Meccanica Razionale PDF

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Riassunti delle leggi della meccanica razionale...

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Il tempo 𝑡 è reale e unidimensionale, mentre lo spazio ambiente è tridimensionale e viene denotato con ℝ3 , uno spazio affine reale a cui è associato tramite un isomorfismo uno spazio vettoriale 𝕍3 dotato di un prodotto scalare e cioè di una forma bilineare simmetrica definita positiva 𝕍3 × 𝕍3 → ℝ. Introduciamo allora la norma di un vettore intesa come: |𝑣| = √𝑣 ∙ 𝑣 E la distanza tra due vettori: 𝑑(𝑢󰇍 , 𝑣) = |𝑢 󰇍 − 𝑣| Introduciamo a questo punto anche lo spazio prodotto 𝔾 = 𝔼3 × ℝ, chiamato spazio-tempo di Galileo, i cui elementi sono detti eventi e la cui struttura è quella caratteristica di uno spazio fibrato banale avente per base la retta dei tempi e per fibre gli spazi degli eventi simultanei che sono tutti isomorfi ad 𝔼3 . Questa struttura euclidea permette perciò di misurare, attraverso il tempo, le distanze tra eventi simultanei. La descrizione del moto di un corpo deve passare per forza di cose dall’introduzione di un sistema di riferimento che permetta di individuare la posizione di tale corpo nello spazio ambiente entro cui esso si muove. Un sistema di riferimento è perciò una mappa differenziabile: ℝ ∋ 𝑡 → Σ(𝑡) = {𝑂(𝑡), 𝑒1 (𝑡), 𝑒2 (𝑡), 𝑒 3 (𝑡)} ∈ 𝔼3 × (𝕍3 )3 ∶ 𝑒𝑖 (𝑡) ∙ 𝑒𝑗 (𝑡) = 𝛿𝑖𝑗 Assumiamo anche che i tre versori costituenti il nostro sistema di riferimento costituiscano una terna levogira. Detto 𝑃 un punto appartenente allo spazio ambiente, si può associare in maniera unica a tale punto un vettore di coordinate in ℝ3 : 𝔼3

3

∋ 𝑃 → 𝑥𝑃 = 𝑃 − 𝑂 = ∑ 𝑥𝑖 𝑒 𝑖 ∈ 𝕍3 → 𝑥𝑃 = (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ) ∈ ℝ3 𝑖=1

Il moto di un punto è una mappa differenziabile: ℝ ∋ 𝑡 → 𝑃(𝑡) ∈ 𝔼3 Dato un sistema di riferimento e un punto 𝑃, definiamo la posizione: 3

La velocità: E l’accelerazione:

𝑥𝑃 = (𝑃 − 𝑂) = ∑ 𝑥𝑖 𝑒𝑖 𝑖=1

3

𝑑 𝑣𝑃 = (𝑃 − 𝑂)| = ∑ 𝑥󰇗 𝑖 𝑒𝑖 𝑑𝑡 Σ 𝑖=1 3

𝑑2 𝑎𝑃 = 2 (𝑃 − 𝑂)| = ∑ 𝑥󰇘 𝑖 𝑒 𝑖 𝑑𝑡 Σ 𝑖=1

Dato un sistema di 𝑁 punti materiali e fissato un sistema di riferimento Σ, si assume che la forza agente sull’ 𝑖 −esimo punto sia esprimibile mediante una mappa: 𝐹𝑖 : (𝕍3 )𝑁 × (𝕍3 )𝑁 × ℝ → 𝕍3 Che dipende solo dalla posizione, dalla velocità e dal tempo: 𝐹𝑖 = 𝐹𝑖 (𝑥1 , … , 𝑥𝑁 , 𝑣1 , … , 𝑣𝑁 , 𝑡) E dato l’isomorfismo tra 𝕍3 ed ℝ3 , la mappa può anche essere indicata come: 𝐹𝑖 : (ℝ3 )𝑁 × (ℝ3 )𝑁 × ℝ → ℝ3 Il principio del determinismo meccanicistico indica che la conoscenza dello stato cinetico, e cioè della posizione e della velocità di un sistema dotato di 𝑁 punti materiali ad un certo istante permette di determinare tutta la sua evoluzione temporale. Si assume che il moto sia la soluzione della seguente equazione differenziale: 𝑑2 𝑚𝑖 2 𝑥𝑖 | = 𝐹𝑖 (𝑥, 𝑣, 𝑡) 𝑑𝑡 Σ Fissato un sistema di riferimento, chiamiamo 𝒢 il gruppo delle trasformazioni di Galileo, trasformazioni affini dello spazio delle coordinate di Galileo ℝ3 × ℝ che conservano gli intervalli di tempo con la loro

orientazione e la distanza tra eventi simultanei. Ogni elemento appartenente al gruppo delle trasformazioni di Galileo si scrive in un modo unico come prodotto di trasformazioni del seguente tipo: 1. Moto uniforme con velocità 𝑣: 𝑔1 (𝑥, 𝑡) = (𝑥 + 𝑡𝑣, 𝑡) 2. Traslazione dell’origine: 𝑔2 (𝑥, 𝑡) = (𝑥 + 𝑦, 𝑡 + 𝑠) 3. Isometria spaziale: 𝑔3 (𝑥, 𝑡) = (𝐺𝑥, 𝑡) Possiamo estendere il gruppo delle trasformazioni di Galileo allo spazio tempo (ℝ3 )𝑁 × (ℝ3 )𝑁 × ℝ: 𝑔1 (𝑥, 𝑣, 𝑡) = (𝑥 + 𝑡𝜂, 𝑣 + 𝜂, 𝑡) 𝑔2 (𝑥, 𝑣, 𝑡) = (𝑥 + 𝜉, 𝑣, 𝑡)

𝑔3 (𝑥, 𝑣, 𝑡) = (𝐺𝑥1 , … , 𝐺𝑥𝑁 , 𝐺𝑣1 , … , 𝐺𝑣𝑁 , 𝑡) Un sistema di riferimento si dice inerziale se le equazioni di Newton sono invarianti rispetto alle trasformazioni del gruppo di Galileo 𝒢 3 . L’invarianza implica che data una qualunque soluzione 𝑡 → 𝑥(𝑡) di queste equazioni, ogni elemento 𝑔 ∈ 𝒢 la trasforma in un’altra soluzione della stessa equazione. Il principio di relatività di Galileo afferma che esistono sistemi di riferimento inerziali. In un sistema inerziale, la proprietà di invarianza rispetto al gruppo di Galileo impone dei vincoli sulle caratteristiche delle forze: 1. Invarianza per traslazioni del tempo: le leggi della natura restano le stesse al passare del tempo; 2. Invarianza per traslazioni uniformi nello spazio: le forze dipendono solo dalle posizioni e dalle velocità relative; 3. Invarianza per rotazioni dello spazio: il moto di un singolo punto in un sistema di riferimento inerziale può essere solo rettilineo uniforme. Consideriamo un punto 𝑃 su cui agisce una forza in un dato sistema di riferimento. Descriviamo le seguenti quantità: 1. Quantità di moto: 𝑝 = 𝑚𝑣𝑃 2. Momento angolare rispetto a un polo 𝑄 : 󰇍𝑄 = (𝑃 − 𝑄) × 𝑚𝑣𝑃 𝑀 3. Energia cinetica: 1 𝑇 = 𝑚|𝑣𝑃 |2 2 4. Momento della forza rispetto a un polo 𝑄: 󰇍 𝑄 = (𝑃 − 𝑄) × 𝐹 𝑁 5. Potenza della forza: Π = 𝐹 ∙ 𝑣𝑃 6. Lavoro elementare della forza: 𝛿𝐿 = 𝐹 ∙ 𝑑𝑥𝑃 Considerando il caso di una forza puramente posizionale 𝐹 = 𝐹(𝑥𝑃 ), il lavoro elementare è una forma differenziale su ℝ3 . Se il differenziale è esatto ed 𝑈: ℝ3 → ℝ, possiamo definire la seguente quantità: 7. Energia potenziale: 𝑉 = −𝑈 Un campo di forze posizionale che ammette potenziale si dice conservativo. In tal caso, se 𝑉(𝑥𝑃 ) è la sua energia potenziale, il lavoro elementare si calcola: 𝛿𝐿 = −∇𝑉 ∙ 𝑑𝑥𝑃 8. Energia totale (conservativa): 𝐸 =𝑇+𝑉 Si dimostra che l’energia totale è un integrale primo del moto e quindi si conserva istante per istante durante il moto di un corpo.

𝑑

Sono inoltre valide le relazioni:

𝑝 = 𝐹 𝑑𝑡 𝑑 󰇍󰇍𝑄 = 𝑁󰇍 𝑄 − 𝑚𝑣𝑄 × 𝑣𝑃 𝑀 𝑑𝑡 Sono inoltre valide anche le seguenti leggi di conservazione: 1. Se la componente di 𝐹 nella direzione 𝑒 ∈ ℝ3 è nulla, allora 𝑝 ∙ 𝑒 si conserva durante il moto; 2. Se il momento della forza 𝐹 rispetto ad un polo 𝑄 in quiete nel riferimento in cui si studia il moto ha componente nulla nella direzione 𝑒 , allora la quantità 𝑀󰇍𝑄 ∙ 𝑒 si conserva durante il moto; Se si considerano due sistemi di riferimento: Σ = 𝑂𝑒1 𝑒2 𝑒 3 Σ′ = 𝑂 ′ 𝑒1′𝑒 2′𝑒 3′ Le uniche rappresentazioni di un vettore in tali basi devono essere della forma: 3

3

󰇍 = ∑ 𝑢ℎ 𝑒 ℎ 𝑢

𝑢󰇍 = ∑ 𝑢ℎ′ 𝑒ℎ′

ℎ=1

ℎ=1

𝑡 ∋ ℝ → 𝑢󰇍(𝑡) ∈ 𝕍3 Si definiscono le derivate temporali del vettore considerato nei due sistemi di riferimento come: E data una mappa:

3

3

𝑑𝑢󰇍 | = ∑ 𝑢󰇗 ℎ′ 𝑒ℎ′ 𝑑𝑡 Σ′

𝑑𝑢󰇍 | = ∑ 𝑢󰇗 ℎ 𝑒ℎ 𝑑𝑡 Σ =1

=1

Introduciamo ora la velo velocità cità aangola ngola ngolare re re, definita come quell’unica mappa vettoriale: ℝ∋𝑡→𝜔 󰇍(𝑡) ∈ 𝕍3 ′ Che è detta velocità angolare di Σ rispetto a Σ e cioè la velocità angolare di una terna ruotante rispetto ad una qualsiasi terna fissa, tale che sono valide le form ormule ule di Poiss Poisson on on: 𝑑𝑒ℎ′ 󰇍 × 𝑒ℎ′ | =𝜔 𝑑𝑡 Σ Un’altra formula esplicita che coinvolge il calcolo della velocità angolare, in cui si vuole ricavare appunto la velocità angolare della terna ruotante Σ′ rispetto alla terna fissa Σ è data dalla: 3

1 𝑑𝑒 ′ 𝜔 󰇍󰇍 = ∑ 𝑒′ℎ × ℎ | 𝑑𝑡 Σ 2 ℎ=1

𝑡 ∋ ℝ → 𝑢󰇍(𝑡) ∈ 𝕍3 E’ valida la relazione che lega le derivate di un vettore rispetto a due terne di riferimento Σ e Σ′: 𝑑𝑢󰇍 𝑑𝑢 󰇍 󰇍 × 𝑢 󰇍 | = | +𝜔 𝑑𝑡 Σ 𝑑𝑡 Σ′ Da questa relazione si nota che le derivate temporali della velocità angolare nella terne Σ e Σ′ coincidono: 𝑑𝜔 󰇍 󰇍 𝑑𝜔 | = | = 𝝎󰇗 𝑑𝑡 Σ 𝑑𝑡 Σ′ Se 𝑢 󰇍 e 𝑢󰇍 ′rappresentano le coordinate del vettore 𝑢󰇍 ∈ 𝕍3 nelle basi ℬ = {𝑒1 , 𝑒2 , 𝑒 3 } e ℬ ′ = {𝑒1′, 𝑒2′, 𝑒 3′}, possiamo scrivere: 𝒖󰇗 = 𝒖󰇗′ + 𝝎 × 𝒖′ Che si traduce anche nella formula fondamentale della cinematica, ovvero: 𝑣𝑃 = 𝑣𝑂 + 𝜔 󰇍 × (𝑃 − 𝑂) Enunciamo ora il te teorem orem orema a di co compos mpos mposizio izio izione ne delle ve velocità locità ango ngolari lari lari. Consideriamo tre sistemi di riferimento in 𝔼3 : Σ = 𝑂𝑒1 𝑒2 𝑒 3 Σ′ = 𝑂′𝑒1 ′𝑒2 ′𝑒 3 ′ Σ′′ = 𝑂′′𝑒1 ′′𝑒 2 ′′𝑒3 ′′ 󰇍 ′ la velocità angolare di Σ′ rispetto a Σ e sia 𝜔󰇍 ′′la velocità angolare di Σ′′ rispetto a Σ′. Allora la Sia 𝜔 󰇍 ′′. velocità angolare di Σ′′ rispetto a Σ è data dalla somma: 𝜔󰇍′ + 𝜔 Data una mappa differenziabile

Si vuole studiare adesso l’equazione del moto in sistemi di riferimento diversi. E’ possibile riscrivere la relazione che lega la velocità e l’accelerazione 𝑣, 𝑎 di un punto materiale 𝑃 in un sistema di riferimento Σ rispetto ad un altro qualsiasi sistema di riferimento Σ′, in moto con velocità angolare 𝜔󰇍 rispetto al primo: 𝑣 = 𝑣 𝑟𝑒𝑙 + 𝑣𝑇 → 𝑣𝑇 = 𝑣𝑂′ + 𝜔 󰇍 × (𝑃 − 𝑂) 𝑎𝐶 = 2𝜔 󰇍 × 𝑣 𝑟𝑒𝑙 𝑎 = 𝑎𝑟𝑒𝑙 + 𝑎𝐶 + 𝑎𝑇 → { 󰇍 𝑑𝜔 󰇍 × (𝜔 󰇍 × (𝑃 − 𝑂′ )) + 𝑎𝑇 = 𝑎𝑂′ + 𝜔 × (𝑃 − 𝑂′ ) 𝑑𝑡 Possiamo riassumere così le formule sui moti relativi: 𝑑(𝑃 − 𝑂) = 𝑣 = 𝑣 𝑟𝑒𝑙 + 𝑣𝑂′⏞+ 𝜔 󰇍 ∧ (𝑃 − 𝑂′ ) 𝑑𝑡 𝑑𝜔󰇍 𝑑 2 (𝑃 − 𝑂) 󰇍 ∧ (𝜔 󰇍 ∧ (𝑃 − 𝑂 ′ )) = 𝑎 = 𝑎𝑂′ + 𝑎𝑟𝑒𝑙 + 2⏟ ∧ (𝑃 − 𝑂 ′ ) + 𝜔 (𝜔󰇍 ∧ 𝑣𝑟𝑒𝑙 )+ ⏟ 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 { acc di Coriolis acc centripeta Se nel riferimento Σ = 𝑂𝑒1 𝑒2 𝑒 3 l’equazione del moto di un punto materiale 𝑃 si scrive: 𝑚𝑎 = 𝐹 ((𝑃 − 𝑂), 𝑣, 𝑡) ′ Allora, nel sistema di riferimento Σ = 𝑂 ′ 𝑒1′𝑒 2′𝑒 3′ il moto può essere reso inerziale mediante l’introduzione delle forze apparenti: 𝑚𝑎𝑟𝑒𝑙 = 𝐹 ((𝑃 − 𝑂′ ) + (𝑂′ − 𝑂), 𝑣 𝑟𝑒𝑙 + 𝑣𝑇 , 𝑡) − 𝑚𝑎𝐶 − 𝑚𝑎 𝑇 velocità di trascinamento

Che, espressa nelle coordinate della base diventa: 𝑑𝜔󰇍 ∧ (𝑃 − 𝑂′ ) + 𝜔 󰇍 ∧ (𝜔 󰇍 ∧ (𝑃 − 𝑂′ ))] = 𝑚𝑎𝑟𝑒𝑙 𝐹 − 𝑚 [𝑎𝑂′ + 2(𝜔󰇍 ∧ 𝑣𝑟𝑒𝑙 ) + 𝑑𝑡 Un cor corpo po rigi rigido do è un sistema di 𝑁 punti materiali che mantengono invariate le loro distanze mutue durante il moto. Fissato un riferimento Σ = 𝑂𝑒1 𝑒2 𝑒 3 , i punti 𝑃𝑗 sono individuati dai vettori 𝑃𝑗 − 𝑂, con coordinate 𝑥𝑗 nella base {𝑒1 , 𝑒 2 , 𝑒3 }. Le distanze mutue tra questi punti rimangono costanti. Si dice che un sistema di riferimento Σ′ = 𝑂′ 𝑒1′𝑒 2′𝑒3′ è solidale ad un corpo rigido se tutti i punti 𝑃𝑗 del corpo rigido hanno tutti velocità nulla rispetto a Σ′, cioè se le coordinate di tutti i punti 𝑃𝑗 sono costanti in Σ′ . Se il corpo rigido ha almeno tre punti non allineati, le configurazioni possibili formano una sottovarietà 𝒞 di ℝ3𝑁 diffeomorfa a ℝ3 × 𝑆𝑂(3), e questo ci garantisce che, dato che le coordinate 𝑥𝑗′ dei punti 𝑃𝑗 sono costanti, assumendo queste note a priori, per determinare le coordinate dei punti del corpo in Σ ci bsta determinare la posizione del corpo in Σ ci basta determinare la posizione del sistema di riferimento Σ′ rispetto a Σ. Inoltre, se 𝑥ℎ e 𝑥𝑘 sono le posizioni di due punti 𝑃ℎ e 𝑃𝑘 di un corpo rigido o ad esso solidali, e 𝑣ℎ , 𝑣𝑘 sono le loro velocità relative a Σ, se il corpo rigido è in moto con velocità angolare 𝜔󰇍󰇍 , le velocità dei due punti possono essere messe in relazione mediante la formula fondamentale della cinematica del corpo rigido: 𝑣𝑘 = 𝑣ℎ + 𝜔󰇍 × (𝑃𝑘 − 𝑃ℎ ) Studiamo adesso l’atto di moto di un corpo rigido, prendendo in considerazione il suo campo delle velocità. Siano 𝑃, 𝑄 due punti solidali al corpo. Se 𝜔󰇍 (𝑡) ≠ 0 è la velocità angolare di un corpo rigido all’istante 𝑡, allora esiste un’unica retta 𝑟(𝑡) detta asse istan istantan tan taneo eo di rotaz rotazio io ione ne composta di punti solidali al corpo che hanno tutti velocità parallela ad 𝜔󰇍(𝑡) oppure nulla. Sostituendo nella formula fondamentale, si ottiene allora: 𝑣𝑃 = 𝑣𝑄 + 𝜔󰇍 × (𝑃 − 𝑄) = 𝑣𝑄 E l’equazione dell’asse istantaneo di rotazione si determina moltiplicando vettorialmente la formula fondamentale scritta per 𝑃0 punto dell’asse di rotazione e 𝑂′ punto solidale al corpo rigido. In particolare, si dimostra che all’istante 𝑡 esiste un punto 𝑃0 solidale al corpo con 𝑣𝑃0 parallela alla velocità angolare oppure nulla: l’asse istantaneo corrisponderà allora alla retta passante per 𝑃0 e parallela ad 𝜔󰇍󰇍 : 𝑣 𝑃0 × 𝜔 󰇍 = 𝑣𝑂′ × 𝜔󰇍 + (𝜔 󰇍󰇍 × (𝑃0 − 𝑂 ′ )) × 𝜔 󰇍󰇍 = 𝑣𝑂′ × 𝜔󰇍 + |𝜔 󰇍 |2 (𝑃 − 𝑂′ ) ⏟ =0 sono parallele

Da cui si ottiene che l’equazione dell’asse istantaneo di rotazione è data da una retta perpendicolare al piano Π𝑂′ ortogonale ad 𝜔󰇍 e passante per 𝑃0 dato da: 𝑣 ′ × 𝜔󰇍 𝑃0 − 𝑂′ = − 𝑂|𝜔 󰇍 |2 Scomponendo le velocità di due punti solidali ad un corpo rigido lungo le componenti parallela e perpendicolare all’asse di rotazione e inserendole nella formula fondamentale relativa ad un corpo rigido riferito all’asse di rotazione, si nota che le velocità dei punti solidali al corpo rigido hanno una simmetria cilindrica rispetto all’asse istantaneo di rotazione. L’atto di moto più generale possibile per un corpo rigido allora è un moto roto-traslatorio, anche detto moto elicoidale. Un moto rigido si dice piano se la velocità angolare 𝜔󰇍 ha direzione costante e tutti i punti solidali al corpo hanno velocità ortogonale a tale direzione, cioè: 󰇍 = 0 𝑣𝑃 ∙ 𝜔 Preso dunque un piano di riferimento Π ortogonale ad 𝜔󰇍 in cui studiare il moto, si definisce il cen centro tro ista istantane ntane ntaneo o di rrotaz otaz otazion ion ione e come il punto 𝐶0 = 𝑟(𝑡) ∩ Π. Il teore teorema ma di Chas Chasles les afferma che in un moto rigido piano il centro istantaneo di rotazione 𝐶0 si trova sulla retta normale alla velocità di ciascuno dei punti solidali al corpo distinti da 𝐶0 . E’ utile considerare a questo punto l’insieme di tutti i centri di istantanea rotazione al variare del tempo. Tale insieme rappresenta un luogo geometrico, ma non è unico: esistono quindi due curve diverse a seconda del sistema di assi solidale con il corpo in moto o col piano fisso. Si definisce bas base e o polare fissa la curva descritta dal centro di istantanea rotazione rispetto al sistema del piano fisso, mentre di definisce rull rulletta etta la curva descritta dal centro istantaneo di rotazione rispetto al sistema solidale col corpo in movimento. Dato che il centro istantaneo di rotazione ha velocità nulla o parallela alla velocità angolare, la relazione tra le velocità del centro di istantanea rotazione rispetto agli osservatori assoluto e relativo è semplicemente una relazione di puro rotolamento: la rulletta rotola senza strisciare sulla base e il centro istantaneo di rotazione è, istante per istante, il loro punto di contatto. Le equazioni della base e della rulletta si ottengono proiettando l’equazione del centro istantaneo di rotazione sugli assi relativi al piano fisso o al piano mobile. Occupiamoci adesso della dinamica di un sistema di 𝑁 punti materiali. Introduciamo, come sempre, le seguenti quantità, dato un sistema di riferimento Σ = 𝑂𝑒1 𝑒 2 𝑒3 : 1. Quantità di moto: 𝑁

2. Momento angolare rispetto a un polo 𝑄 :

𝑝 = ∑ 𝑚𝑗 𝑣𝑗 𝑗=1

𝑁

󰇍󰇍𝑄 = ∑(𝑃𝑗 − 𝑄 ) × 𝑚𝑗 𝑣𝑗 𝑀

3. Energia cinetica:

𝑗=1

𝑁

1 2 𝑇 = ∑ 𝑚𝑗 |𝑣𝑗 | 2

4. Momento della forza rispetto a un polo 𝑄:

𝑁

𝑗=1

𝑁󰇍 𝑄 = ∑(𝑃𝑗 − 𝑄 ) × 𝐹𝑗

5. Risultante delle forze applicate:

𝑗=1

𝑁

𝑅󰇍 = ∑ 𝐹𝑗 𝑗=1

𝑁

6. Potenza risultante delle forze:

𝑗=1

Π = ∑ 𝐹𝑗 ∙ 𝑣𝑗

7. Lavoro elementare all’istante 𝑡 delle forze:

𝑁

𝛿𝐿 = ∑ 𝐹𝑗 ∙ 𝑑𝑥𝑗 𝑗=1

𝑁

Introduciamo poi la massa totale, definita come:

𝑚 = ∑ 𝑚𝑗

E le coordinate del bari baricent cent centro ro 𝑥𝐵 ∈ ℝ3, date da:

𝑗=1 𝑁

𝑚(𝐵 − 𝑂) = ∑ 𝑚𝑗 (𝑃𝑗 − 𝑂) 𝑗=1

Dato un sistema di 𝑁 punti materiali, il riferimento del baricentro è il sistema di riferimento Σ𝐵 centrato in 𝐵 e orientato come Σ. La quantità di moto totale corrisponde a quella di un punto avente massa totale che si muove esattamente come il baricentro del sistema: 𝑝 = 𝑚𝑣𝐵 Il baricentro di un sistema di 𝑁 punti materiali, inoltre, si muove come un punto materiale di massa 𝑚 su cui agisce la risultante 𝑅󰇍 delle forze che agiscono sui singoli punti: 𝑚𝑎𝐵 = 𝑅󰇍 Vediamo alcuni teoremi di scomposizione relativi al baricentro: 1. Il momento angolare totale rispetto ad un polo 𝑄 di un punto di massa 𝑚 si può scomporre come somma di due componenti, una relativa al momento angolare rispetto a 𝑄 di un punto di massa 𝑚 che si muove come il baricentro del sistema, e la seconda corrisponde al momento angolare nel sistema di riferimento del baricentro e non dipende dalla scelta del polo 𝑄 : 𝑁

󰇍𝑄 = (𝑥 − 𝑥 ) × 𝑚𝑣 + 𝑀 󰇍 𝐵 𝑀 𝐵 𝐵 𝑄

󰇍󰇍𝐵 = ∑(𝑥𝑗 − 𝑥𝐵 ) × 𝑚𝑗 (𝑣 − 𝑣 ) 𝑀 𝑗 𝐵 𝑗=1

Si vede dunque che se si scrive il momento angolare delle forze nel sistema relativo al baricentro il primo addendo si annulla e il momento angolare non dipende dalla scelta del polo, ma solo dal prodotto vettoriale tra le posizioni e le velocità relative del punto rispetto al baricentro. 2. Allo stesso modo anche il momento risultante delle forze può essere scomposto come somma di due componenti: 󰇍 𝑄 = (𝑥𝐵 − 𝑥𝑄 ) × 𝑅󰇍 + 𝑁 󰇍𝐵 𝑁

3

𝑁󰇍𝐵 = ∑(𝑥𝑗 − 𝑥𝐵 ) × (𝐹 − 𝑚𝑗 𝑎𝐵) 𝑗=1

La prima corrisponde al momento rispetto al polo 𝑄 della forza risultante 𝑅󰇍 agente su un punto di massa 𝑚 che si muove come il baricentro 𝐵 del sistema, mentre la seconda corrisponde al momento risultante delle forze nel riferimento del baricentro e non dipende dalla scelta del polo 𝑄. Si nota inoltre che se si scrive il momento delle forze nel sistema relativo al baricentro il primo addendo si annulla e il momento delle forze non dipende dalla scelta del polo. 3. L’energia cinetica si può scomporre per mezzo del teore teorema ma di Koe Koenig nig nig, e cioè come somma di due termini il primo dei quali corrisponde all’energia cinetica di un punto materiale che si muove come il baricentro del sistema e il secondo corrisponde all’energia cinetica del sistema nel riferimento del baricentro 𝑁

1 1 𝑇 = |𝑣𝐵 |2 + ∑ 𝑚𝑗 (𝑣𝑗 − 𝑣𝐵 ) × (𝑣𝑗 − 𝑣𝐵 ) 2 2 𝑗=1

Supponiamo di scomporre la forza 𝐹𝑖 risultante sul punto 𝑃 come somma di due contributi: uno dovuto alle forze interne e uno dovuto alle forze esterne: 𝐹𝑖 = 𝐹 (𝐼) + 𝐹(𝐸)

L’ipotesi di forze interne di tipo classico vede le forze interne come forze puramente posizionali, che sono somme di interazioni tra due corpi: (𝐼) (𝐼) 𝐹𝑖 = 𝐹𝑖 (𝑥1 , … , 𝑥𝑁 ) Inoltre assumiamo che valgano anche queste proprietà tipiche: 1. 𝐹𝑖𝑗 + 𝐹𝑗𝑖 = 0 che corrisponde al principio di azione e reazione. 2. 𝐹𝑖𝑗 × 𝑟𝑖𝑗 = 0 (𝑟𝑖𝑗 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑗 ) 𝑟 󰇍󰇍  3. 𝐹𝑖𝑗 = 𝑓𝑖𝑗 (𝜌𝑖𝑗 ) 𝑖𝑗 𝜌 𝑖𝑗

Con queste proprietà si dimostra inoltre che la risultante e il momento delle forze relativi alle forze interne sono sempre nulli: 󰇍 (𝐼)

𝑅

𝑁

𝑁

(𝐼) = ∑ 𝐹𝑖 = 0 𝑖=1

󰇍 (𝐼) = ∑(𝑃𝑖 − 𝑄 ) × 𝐹 (𝐼) = 0 𝑁 𝑄 𝑖 𝑖=1

Introduciamo anche il fondamentale bila ilancio ncio del m mome ome omento nto ang angolare olare olare: 󰇍  󰇍𝐵 𝑑𝑀𝑄 𝑑𝑀 = 𝑁󰇍𝑄 + 𝑣𝑄 × 𝑝 = 𝑁󰇍󰇍𝐵 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Le equ equazi azi azioni oni ca cardina rdina rdinali li del della la din dinami ami amica ca sono quindi: 𝑑𝑝 = 𝑅󰇍 (𝐸) 𝑑𝑡 󰇍 𝑄 𝑑𝑀 = 𝑁󰇍󰇍𝑄 + 𝑣𝑄 × 𝑝 { 𝑑𝑡

Una forza 𝐹𝑖 che agisce su un punto si dice conservativa se è puramente posizionale, cioè 𝐹𝑖 = 𝐹𝑖 (𝑥) e se esiste una funzione scalare 𝑉𝑖 (𝑥) tale che: 𝐹𝑖 = ∇𝑥𝑖 𝑉𝑖 Un sistema meccanico di 𝑁 punti si dice conservativo se le forze 𝐹𝑗 che agiscono sui punti 𝑃𝑗 sono puramente posizionali e se esiste una funzione scalare 𝑉(𝑥) tale che: 𝐹𝑗 = ∇𝑥𝑗 𝑉𝑗 per 𝑗 = 1, … , 𝑁 La funzione 𝑉(𝑥) si dice ener energia gia pote potenzia nzia nziale le del sistema. Nei sistemi conservativi quindi le forze agenti sui singoli punti si possono ricavare dalla funzione scalare energia potenziale: si dice anche che il (𝐸) sistema ammette potenziale monogenico. Se le forze esterne 𝐹 sono tutte conservative e quindi 𝑗

(𝐸) (𝐸) 𝐹𝑗 = 𝐹𝑗 (𝑥) ed esiste una funzione scalare 𝑉𝑗 (𝑥𝑗 ) tale che 𝐹𝑗(𝐸) = −∇𝑥 𝑗 𝑉𝑗 , l’energia potenziale è:

𝑉

(𝐸) (𝑥)

𝑁

 = ∑ 𝑉𝑗 (𝑥𝑗 ) 𝑗=1

L’energia potenziale totale di un sistema corrisponde alla somma dell’energia potenziale delle forze interne e di quelle esterne: 𝑉(𝑥) = 𝑉 (𝐼) (𝑥) + 𝑉 (𝐸)(𝑥) Si introduce ora l’ene ene energia rgia tota totale le di un sistema intesa come: 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝐸 (𝑥, ) + 𝑉 (𝐼)(𝑥) + 𝑉 (𝐸) (𝑥) ) = 𝑇 (𝑥, 𝑑𝑡 𝑑𝑡 In particolare, si ha: 𝑑 𝑑 (𝑇 + 𝑉 (𝐼) + 𝑉 (𝐸)) = Π (𝐸) + 𝑉 (𝐸) = 0 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Quindi l’energia totale è un integrale primo, che si conserva durante il moto.

Per studiare il moto di un corpo rigido ...