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Mathematische merkhilfe zu Mikro ...

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Merkhilfe Mathematik/Nichttechnik

Juli 2013

Die Merkhilfe stellt keine Formelsammlung im klassischen Sinn dar. Bezeichnungen werden nicht erklärt und Voraussetzungen für die Gültigkeit der Formeln in der Regel nicht dargestellt.

Teil I: Stoffgebiete der Mittelstufe

Logarithmen log b (a) = z

Û bz = a u logb æç ö÷ = logb ( u) - logb ( v) èv ø

log b ( u v ) = log b (u) + log b (v )

( z ) = z ×log b (u )

Binomische Formeln

(a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2

(a + b)3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3

(a - b)2 = a 2 - 2ab + b 2

(a - b)3 = a 3 – 3a 2b + 3ab 2 – b 3

(a + b) × (a - b) = a 2 - b 2

a3 - b3 = (a – b) × (a 2 + ab + b 2)

{

x = –x für x ³ 0 x für x < 0

Absolutbetrag

2

Lösungsformel für die quadratische Gleichung ax + bx + c = 0 x1/2 =

-b ± b 2 - 4ac 2a

= 1

1 an

n

=

a

a ×

a =a

Geradengleichung

C Rechtwinkliges Dreieck Pythagoras:

a2 + b2 = c2

Höhensatz:

h2 = p q

Kathetensatz:

a 2 = c p ; b 2 = cq

a1

= a

n m n am= a

a -x =

a

x

az

=a x- z

( ax )

1 x

a x × b x = ( ab)

a × b = ab y = m× x + t y = m × (x - x 0 ) + y 0

a b

=

x

a

x

bx

z

=ax× z

A

æa öx =ç ÷ è bø

a b

sin (-φ) = - sin φ

sin ( 90 ° - φ) = cos φ

cos (- φ) = cos φ

cos ( 90° - φ) = sin φ

a

h q

a

b p

c

B

Allgemeines Dreieck:

2

A=

(allgemeine Form)

y = a × (x – x s ) 2 + y s

(Scheitelform) (Linearfaktorform)

y = a × (x – x 1) × (x – x 2)

sin α a = cos α b

(sinφ) 2 +(cos φ) 2 =1

1 gh 2

Kreis:

U = 2r π ; A = r2 π

(allgemeine Form) (Punkt-Steigungsform)

y = ax + bx + c

tan α =

A : Flächeninhalt U : Umfang

Flächengeometrie

2

a 3 4 a h= 3 2

Gleichseitiges Dreieck: A = Parabelgleichung

b

· nur im rechtwinkligen Dreieck (siehe oben): a b sin α = cos α = c c · allgemein: a

ax × az = ax + z

log b ( c )

Sinus und Kosinus

Potenzen und Wurzeln a0

logb ( a )

logc (a ) =

log b u

;

Trapez: A =

a +c h 2

1

Merkhilfe Mathematik/Nichttechnik

Juli 2013

Raumgeometrie

V : Volumen O : Oberfläche

M : Mantelfläche G : Grundfläche

Prisma: V = G h

Pyramide:

gerader Kreiszylinder:

gerader Kreiskegel:

1 3

V = Gh

Ableitung der Grundfunktionen r 1 ( )/ = – (x r ) / = r ×x r - 1 xr x r+1 1 (e x) / = e x (ln x) / = x Ableitungsregeln Summenregel:

f (x) = u (x) +v(x)

Þ f / (x) = u / (x) +v / (x)

Faktorregel:

f (x) = c ×u (x)

/ / Þ f (x) = c ×u (x)

Produktregel:

f ( x) = u (x) ×v( x)

Þ f / ( x) = u / (x) ×v(x) +u ( x) ×v /( x)

Quotientenregel:

f (x) =

Kettenregel:

f (x) = u ( v(x) )

1 2

V= r2 πh;

V = 3 r πh; M =r πm

M = 2r πh 4 3

2

Kugel: V = 3 r π ; O = 4r π

Teil II: Analysis

u (x) v(x)

/ Þ f (x) =

u / (x) × v(x ) - u (x ) × v /(x) [v(x)] 2

Þ f / ( x) = u / (v( x) ) ×v / ( x)

Symmetrie bezüglich des Koordinatensystems

L`Hospitalsche Regeln

f(-x) = f(x) für alle x Î D f

G f ist achsensymmetrisch zur y-Achse (f heißt dann gerade Funktion)

· Gilt z(a) = n(a) = 0 und existiert lim

G f ist punktsymmetrisch zum Ursprung (f heißt dann ungerade Funktion)

· Gilt | z(x) | ® ¥ und | n (x ) | ® ¥ für x ® a und existiert lim

Û

Û

f(-x) = -f(x) für alle xÎ Df lim

x

x® + ¥ e x

lim

ln x

x® + ¥ x r

=0 = 0;

so gilt lim

(

)

lim x r × ln x = 0

(jeweils r > 0)

z (x)

= lim

z/ (x)

z / (x)

x ® a n / (x)

z / (x)

x ® a n / (x) ,

.

· Beide Regeln gelten in ähnlicher Weise auch für x ® ¥ (anstelle von x ® a ).

y = f/ (x 0 )× (x – x 0 )+ f (x 0)

· Monotoniekriterium:

falls der Grenzwert existiert und endlich ist. Schreibweisen:

= lim

· Gleichung der Tangente im Punkt P ( x 0 | f (x 0) ) :

f (x) - f (x 0 ) f / (x 0 ) = lim , x -x0 x® x0 f / (x) = y/ = df (x) = dy ; dx dx

lim

x ® a n (x)

Anwendungen der Differenzialrechnung

Definition der Ableitung Ableitung:

z (x)

x ® a n (x)

x ®0

, so gilt

x ® a n/ (x)

r

Grenzwerte

z/ (x)

x ® a n/ (x)

ds(t) ·s(t) = dt

f / (x) < 0 im Intervall I Þ f fällt streng monoton in I. f / (x) > 0 im Intervall I Þ f steigt streng monoton in I. 2

.

Merkhilfe Mathematik/Nichttechnik · Art von Extremwerten (mithilfe der zweiten Ableitung): f/ ( x0 ) = 0 und f// ( x0 ) > 0 Þ f hat an der Stelle x0 ein relatives Minimum. f/ ( x0 ) = 0 und f// ( x0 ) < 0 Þ f hat an der Stelle x0 ein relatives Maximum.

Juli 2013 Teil III: Wahrscheinlichkeitsrechnung Gesetze der Mengenalgebra:

· Graphenkrümmung: f/ / (x) < 0 im Intervall I

Þ G f ist in I rechtsgekrümmt.

f/ / (x) > 0 im Intervall I

Þ G f ist in I linksgekrümmt.

· Wendepunkt: Ist f //(x 0) =0 und wechselt f / /(x) an der Stelle x0 das Vorzeichen, so hat Gf an der Stelle x 0 einen Wendepunkt. · Terrassenpunkt: Ist f / (x0 ) = 0 und f // (x 0 ) = 0 und wechselt f / / (x) an der Stelle x 0 das Vorzeichen, so hat Gf an der Stelle x 0 einen Terrassenpunkt.

b ò f (x) dx = F(b) -F(a) = [F(x) ] a , wobei F eine Stammfunktion von f ist.

1

ò x dx = ln | x | + C

x x ò e dx = e + C

ò ln x dx = - x+ x ln x+ C

f /(x)

/ f (x) f (x) +C ò f (x) × e dx = e

ò f (x) dx = ln f (x) + C

1 ò f (ax + b) dx = aF(ax + b) + C , wobei F Stammfunktion von f ist. ¥

Uneigentliche Integrale:

A ÇA =

Unvereinbarkeit:

AÇ B = {

Ereigniswahrscheinlichkeiten:

P({ } ) = 0 ; P(Ω) = 1; P(A) = 1– P(A)

Satz von Sylvester:

P(A È B) = P(A) + P(B) – P(A Ç B)

Unabhängigkeit von zwei Ereignissen:

Fakultät:

{ };

}

P( AÇ B) = P ( A) × P ( B)

n! = n × (n – 1) × (n – 2) × ... × 2 ×1 Anzahl der Möglichkeiten, n unterscheidbare Elemente in einer Reihe anzuordnen.

a

xr+1

A \ B = A ÇB

AÇ B = AÈ B ; AÈB = A ÇB

Wichtige unbestimmte Integrale r ò x dx = r 1 + C (r ¹ -1) +

A È A = Ω;

A=A; Gesetze von De Morgan:

Berechnung bestimmter Integrale b

A = Ω \ A;

Binomialkoeffizient:

(nk ) = k!× (nn!- k ) ! = n ×( n -1) ×...k!×( n -k +1 ) Anzahl der Möglichkeiten, aus einer Menge mit n Elementen Teilmengen mit k Elementen zu bilden.

Laplace-Experiment: Alle Elementarereignisse des zugehörigen Ergebnisraumes sind gleich wahrscheinlich. |A| Es gilt dann: P(A) = |Ω|

b

ò f (x) dx := lim ò f (x) dx a

b®¥ a

3

Merkhilfe Mathematik/Nichttechnik Zufallsgrößen – Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung Die Zufallsgröße X nehme die Werte jeweils mit den Wahrscheinlichkeiten · Erwartungswert: μ = E (X ) =

x1 , x2 , ... , xn p1 , p2 , ..., p n an. Dann gilt:

n

åx i ×p i = x 1 ×p 1 + x 2 ×p 2 + ... + x n ×p n

i =1 n

Juli 2013 Teil IV: Lineare Algebra und Analytische Geometrie Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor æ a11 ç a21 ça è 31

a12 a22 a32

a 13 ö æ v1 ö æ a 11 × v 1 + a 12 × v 2 + a 13× v 3 ö a 23 ÷ × ç v 2 ÷ = ç a 21 × v 1 + a 22 × v 2 + a 23 × v 3 ÷ a 33 ÷ø çè v3 ÷ø çè a 31 × v1 + a 32 × v 2 + a 33 × v 3 ÷ø

· Varianz: Var ( X ) = å ( x i -μ ) 2 ×p i i =1

= (x 1 - μ ) 2 × p1 + ( x2 - μ ) 2 × p2 + ... + ( x n - μ ) 2 × p n

( )

Verschiebungsregel: Var ( X ) = E X 2 - μ2 · Standardabweichung: σ = Var ( X )

Binomialverteilung Die Zufallsgröße X beschreibe die Anzahl der Treffer in einer Bernoullikette der Länge n mit Trefferwahrscheinlichkeit p. Dann heißt die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung Binomialverteilung. X heißt binomialverteilt, genauer B(n; p)-verteilt.

Leontief – Modell:

r r (E – A) × x = y

Lineare Unabhängigkeit ur r r Drei Vektoren a, b und c Î IR 3 sind genau dann linear unabhängig, r r r r wenn die Gleichung λa + b + νc = 0 nur mit λ = μ = ν = 0 lösbar ist. Gerade im IR2 und im IR3 · Punkt-Richtungsform: · Zwei-Punkte-Form

r r r g : x = a + λ× u r r r r g : x = a + λ × (b – a )

Ebene im IR3 Ist die Zufallsgröße X binomialverteilt nach B(n; p), so gilt: n- k P(X = k) = B ( n; p; k ) = n × p k × (1- p ) für k = 0, 1, ..., n k

Parameterformen · Punkt-Richtungsform:

mit Erwartungswert E(X) = n ×p und Varianz Var(X) = n× p× ( 1- p )

· Drei-Punkte-Form:

r E: x r E: x

Parameterfreie Formen · Koordinatenform:

E : ax1 + bx 2 + cx 3 + d = 0

· Achsenabschnittsform:

E:

()

Hypothesentest Beim Testen der Nullhypothese H0 im Signifikanztest können zwei Fehler auftreten: Fehler 1. Art: H0 wird abgelehnt, obwohl sie wahr ist. Fehler 2. Art: H0 wird angenommen, obwohl sie falsch ist. Als Signifikanzniveau α des Tests bezeichnet man die größtmögliche noch akzeptierte Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art.

r r r = a +λ ×u +μ ×v r r r r r = a +λ ×(b – a) +  ×(c –a)

x1 x 2 x3 + + =1 s t u

Festlegung durch die Achsenschnittpunkte S(s| 0| 0), T(0| t| 0) und U(0| 0| u)

4...