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Corso di

Meccanica Strutturale 2 Facoltà di Architettura - Università Iuav di Venezia

GIANCARLO BILOTTI

ANTONIO PANTUSO

ANTONIO MARIO DE SANTIS

PROGETTO DI UN SOLAIO IN FERRO E TAVELLONI

Anno accademico 2016-2017

1

INTRODUZIONE Il solaio è un elemento strutturale fondamentale, la cui principale funzione è quella di trasferire i carichi verticali, agenti sul piano orizzontale o di calpestio, alla struttura portante. Secondo le regole di buona progettazione, un solaio deve essere realizzato in maniera da possedere i seguenti requisiti: • Resistenza meccanica tale da sopportare con sicurezza i carichi cui è sottoposto; • Sufficiente resistenza al fuoco; • Limitata deformabilità; • Facilità di posa in opera; • Possibilità di collegamento monolitico e continuità con la restante struttura; • Buone caratteristiche di isolamento termico; • Buone caratteristiche di isolamento acustico. I solai in acciaio offrono, rispetto a quelli in legno, la possibilità di superare luci assai maggiori e con minore deformabilità, migliorando altresì le caratteristiche di isolamento termico e acustico.

I solai in ferro si dimostrano spesso economicamente vantaggiosi. Ciò accade, ad esempio e grazie alla facilità di esecuzione e posa in opera, nel caso di lavori di restauro o ristrutturazione. I profilati semplici in acciaio più usati sono illustrati di seguito (fig.1).

Figura 1 Le putrelle, ovvero i travetti portanti in acciaio dei solai, sono di solito dei profilati di tipo IPE. Il solaio (fig. 6) viene realizzato interponendo tra le putrelle dei laterizi, indicati col termine tavelloni. Quest’ultimi sono spesso caratterizzati dal presentare taglio obliquo alle estremità, in modo da consentire la penetrazione del getto di calcestruzzo nei fori, migliorando così la continuità tra gli elementi. In commercio si trovano tavelloni per solaio nei tipi a taglio retto e a taglio obliquo (fig. 2). 2

Figura 2

Figura 3

Può capitare spesso, guardando l’intradosso di un solaio, di notare una continuità di solo laterizio. È il caso, ad esempio, di tavelloni poggiati su speciali elementi - detti copriferro disposti a ridosso dell’ala inferiore dei profilati (fig.3). Questo accorgimento facilita la presa dell’intonaco. Le dimensioni del tavellone sono illustrate di seguito (fig. 4).

25 cm

6-10 cm

m 50 c 80-1

Figura 4

pavimento massetto maglia elettrosaldata

tavellone profilato in acciaio maglia elettrosaldata intonaco

getto calcestruzzo alleggerito

i i i i

Figura 5

3

1. DESCRIZIONE DELLA STRUTTURA Il progetto riguarda la realizzazione di un solaio in ferro e tavelloni (fig. 5). La struttura portante è costituita da profili tipo IPE 200 (h=200 mm), in acciaio S235, posti ad interasse i = 100 cm e poggiati su di una struttura in muratura. Sui tavelloni, di altezza H = 6 cm, verrà poi eseguito un getto di calcestruzzo alleggerito con rete elettrosaldata  6/20x20. Il pavimento è posto in opera sul massetto di spessore 4 cm, previa la realizzazione di un sottofondo in malta cementizia.

2. METODO DI CALCOLO Occorre premettere, così come previsto dalle Norme Tecniche di Costruzione in vigore (NTC 2008), che il metodo delle tensioni ammissibili è utilizzabile nel caso di costruzioni di minore importanza, sia in termini di progettazione che in termini di destinazione d’uso, ubicate in zone di ridotta pericolosità sismica. In particolare, questo metodo può essere utilizzato per costruzioni sia di tipo 1, sia di tipo 2 e Classe d’uso I e II, purché localizzate sismicamente in siti ricadenti in Zona 4, secondo la terminologia e simbologia adottata dalle stesse NTC. Per quanto concerne le classi d’uso delle costruzioni in acciaio, si precisa che:  

la classe I è relativa a costruzioni con presenza solo occasionale di persone ed edifici agricoli; la classe II è relativa a costruzioni con normali affollamenti, senza contenuti pericolosi per l’ambiente e senza funzioni pubbliche e sociali essenziali, industrie con attività non pericolose per l’ambiente.

I calcoli condotti di seguito vengono effettuati con riferimento al metodo delle tensioni ammissibili, in ottemperanza con quanto previsto dalle Norme Tecniche D.M. 14/02/1992.

3. TENSIONI AMMISSIBILI DEI MATERIALI. Distinguiamo 2 casi: 1) Stato di tensione monoassiale: La verifica del materiale è soddisfatta se risultano verificate le condizioni:

 max   adm nel caso della presenza di sole tensione normali;  max   adm nel caso di sole tensione tangenziali. 2) Stato di tensione pluriassiale. Nel caso di sollecitazioni composte, come nel caso delle travi inflesse soggette a taglio e flessione, la presenza combinata delle tensioni normali  e delle tensioni tangenziali  riporta il problema al calcolo della tensione ideale id . In particolare, il criterio di Von Mises fornisce per essa la seguente relazione:

 id   2  3 2 , e la verifica è soddisfatta se risulta:

 id   adm . 4

Nella tabella 1, allegata al presente, sono riportati i diversi valori delle tensioni ammissibili σadm e τadm nel caso di prodotti in acciaio laminato e stati di sollecitazione monoassiali. 4. ANALISI DEI CARICHI Secondo la normativa vigente, i carichi permanenti strutturali e non strutturali vanno determinati a partire dalle dimensioni geometriche e dai pesi dell’unità di volume dei materiali definiti da fonti riconosciute o da quanto indicato nel Cap. 3 delle NTC 2008 (tabelle 2 e 3). 4.1 Determinazione dei carichi permanenti strutturali e non strutturali in campata.

Figura 6 Con riferimento alla sezione trasversale del solaio (fig. 6) i carichi Permanenti strutturali (Gc1) e Permanenti non strutturali (Gc2) assumono i seguenti valori: Permanenti strutturali (Gc1) Profilato IPE 200 (Tab. 2)

0,224kN/m/i =0,224kN/m /1m

0,224kN/m2

0,50 kN/m2

0,50 kN/m2

Totale

Gc1= 0,72 kN/m2

0,25 kN/m2

0,25 kN/m2

Sottofondo di allettamento in malta cementizia (Tab. 3)

0,02m∙21kN/m3

0,42kN/m2

Massetto in c.a. (s = 4 cm) e rete elettrosaldata (Tab. 3)

0,04m∙25kN/m3

1,00kN/m2

Calcestruzzo alleggerito in argilla espansa (Tab. 3)

0,11m∙14kN/m3

1,54kN/m2

Tavelloni (s = 6 cm) (Tab. 4)

Permanenti non strutturali (Gc2) Pavimento in legno (s = 2 cm) (Tab. 4)

Intonaco (s = 1,5 cm) (Tab. 3) Incidenza tramezzi (Tab. 5)

0,30 kN/m2 0,80 kN/m²

0,80 kN/m²

Totale

Gc2= 4,31 kN/m2

Risulta pertanto: Totale carichi permanenti in campata: Gc = Gc1 + Gc2 = 5,03 kN/m2. 5

4.2 Determinazione dei carichi permanenti strutturali e non strutturali sullo sbalzo.

Figura 7 Con riferimento alla sezione trasversale del solaio sullo sbalzo (fig. 7), si ottengono i seguenti valori dei carichi Permanenti strutturali (Gs1) e Permanenti non strutturali (Gs2). Permanenti strutturali (Gs1) Profilato IPE 200 Tavelloni (s = 6 cm)

0,224kN/m/i =0,224kN/m /1m

0,224kN/m2

0,50 kN/m2

0,50 kN/m2

Totale Gs1= 0,72 kN/m2

Permanenti non strutturali (Gs2) Pavimento in ceramica (s = 2 cm) (Tab. 4)

0,40 kN/m2

0,40 kN/m2

Guaina impermeabilizzante (Tab. 4)

0,10 kN/m²

0,10 kN/m²

Sottofondo in malta cementizia (Tab. 3)

0,02m∙21kN/m3

0,42kN/m2

Massetto con rete elettr. (s = 4 cm) (Tab. 3)

0,04m∙25kN/m3

1,00kN/m2

Cls alleggerito in argilla espansa. (Tab. 3)

0,11m∙14kN/m3

1,54kN/m2

0,30 kN/m2

0,30 kN/m2

Totale

Gs2= 3,76 kN/m2

Intonaco (s = 1,5 cm) (Tab. 3)

Risulta quindi: Totale carichi permanenti sullo sbalzo: Gs = Gs1 + Gs2 = 4,48 kN/m2. Osservazione: con riferimento ai carichi permanenti applicati sullo sbalzo, andrebbe anche fatta un’analisi accurata del peso relativo al parapetto. Per brevità di esposizione, considereremo tale valore pari a p = 2kN/m (fig. 8a, b). Di conseguenza, l’azione concentrata, applicata all’estremo libero, assumerà il valore: F  p  i  2 kN m 1 m  2kN .

6

lastra in marmo mattoni forati

p=2kN/m

intonaco

F

i

i

i

F=2 kN

i

b) a) Figura 8

4.3 Determinazione dei carichi variabili. I carichi variabili dipendono dalla destinazione d’uso dell’opera. Tali azioni possono essere dedotte dalla Tabella 6 in appendice. Risulta: carichi variabili in campata

Qc= 2,00 kN/m2

carichi variabili sullo sbalzo

Qs= 4,00 kN/m2

5. DETERMINAZIONE DEI CARICHI I carichi finora trovati, espressi in kN/m2, moltiplicati per l’interesse i tra le travi (i =1m), forniscono il carico, espresso in kN/m, agente sulla trave. Risulta pertanto: Carichi permanenti in campata

gc = 5,03 kN/m2x i =5,03 kN/m2x 1m =5,03 kN/m

Carichi permanenti sullo sbalzo

gs= 4,48 kN/m2 x i =4,48 kN/m2x 1m =4,48 kN/m

Carichi variabili in campata

qc= 2,00 kN/m2 x i =2,00 kN/m2x 1m =2,00kN/m

Carichi variabili sullo sbalzo

qs= 4,00 kN/m2 x i =4,00 kN/m2x 1m =4,00 kN/m

6. COMBINAZIONI DEI CARICHI Lo schema statico (fig. 9) è quello di trave continua su quattro appoggi e sbalzo. La distanza tra gli appoggi (luce) si assume pari all’interasse tra i muri portanti. Al fine di determinare le sollecitazioni più gravose, occorre considerare le seguenti combinazioni di carico (fig. 10÷13).

7

Figura 9 1ª Combinazione di Carico (momenti flettenti massimi positivi nelle campate A-B e C-D):

Figura.10 2ª Combinazione di Carico (momento flettente massimo positivo in campata B-C e massimo momento negativo nel nodo D):

Figura 11 8

3ª Combinazione di Carico (massimo momento flettente negativo nel nodo C):

Figura 12 4ª Combinazione di Carico (massimo momento flettente negativo nel nodo B):

Figura 13 SOLUZIONE DEI PRECEDENTI SCHEMI IPERSTATICI Definiti così gli schemi di calcolo, bisogna ora risolvere le travi continue prima illustrate. Il metodo degli spostamenti, già presentato a lezione, si presta particolarmente agevole anche per queste tipologie strutturali. Come meglio e con maggiori particolari espresso durante il corso, le soluzioni sono mostrate nei diagrammi che seguono (fig. 14÷17), nei quali sono riportati anche i valori più caratteristici. 1ª Combinazione di carico

Figura 14 9

2ª Combinazione di carico

Figura 15

3ª Combinazione di carico

Figura 16

10

4ª Combinazione di carico

Figura 17 7. VERIFICHE DI RESISTENZA Occorre ora passare a controllare che, con la geometria ed il materiale già definiti, la trave (o in tal caso travetto) sia in grado di sopportare le sollecitazioni su di essa gravanti e definite dai precedenti diagrammi. Per brevità di esposizione, ci limiteremo a dire che la predetta analisi suggerisce di prendere in considerazione i valori che si manifestano nella sezione B con riferimento alla 4ª Combinazione di carico ( M max  14,8 kN m e Tmax  19,2 kN ). Nota: la validità delle formule che seguono è confermata dal fatto che gli assi x e y sono assi di simmetria della sezione e pertanto assi centrali d’inerzia.

7.1 Flessione   , la massima tensione Premesso che per la doppia simmetria della sezione vale max  max  max

normale può essere calcolata scrivendo la formula di Navier nel modo:

 max 

M max Ix

 y max 

M max Wx

nella quale: Ix

 momento d’inerzia baricentrico dell’intera sezione rispetto all’asse x;  distanza max tra baricentro e fibra più estrema della sezione della trave.

y max Wx 

Ix y max

 modulo di resistenz a della sezione risp etto all'a sse x.

11

Con riferimento a quanto riportato sulla riga del profilato IPE 200 (Tab. 2), il valore del modulo di resistenza è W x  194,3 cm3. La tensione normale massima vale pertanto (fig. 18):

 max 

Mmax Wx



14,8 106 (N  mm2 ) N  76,17 2 3 3 194,3 10 (mm ) mm

Figura 18 7.2 Taglio La tensione tangenziale è espressa dalla formula di Jourawsky:

 zs 

Ty S x s  I x  b  s

,

che consente di esprimere il valore della  al variare dell’ascissa s considerata (fig. 19).

Figura 19 dove: Ty



componente del taglio in direzione y;

Ix



momento d’inerzia dell’intera sezione rispetto all’asse x; 12

S x s



b(s)



momento statico rispetto a x della parte di sezione sottesa dalla corda in esame b(s) ed ortogonale ad s; ampiezza della corda letta in corrispondenza di s.

Nota: nel caso in esame la forza tagliante è rivolta verso l’alto, per cui nella precedente figura si dovrebbe invertire anche il verso delle zs rappresentate. Osservazione: nel caso di profilati metallici, con sezione doppiamente simmetrica, può essere usata una formula approssimata, che prende in considerazione la sola resistenza al taglio offerta dall’anima del profilato di spessore a ed altezza h1. Il massimo valore della tensione tangenziale, cui faremo riferimento nel seguito, può pertanto calcolarsi attraverso la relazione:

 max 

Tmax a  h1



19,2  10 3 (N) 19,2 10 3 (N)   18,75N/ mm2 . 5,6mm (200 2  8,5)mm 1024,8mm2

7.3 Verifiche

Le verifiche vanno effettuate con la formula di Von Mises, che esprime la tensione ideale id controllare rispetto alla tensione ammissibile adm nella forma:

da

 id   2  3 2   adm . La Tab. 1 fornisce il valore della  adm in funzione del tipo di acciaio. In tal caso (S235):

 adm  160 N / mm2 . Con riferimento ora a quanto indicato anche nelle figure 18 e 19, risulterà opportuno effettuare la verifica in prossimità della corda 1-1. Con buona approssimazione ed a vantaggio di sicurezza, in corrispondenza di tale corda ritroviamo i massimi valori delle tensioni normali e tangenziali prima calcolati e risulta:

 id   2  3 2  76,172  3  18,752  82,80 N / mm2   adm  verifica soddisfatta. 8. VERIFICA A DEFORMAZIONE

Occorre controllare che la struttura sia in grado di sostenere i carichi senza eccessive deformazioni. Nelle strutture in acciaio la normativa prevede dei limiti di deformabilità (Tab. 7). In particolare, occorre che lo spostamento trasversale massimo esibito dall’asse della trave sia contenuto entro certi valori. Nel caso in esame, la freccia max fmax si manifesta per la 1ª combinazione di carico (fig. 20).

13

Figura 20 In maniera semplificata e comunque senza discostarci dall’effettivo valore massimo dello spostamento esibito dalla linea elastica v(z), possiamo pensare con buona approssimazione che la a) freccia massima, che indicheremo quindi con f (max , si manifesti in corrispondenza della sezione di mezzeria (z=L/2) della trave (fig. 21).

Figura 21 Risulta pertanto: f

(a ) max

2 5 q  L4 Mi  L2 M j  L    v( L/ 2)  , da cui: 384 E  I 16EI 16EI

( a)  f max

2 5 q  L4 (Mi  M j )  L ,  384 E  I 16EI

dove, tenuto presente cosa accade per la campata A-B nella prima condizione di carico, ovvero: Mi =MA = 0, Mj=MB =12,8 kN∙m, q=7.03 kN/m, L=4.50 m, E = 2,1x105 N/mm2, Ix = 1943 cm4, risulta: 4

f max 

2

5 7 ,034500 ( 0 12,8 ) 10 6  4500   9,20 3,97  5,23 mm . 384 2,1 105  194310 4 16 2,1 105  1943 10 4

La freccia ammissibile (Tab. 7) vale: f adm 

1 1 6000 mm  24 mm. L 250 250

Risulta : f max  5,23 mm < fadm e quindi la verifica a deformazione è soddisfatta.

14

Bisogna ora accertarsi che anche la deformazione dello sbalzo (fig. 22) sia contenuta entro i limiti previsti. Così come ricordato negli schemi in appendice (Tab.8), si ottiene:

Figura 22 3

f max 

4 4 (2  1000) 1500 F  L3 qL 8,481500  (0,55 1,32) mm  1,87 mm.    3EI 8EI 3 2,1 105  (1943 10 4 ) 8 2,1 105  (1943 10 4 )

La freccia ammissibile per lo sbalzo vale (Tab. 7): fadm 

2L 2  1500   12 mm. 250 250

Risulta pertanto: fmax  1,87 mm < f adm  verifica a deformazione dello sbalzo soddisfatta. Osservazione: È intuitivo immaginare che una trave continua possa opporsi meglio alla deformazione rispetto a quella offerta da una successione di travi isolate su 2 appoggi. In altri termini e come visto in precedenza, la deformabilità della trave in campata risente del contributo benefico dei momenti negativi e ciò spiega analiticamente la convenienza di usare travi continue, composte cioè da un solo pezzo (in commercio L max 12 m ), disposte su più appoggi, così da limitare sensibilmente la deformazione della trave. Il lettore può facilmente verificare che, causa la maggiore luce L, la verifica a deformazione non sarebbe soddisfatta nel caso si utilizzasse una orditura ortogonale alla precedente (fig. 23).

Figura 23

15

APPENDICE

16

Tab. 1 Valori tensioni ammissibili

Tab. 2

Tab. 3

Tab. 4

17

Tab. 5 (Incidenza Tramezzi)

Per l’esempio in esame, premesso che sul solaio verranno costruiti dei tramezzi divisori di spessore 8 cm e di altezza H=2,70 m, il peso di un metro lineare di tramezzo sarà dato da: 0,6 kN/m2∙2.7m= 1,62 kN/m. Si assume perciò un valore del carico uniformemente distribuito sul solaio pari a gk =0,80 kN/m².

Tab. 6 Valori dei carichi d’esercizio per le diverse categorie di edifici secondo le NTC 2008

18

Tab. 7. Valori della freccia ammissibile

Tab. 8. Linea elastica in alcuni sistemi elementari

19

ELABORATO D’ESAME L’allievo è tenuto a presentare un elaborato relativo a quanto sin qui svolto. Dovrà, in particolare, effettuare la verifica a taglio e flessione della trave realizzata attraverso la posa in opera di un profilato IPE, acciaio S235, impiegato nella struttura portante di un solaio.

Figura A La geometria della trave IPE dovrà attenersi a quella sopra riportata (fig. A). Nei dettagli, le misure da assumere dipendono dal numero di matricola di ciascun allievo. In particolare: Interasse i e profilato (sesta cifra #matricola)

Luce L1 (quinta cifra #matricola)

Luce L2 (quarta cifra #matricola)

Luce L3 (terza cifra #matricola)

Luce L4 (seconda cifra #matricola)

0÷1 2÷3 4÷5 6÷7 8÷9

i =80 cm i =90 cm i =100 cm i =110 cm i =120 cm

0÷1 2÷3 4÷5 6÷7 8÷9

L1=4,00 m L1=4,50 m L1=5,00 m L1=5,50 m L1=6,00 m

0÷1 2÷3 4÷5 6÷7 8÷9

L2=4,00 m L2=4,50 m L2=5,00 m L2=5,50 m L2=6,00 m

0÷1 2÷3 4÷5 6÷7 8÷9

L 3=4,00 m L 3=4,50 m L 3=5,00 m L 3=5,50 m L 3=6,00 m

0÷1 2÷3 4÷5 6÷7 8÷9

L4=1,00 m L4=1,20 m L4=1,40 m L4=1,60 m L4=1,80 m

IPE 120 IPE 140 IPE 160 IPE 180 IPE 200

20...