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guia de quinto centenario rrealizada la mejor ideo...

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CH-FyA-0510

Guía 94: La trayectoria del cometa

Guía

94

GUÍA DEL ESTUDIANTE

Meta 31

LA TRAYECTORIA DEL COMETA GRADO 10

Guías de Aprendizaje de Cualificar Matemáticas Fe y Alegría Colombia Fe y Alegría Colombia Víctor Murillo Director Nacional Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos Jaime Benjumea - Marcela Vega Autores de la guía 94 Carlos Andrés Sánchez Salas, Colegio Mario Morales Delgado Oscar Fabian Arias Sequeda , Colegio Mario Morales Delgado 2

Coordinación pedagógica Francy Paola González Castelblanco Andrés Forero Cuervo GRUPO LEMA www.grupolema.org Revisores Jaime Benjumea Juan Alberto Bracho Larrota, I.E Monseñor Jaime Prieto Amaya Francy Paola González Castelblanco Andrés Forero Cuervo

Guía

94 GRADO 10

LA TRAYECTORIA DEL COMETA GRADO 10 - META 32 - PENSAMIENTO ESPACIAL Y GEOMÉTRICO Guía 94

Guía 95

Guía 96

(Duración 13 h)

(Duración 13 h)

(Duración 13 h)

ACTIVIDAD 1 •Coordenadas, rectas, distancias, y ángulos en el plano cartesiano. •Problemas de distancia, velocidad y aceleración en situaciones cotidianas. ACTIVIDAD 2

• Secciones cónicas:

•Trigonometría: Ley de seno y coseno. •Utiliza la noción de semejanza entre triángulos para comprender que la razón de dos lados de un triángulo rectángulo permanece constante aunque el triángulo se agranda o se reduce. •Utiliza las razones trigonométricas entre las longitudes de dos lados para determinar el medida de uno de los ángulos agudos. •Utiliza las razones trigonométricas entre la longitud de un lado y la medida de un ángulo agudo para determinar la longitud de otro lado del triángulo.

• Ecuaciones de, parábolas y elipses

parábola, elipse, hipérbola. • Construcción de cónicas en plastilina; construcción de elipse con pita.

•

Hipérbolas (ecuaciones)

•

Aplicaciones de parábolas,

elipses e hipérbolas (antenas parabólicas, trayectorias elípticas y hiperbólicas, etc).

3

META DE APRENDIZAJE N° 32: Explico fenómenos dinámicos usando cónicas (círculo, elipse, parábola, hipérbola): trayectorias de planetas, máquinas elípticas, formas de antenas, reflexión de ondas y galería de susurros, entre otras; infiero propiedades de las distancias entre puntos del espacio y cortes de sólidos y planos; con círculos, mido longitudes y ángulos (conversión radianes-ángulos, sectores circulares); con la trigonometría, mido lados de triángulos rectángulos, así como lados de cualquier triángulo (leyes del seno y coseno); abordo problemas de ángulos y distancias en mapas; mido distancia, velocidad y aceleración, las relaciono y las uso en situaciones de movimiento en mi vida. Así, comprendo la utilidad de medir distancias rectas y curvas en mi entorno. PREGUNTAS ESENCIALES: Actividad 1: ●

¿Cómo harías para ubicarte si estuvieras perdido en la selva?

●

¿Alcanza a llegar la luz de los astros hasta la tierra o la vemos en la distancia?

●

¿Qué estrategia utilizarías para calcular la longitud de la tierra ?

●

¿Cómo funciona un GPS?

Actividad 2: ●

¿Dibuja y describe cómo es el movimiento de los planetas alrededor del sol?

● Si ubico tres puntos en el espacio (sol, tierra y la luna) podría formar un triángulo, teniendo en cuenta el movimiento de rotación y traslación de la tierra ¿Las medidas de este triángulo serían constantes? ¿Por qué? ● ¿Qué determina las fases de la Luna?

EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE Actividad 1: ● Soluciono problemas geométricos en el plano cartesiano, al encontrar o graficar las coordenadas de las constelaciones de la Osa Menor, de Orión, encuentra la distancia entre dos puntos. ● Reconozco y grafico en el plano cartesiano la ecuación de una línea recta y = mx + b, que pasa por dos puntos dados y comprende el significado gráfico de m y b y construyo figuras geométricas usando regla y compás para clasificar los tipos de ángulos según su valor. Actividad 2: ● Establezco la relación entre ángulos y lados en triángulos oblicuángulos ● Identifico qué ley utilizar a partir de los datos suministrados en una situación problema. ● Represento de forma gráfica los posibles triángulos qué se forman entre objetos del espacio terrestre y estelar.

ACTIVIDAD 1: SPACEX 4

Reconozcamos cómo las matemáticas han facilitado al hombre a satisfacer su curiosidad por explorar el universo, usando distancias y clasificando ángulos y rectas del plano cartesiano.

A) Activando saberes previos En el desarrollo de las matemáticas es muy usual encontrarse con diferentes tipos de números representados en la recta numérica. A continuación te invito a responder el test C-Q-A, de acuerdo a las siguientes indicaciones: ● Primera columna C: Para identificar lo que tu Conoces, ¿Qué entiendes o sabes sobre la recta numérica ? ● Segunda columna. Q: Para determinar lo que Quieres descubrir acerca del tema: ¿Qué preguntas tienes sobre la recta numérica? ● La tercera columna A del test C-Q-A la respondes al final de la sesión A, respondiendo: ¿Qué aprendí sobre la recta numérica?

C (conozco)

Q (quiero)

A (aprendí)

RECUERDA QUE... ¿Recuerdas para qué se usa la recta numérica? Es una representación gráfica de los números más utilizados (Naturales, Enteros, Racionales) donde se establece como pauta básica que la misma es creciente hacia la derecha y decreciente hacia la izquierda.

5

−

+

ERO

ENTEROS

ENTEROS

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

6

PRÁCTICA Los siguientes ejercicios están pensados en diferentes enfoques: en algunos casos debes pensar (incluso podrías tener cerca un papel y un lápiz para dibujar la recta y pensar mejor). Vamos a los ejercicios sobre recta numérica y veamos cómo te va 1. ¿Cuál es la distancia entre los puntos A y B ?

a. 0

b. 3

c.

-2

d. 2

2. Señala la distancia entre los puntos C y A.

a. 5

b. 6

c.

-6

d. 7

3. ¿Cuál es la distancia entre los puntos A y B?

6

a. 9

b. 10

c.

11

d. -9

Completa la columna A del CQA y verifica las respuestas de la sección A con tu profesor.

B) Conceptos Aplicaciones del plano cartesiano en la vida cotidiana

A través del uso de un plano cartesiano se puede construir un mapa con precisión que pone en relación Mapas

muchas ubicaciones. Los sistemas GPS (siglas de Global Positioning System) utilizan el plano cartesiano para dar precisión a las ubicaciones. En la rama científica de la física el uso del plano cartesiano es de gran relevancia ya que permite

Física

exponer o graficar el movimiento de un cuerpo, su aceleración y su velocidad.

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En la astronomía se hace uso de los sistemas de coordenadas que se crean a partir del plano cartesiano Astronomía

para realizar un posicionamiento preciso de los cuerpos celestes, estos pueden ser tanto estrellas como planetas.

MINI-EXPLICACIÓN EL PLANO CARTESIANO

¿Has oído hablar de Elon Musk y los viajes al espacio? Entonces te sonará SpaceX. Pero, ¿sabes qué es o en qué consiste?. Space Exploration Technologies Corporation, más conocida como SpaceX, es una empresa estadounidense de transporte aeroespacial fundada en 2002 por Elon Musk, quien a su vez es el creador de la empresa TESLA. El proyecto más importante de SpaceX hasta la fecha es el cohete Falcon Heavy, que cuenta con una potencia y una capacidad de carga superior a la del Saturno V, un cohete de la NASA lanzado por última vez en 1973 que formó parte de las misiones Apolo con destino a la luna. La invención del plano cartesiano de René Descartes ha tenido gran relevancia hasta el día de hoy y ha facilitado nuestra vida diaria, el hecho de que este plano pueda ser aplicado en tantas ramas de la ciencia revela que la sociedad ha podido hacer buen uso de esta herramienta creada siglos atrás. El plano cartesiano está formado por 2 rectas numéricas perpendiculares, una horizontal llamada eje “X” y otra vertical llamada eje “Y”, las cuales se cortan en un punto conocido como origen. Por otra parte René Descartes es considerado el padre de la Geometría Analítica, por representar los conceptos de recta, distancias y ángulos en el plano cartesiano. Además al plantear que todo lo que es verdadero se podría representar en el plano cartesiano, y si no fuera posible, sería una mentira.

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Olga se encuentra algo pensativa al conocer a la geometría analítica, aunque ya sabemos que la Geometría Analítica estudia aquellos problemas en los que es necesario utilizar geometría y álgebra para ser solucionados, no conocemos cuales son los objetos que estudia, sin embargo para dar respuesta a la inquietud de Olga, Pipe nos propone el siguiente problema.

a. Con lo que nos propone Pipe escribe si cada una de las siguientes imágenes son o no son lugares geométricos.

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2. Ecuación de la recta

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MINI-EXPLICACIÓN ECUACIÓN DE LA RECTA PENDIENTE La idea de la pendiente es algo que encuentras en la vida cotidiana. Piensa en un avión despegando del aeropuerto, la forma en cómo está ubicado un telescopio, las escaleras eléctricas para abordar una nave espacial de la NASA. La definición matemática de la pendiente es muy similar a la de la vida diaria. En matemáticas, la pendiente se usa para describir la inclinación y dirección de rectas. Si no contamos con el ángulo de inclinación, pero si contamos con 2 puntos que conforman la recta,

podemos obtener la pendiente mediante la siguiente fórmula: Ejemplo: Grafica la recta que pasa por cada par de puntos A(-1, 4) y B(3, 2), y calcular su pendiente (m)

.

1. Escribes la fórmula

2. Identifica el valor de los puntos A (x1, y1) y B (x2, y2) A(-1, 4) ------------> x1=-1 , y1= 4 B(3, 2)--------------> x2= 3 , y2=2 3. Reemplaza los valores en la fórmula.

4. Resuelve la operación en cada situación. 11

5. Simplifica

6. Respuesta: m = -1/2

Ejercita: Grafica la recta que pasa por cada par de puntos A(-1, 4) y B(3, 2), y calcula su pendiente (m). (a) A(2,5) y B(-2,-1) (b) A(4,3) y B(-2,3)

3. Distancia entre dos puntos en el plano cartesiano MINI-EXPLICACIÓN DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Para calcular la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano, se requiere del uso del teorema de Pitágoras; llamado así en honor al filósofo y matemático Pitágoras de Samos (569-475 a.C). En la 12

siguiente imagen puedes observar lo mismo que vio Pitágoras. El lado más grande corresponde a la hipotenusa (a), mientras que los lados más pequeños son los catetos (b y c).

Sustituyendo las expresiones obtenidas representadas en el plano se tiene la ecuación

Puesto que el cuadrado de un número siempre es positivo se puede omitir el valor absoluto llegando a la expresión

Ten en mente que lo que se quiere calcular es la distancia entre los dos puntos, � 1 y �2, y que corresponde al segmento a, por lo tanto es necesario manipular la ecuación para despejar la variable que se busca, aplicando la raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación se tiene que

Regresando a la definición de distancia y recordando que corresponde a d(�1, �2) , la fórmula final es:

Al definir que �1 y �2 son dos puntos cualesquiera en el plano cartesiano, la fórmula anterior es la fórmula general para calcular la distancia entre dos puntos sobre el plano cartesiano. Ejemplo: Hallar la distancia entre los puntos P1 (-4, 3) y P2 (3, 2)

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Solución: Vemos que hay una distancia que tenemos que calcular aplicando la fórmula de la distancia entre dos puntos. Primero: Elegimos cualquier punto, puede ser el Punto 1, o puede ser el Punto 2. No importa a quién tomemos como inicial, el resultado debe ser el mismo. En este caso vamos elegir al punto uno como inicial, y punto dos como final. Segundo: Escribimos la fórmula:

Tercero: Reemplazamos los valores de P1 y P2 en la fórmula y obtenemos:

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Cuarto: Aplicas la ley de los signos.

Quinto: Resuelves la potencia y la raíz:

Sexto: Escribes la respuesta:

Ejercicio: Grafica en el plano cartesiano y encuentra la distancia entre los puntos siguientes: a. P1 (1, 2) y P2 (-2,4)

b. P1 (3, 4) y P2 (-5, 2) Solución

Solución

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4. Clasificación de Ángulos

MINI-EXPLICACIÓN CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS

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Un ángulo es la unión de dos o más rectas, segmentos o rayos que tienen el mismo origen, que se llama vértice. Los ángulos se miden en grados (°) y según su medida se clasifican en: 1) Ángulo agudo: es aquel que mide más de 0° y menos de 90°. 2) Ángulo recto: es aquel que mide 90° . 3) Ángulo obtuso: es aquel que mide más de 90° y menos de 180°. 4) Ángulo extendido : es aquel que mide 180°.

¿Sabías que las manecillas del reloj en su trayectoria describen diferentes ángulos?

Completa la tabla que se presenta a continuación, grafica e indicando en qué hora exacta las manecillas del reloj presentan los ángulos señalados.

C) Resuelve y practica Lee cuidadosamente los enunciados y resuelve teniendo en cuenta los temas vistos en la sesión anterior.

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1. Supongamos que ingresaste a la Universidad y haces parte del grupo Halley de Astronomía y Ciencias Aeroespaciales, y se te ha encargado representar a la Universidad en un Congreso de SpaceX, exponiendo las constelaciones de la Osa Menor y de Orión. Para ello tu Jefe te entregó la siguiente ruta de trabajo: a. Representa en el plano cartesiano la constelación de Orión de acuerdo a las coordenadas observadas desde el planetario. ¿Sabías que? En la mitología griega, el cazador Orión era el hombre más atractivo de todos. Era el hijo del dios del mar Poseidón y Euryale, la hija del rey Minos de Creta. En la Odisea de Homero, Orión es excepcionalmente alto y va armado con una vara irrompible de bronce. COORDENADAS CONSTELACIÓN DE ORIÓN Estrella

Coordenada (x,y)

Estrella

Coordenada (x,y)

a

(4, 1)

h

(6, 12)

b

(8, 2)

i

(10, 8)

c

(5, 5)

j

(9, 6)

d

(6, 6)

k

(9, 10)

e

(7, 7)

l

(2, 14)

f

(3, 9)

m

(4, 16)

g

(8, 8)

18

2

Plano cartesiano

. El Falcon Heavy de SpaceX es un cohete que tiene como objetivo llevar carga útil a la órbita terrestre , en la que se encuentran la Estación Espacial Internacional y los satélites de observación de la Tierra. a. Representa la ruta de desplazamiento del Falcon Heavy en el plano cartesiano, de acuerdo a las siguientes coordenadas, teniendo como referencia la punta del cohete como la coordenada. Punto

X

(Tiempo segundos)

Y (Distancia en cm)

A

5

5

b

6

6

c

7

7

d

8

8

e

9

9

19

Plano cartesiano Distancia Vs Tiempo

b. En los primero ensayos del cohete Falcon Heavy recorría 158 km en 1,3 horas, determina utilizando las fórmulas la Movimiento Rectilineo Uniforma MRU: ● Su velocidad ● Distancia que puede recorrer al cabo de 2 horas ● Y el tiempo que gasta en recorrer 200 km.

Solución

20

PROBLEMAS DE KHAN ACADEMY Tema: El plano cartesiano

Ingresa con ayuda de tu profesor al siguiente link https://es.khanacademy.org/math/eb-3semestrebachillerato-nme/x4b655b3cb9bfe4eb:geometria-en-el-plano-cartesiano Desarrolla la sesión que se llama “Práctica”.

D) Resumen CONCEPTOS MATEMÁTICOS

DESCRIPCIÓN

ILUSTRACIÓN

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El plano cartesiano está formado por 2 rectas numéricas perpendiculares, una horizontal llamada eje “X” y otra vertical

Plano cartesiano

llamada eje “Y”, las cuales se cortan en un punto conocido como origen. Pendiente de una recta

En matemáticas, la pendiente se usa para describir la inclinación y dirección de rectas.

Distancia entre dos puntos

Para calcular la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano, se requiere del uso del teorema de Pitágoras.

Ángulos - clasificación según valor

Un ángulo es la unión de dos o más rectas, segmentos o rayos que tienen el mismo origen, que se llama vértice.

E) Valoración i) Califica tu comprensión por tema en tu cuaderno ii) Preguntas de comprensión Evidencias

⚫⚪⚪ Todavía no entiendo los

⚫⚫⚪ Voy bien pero quiero

⚫⚫⚫ Comprendí muy bien el tema

1) ¿Cuántos cuadrantes tiene el plano cartesiano? ________2________. 22

conceptos

más práctica

Soluciono problemas geométricos en el plano cartesiano, al encontrar o graficar las coordenadas de las constelaciones de la Osa Menor, de Orión, encuentra la distancia entre dos puntos. Reconozco y grafico en el plano cartesiano la ecuación de una línea recta y = mx + b, que pasa por dos puntos dados y comprende el significado gráfico de m y b y construyo figuras geométricas

usando

X

2) ¿La pendiente de una recta mide la longitud? [ ] Sí. [ X] No. 3) Fue quien invento la formula para hallar la distancia entre dos puntos: ______rene descartes_____________. 4) Identifica cómo se llama al angulo cuya medida es: - 90°______Recto____ -

Menor de 90°_____Obtuso______ 360° _______perigonal__

5) Menciona una de las aplicaciones del plano cartesiano en la vida real: Medir la distancia de Barranquilla a santa Marta _____________________________.

regla, transportador y compás para clasificar los tipos de ángulos

(Verifica las respuestas con tu profesor)

según su valor.

iii) Resuelvo un problema Se desea saber las coordenadas de un aeropuerto que queda exactamente en la mitad del camino que recorre un Cohete de SpaceX que parte desde la coordenada (500,300) para llegar a la coordenada (450,-380), grafique la situación problema en el plano cartesiano y marque la coordenada que resulta ser la mitad del camino.

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Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos

GUÍA 94

ACTIVIDAD

La innovación educativa para las instituciones educativas de

Fe y Alegría Colombia. Ambiente Cualificar. Documento interno

GRADO 10

2

ACTIVIDAD 2: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL ESPACIO A) Activando saberes previos Aprendamos a relacionar hipotenusas, catetos opuestos y catetos adyacentes En un triángulo rectángulo, la hipotenusa es el lado más largo, un lado "opuesto" es el que está frente a un ángulo dado, y un lado "adyacente" está al lado de un ángulo dado. RECUERDA QUE...

●

Utilizamos palabras especiales para designar los lados de triángulos rectángulos. La hipotenusa de un triángulo rectángulo es siempre el lado opuesto al ángulo recto. Es el lado más grande de un triángulo rectángulo...