Capítulo 10 PRIMEROS MOMENTOS Y CENTROIDES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 10.1 Centroide de un conjunto 10.2 Centroide de una cantidad continua de Pappus-Guldin 10.4 Centro de presión

10.3 Teoremas

Capítulo 11 TRABAJOS VIRTUALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 11.1 Desplazamiento virtual y trabajo virtual 11.2 Equilibrio 11.3 Equilibrio estable 11.4 Equilibrio inestable 11.5 Equilibrio neutro 11.6 Resumen sobre el equilibrio

Capítulo 12 CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 12.1 Cinemática 12.2 Movimiento rectilíneo 12.3 Movimiento curvilíneo 12.4 Componentes rectangulares 12.5 Componentes tangencial y normal 12.6 Componentes radial y transversal 12.7 Unidades

Capítulo 13 DINÁMICA DE LA PARTÍCULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 13.1 Leyes del movimiento de Newton 13.2 Unidades 13.3 Aceleración 13.4 Principio de D'Alambert 13.5 Problemas de dinámica

Capítulo 14 CINEMÁTICA DE UN CUERPO RÍGIDO EN MOVIMIENTO PLANO . . . . . . 257 14.1 Movimiento plano de un cuerpo rígido 14.2 Translación 14.4 Eje instantáneo de rotación 14.5 Aceleración de Coriolis

14.3 Rotación

Capítulo 15 MOMENTOS DE INERCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 15.1 Momento de inercia axial de un elemento de área 15.2 Momento de inercia polar de un elemento de área 15.3 Producto de inercia de un elemento de área 15.4 Momento de inercia axial de un área 15.5 Radio de giro de un área 15.6 Momento de inercia polar de un área 15.7 Producto de inercia de un área 15.8 Teorema de steiner o de los ejes paralelos 15.9 Áreas compuestas 15.10 Ejes rotados 15.11 Círculo de Mohr 15.12 Momento de inercia axial de un elemento de masa 15.13 Momento de inercia axial de una masa 15.14 Radio de giro de una masa 15.15 Producto de inercia de una masa 15.16 Teorema de steiner para una masa 15.17 Masas compuestas

Capítulo 16 DINÁMICA DE UN CUERPO RÍGIDO EN MOVIMIENTO PLANO . . . . . . . . . 325 16.1 Ecuaciones vectoriales del movimiento plano 16.2 Ecuaciones escalares del movimiento plano 16.3 Representación interpretativa de las ecuaciones 16.4 Traslación de un cuerpo rígido 16.5 Rotación de un cuerpo rígido 16.6 Centro de percusión 16.7 Método de las fuerzas de inercia para cuerpos rígidos

Capítulo 17 TRABAJO Y ENERGÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 17.1 Trabajo 17.2 Casos particulares 17.3 Potencia 17.4 Rendimiento 17.5 Energía cinética de una partícula 17.6 Relación entre trabajo y energía para una partícula 17.7 Energía cinética T de un cuerpo rígido en traslación 17.8 Energía cinética T de un cuerpo rígido en rotación 17.9 Energía cinética T de un cuerpo en movimiento plano

CONTENIDO xi 17.10 Energía potencial 17.11 Relación entre trabajo y energía para una cuerpo rígido 17.12 Teorema de la conservación de la energía

Capítulo 18 IMPULSO, MOMENTO LINEAL Y MOMENTO ANGULAR . . . . . . . . . . . . . . . 419 18.1 Relación entre el impulso y el momento lineal para una partícula 18.2 Relación entre el impulso y el momento lineal para un conjunto de partículas 18.3 Momento cinético HO 18.4 Momento cinético relativo H⬘⌷ 18.5 Ecuaciones escalares correspondientes 18.6 Unidades 18.7 Conservación del momento lineal 18.8 Conservación del momento angular 18.9 Choque 18.10 Masa variable

Capítulo 19 VIBRACIONES MECÁNICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459 19.1 Definiciones 19.2 Grados de libertad 19.3 Movimiento armónico simple 19.4 Sistemas multicomponente 19.5 Unidades

Apéndice A UNIDADES SI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489 Apéndice B PRIMEROS MOMENTOS Y CENTROIDES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491 Apéndice C SOLUCIONES POR COMPUTADORA A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493

1

VECTORES 1.1

DEFINICIONES

Las magnitudes escalares poseen solo cantidad, por ejemplo, tiempo, volumen, energía, masa, densidad, trabajo. Los escalares se suman por los métodos algebraicos ordinarios, por ejemplo, 2 s ⫹ 7 s ⫽ 9 s; 14 kg⫺5 kg ⫽ 9 kg. Las magnitudes vectoriales poseen cantidad y dirección*, por ejemplo, fuerza, desplazamiento, velocidad, impulso. Un vector se representa mediante una flecha con la inclinación dada. La punta de la flecha indica el sentido y la longitud representa el módulo del vector. El símbolo de un vector se imprime en negrita, tal como P. El módulo se representa por | P | o P. Un vector libre puede situarse en cualquier lugar del espacio con tal que mantenga la dirección y el módulo. Un vector deslizante puede estar aplicado en cualquier punto de su recta de acción. Por el principio de transmisibilidad los efectos externos de un vector deslizante no varían. Un vector ligado o fijo debe permanecer en el mismo punto de aplicación. Un vector unitario es un vector de módulo unidad. El opuesto de un vector P es el vector ⫺P del mismo módulo y dirección pero de sentido opuesto. La resultante de un sistema de vectores es el mínimo número de vectores que puede reemplazar al sistema dado.

1.2

SUMA DE DOS VECTORES

(a)

La regla del paralelogramo establece que la resultante R de dos vectores P y Q es la diagonal del paralelogramo definido por P y Q. Los tres vectores P, Q y R son concurrentes tal como se muestra en la Figura 1.1(a). P y Q se conocen también como componentes de R.

(b)

Si en la Figura 1.1(a) los lados del paralelogramo son perpendiculares, se dice que los vectores P y Q son componentes rectangulares del vector R. En la Figura 1.1(b) se representan las componentes rectangulares. Los módulos de las componentes rectangulares están dados por Q ⫽R cos θ y P⫽R cos (90º⫺θ) P⫽R sen θ

(a)

(b) Figura 1.1

*La dirección se entiende que incluye la inclinación (ángulo) que la recta de acción forma con una recta de referencia dada y el sentido del vector sobre dicha recta.

1

2 MECÁNICA

VECTORIAL. ESTÁTICA Y DINÁMICA

Figura 1.2

(c)

Regla del triángulo. Se coloca el origen de uno cualquiera de los vectores en el extremo del otro. La resultante se traza desde el origen del primer vector al extremo del otro. La regla del triángulo es consecuencia de la regla del paralelogramo, tal como se muestra en la Figura 1.2, porque los lados opuestos del paralelogramo son vectores libres.

(d)

La suma de vectores es conmutativa; es decir., P⫹Q⫽Q⫹P.

1.3

SUSTRACCIÓN DE UN VECTOR

La sustracción de un vector consiste en sumar el opuesto al vector; es decir: P ⫺ Q ⫽P ⫹(⫺ Q) Obsérvese que

1.4

⫺(P⫹ Q)⫽ ⫺P ⫺ Q

VECTOR CERO

El vector cero se obtiene cuando se sustrae, o resta, un vector de sí mismo; es decir, P⫺P ⫽ 0. Se llama también vector nulo.

1.5

COMPOSICIÓN DE VECTORES

Componer vectores consiste en determinar la resultante del sistema. Se dibuja un polígono vectorial, colocando por orden el origen de cada vector en el extremo del precedente, tal como se muestra en la Figura 1.3. Se dibuja la resultante desde el origen del primer vector al extremo del último. Como se verá más adelante, no todos los sistemas de vectores pueden reducirse a un vector único. Puesto que el orden en que se dibujen los vectores es indiferente, puede comprobarse que para tres vectores dados P, Q y S, R ⫽ P⫹ Q⫹ S ⫽ (P⫹ Q)⫹ S ⫽ P⫹ (Q⫹ S) ⫽ (P⫹ S)⫹ Q

Figura 1.3

CAPÍTULO 1

VECTORES

3

La ecuación anterior puede ampliarse a cualquier número de vectores.

1.6

PRODUCTO DE VECTORES POR ESCALARES

(a)

El producto del vector P por el escalar m es un vector mP cuyo módulo es |m| veces el módulo de P y cuyo sentido es el de P o su opuesto según que m sea positivo o negativo.

(b)

Otras operaciones con los escalares m y n son (m ⫹ n) P⫽ mP ⫹nP m (P⫹ Q)⫽ mP ⫹mQ m (nP) ⫽ n(mP) ⫽ (mn)P

1.7

TERNA ORTOGONAL DE VECTORES UNITARIOS

Una terna ortogonal de vectores unitarios i, j, y k está formada por tres vectores unitarios según los ejes x, y, y z respectivamente. En la Figura 1.4 se muestra una terna a la derecha, o directa. Un vector P se escribe P ⫽ Pxi ⫹ Pyj ⫹ Pzk donde Pxi, Pyj y Pzk son los vectores componentes de P según los ejes x, y y z, respectivamente, tal como se muestra en la Figura 1.5. Obsérvese que Px ⫽ P cos ␪x, Py ⫽ P cos ␪y y Pz ⫽ P cos ␪z.

1.8

VECTOR DE POSICIÓN

El vector de posición r de un punto (x, y, z) en el espacio se escribe como sigue r ⫽ xi ⫹ yj⫹ zk 2

2

2

donde r = x + y + z . Véase la Figura 1.6.

1.9

PRODUCTO ESCALAR O INTERNO

El producto escalar o interno de dos vectores P y Q, que se escribe P·Q, es el escalar que se obtiene como producto de los módulos de los dos vectores por el coseno del ángulo que forman (véase la Figura 1.7). Luego P · Q ⫽ PQ cos θ El producto interno cumple las siguientes reglas, donde m es un escalar:

Figura 1.4

Figura 1.5

4 MECÁNICA

VECTORIAL. ESTÁTICA Y DINÁMICA

Figura 1.6

Figura 1.7

P·Q ⫽Q·P P · (Q ⫹ S) ⫽ P · Q⫹ P · S (P ⫹ Q) · (S ⫹ T)⫽ P · (S⫹ T) ⫹ Q · (S⫹ T) ⫽ P · S⫹ P ·T ⫹ Q · S⫹ Q ·T m(P · Q) ⫽ (mP) · Q ⫽ P ·(mQ) Puesto que i, j, y k son ortogonales i · j ⫽ i · k ⫽ j · k ⫽ (1)(1) cos 90º ⫽ 0 i · i ⫽ j · j ...