Metoda najmniejszych kwadratow PDF

Preview

Summary

Metoda najmniejszych kwadratow...

Description

8. METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW. W doświadczeniach często się zdarza, że jedna mierzona przez nas wielkość y jest funkcją drugiej mierzonej wielkości x, przy czym mierzymy równolegle wartości xi i yi. Na przykład mierzymy wartość oporu w zależności od temperatury, czy też wielkość prądu płynącego przez fotokomórkę, w zależności od długości fali padającego światła. Zmierzone wartości przedstawiamy następnie na wykresie i próbujemy znaleźć krzywą odpowiadającą algebraicznej funkcji y=f(x), która najlepiej opisywałaby przebieg punktów doświadczalnych. W ogólnym przypadku, funkcja ta opisywana jest przez m+1 parametrów, co możemy zaznaczyć jako y=f(x,a ,...,am). Parametry te są stałymi, które chcemy wyznaczyć. Ze względu na to, że pomiary xi i yi są obarczone niepewnościami przypadkowymi, równania y = f(x ,a ...,am) nie są nigdy ściśle spełnione, a więc 0

0

1

yi - f(xi,a ,...,am) = di 0

(63) Za najbardziej prawdopodobne parametry a ,...,am, uważamy takie, dla których suma kwadratów odchyleń di będzie najmniejsza, tzn. 0

(64) Zakładamy przy tym, że odchylenia di mają rozkład normalny. Zastosujemy teraz metodę najmniejszych kwadratów do obliczenia parametrów funkcji liniowej. Załóżmy, że wykonujemy pomiar wielkości y, podlegającej rozkładowi normalnemu i będącej funkcją liniową wielkości x, której błędy przypadkowe możemy zaniedbać, Punkty Pi odpowiadające parom wielkości mierzonych xi, yi układają się wokół prostej y = ax + b (65) Jeśli podstawimy do tego równania zmierzoną wartość xi, to otrzymamy wartość

(66) odbiegającą na ogół od zmierzonej wartości yi.

Parametry prostej a i b musimy dobrać w ten sposób, aby suma kwadratów różnic między wartościami zmierzonymi yi i obliczonymi była jak najmniejsza, czyli

(67) Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum tego wyrażenia jest zerowanie się pochodnych cząstkowych względem a i b, tj.

(68)

(69) Po dokonaniu przekształceń algebraicznych otrzymujemy układ równań liniowych

Rozwiązując ten układ równan względem a i b otrzymujemy parametry prostej najlepiej opisującej liniową zależność wielkości y i x

(70)

(71) Średnie odchylenie standardowe sa i sb współczynników a i b oblicza się ze wzorów

(72)

(73) gdzie: di = yi - (axi +/- b) (74) Powyższe wzory wyprowadzone zostały po założeniu, że wszystkie wielkości yi zmierzone zostały z jednakową dokładnością i obarczone są tylko błędami przypadkowymi. Wówczas, gdy wielkości yi zmierzone zostały z różnymi dokładnościami, musimy uwzględnić wagi poszczególnych pomiarów (patrz rozdział 6) i wzory (70) - (73) znacznie się komplikują. W wielu przypadkach, jeżeli zależność między y i x nie jest liniowa, możemy naszą funkcję sprowadzić do postaci liniowej poprzez odpowiednią zamianę zmiennych. Do postaci liniowej łatwo jest sprowadzić funkcję wykładniczą typu y = ce

ax

Po zlogarytmowaniu otrzymujemy

ln y = ln c + a x. Po podstawieniu z = lny, b = lnc, otrzymujemy funkcję liniową z = ax + b. W podobny sposób można do postaci liniowej sprowadzić funkcję potęgową y = cx

a

podstawiając z = logy, b = logc, t = logx, otrzymujemy: z = at + b. W przypadku funkcji typu hiperbolicznego

postać liniową otrzymujemy przez podstawienie t=1/x. Przykład Wykonano pomiary osłabienia natężenia promieniowania gamma, umieszczając między licznikiem Geigera-Mullera a preparatem promieniotwórczym 137Cs kolejno przesłony aluminiowe o grubości 1,2 cm każda. Zależność liczby zliczeń N, proporcjonalna do ilości kwantów gamma wysyłanych przez źródło, od grubości absorbentu wyraża się następującym wzorem N =Ne 0

- x

(75) gdzie: N - liczba zliczeń pochodząca od kwantów gamma, przy braku materiału osłabiającego. (Ponieważ promieniowaniu gamma towarzyszy promieniowanie beta lub alfa, pomiar bez absorbentu daje nam liczbę zliczeń wyższą od N ), 0

 - współczynnik osłabienia promieniowania, x - grubość absorbentu. Należy wyznaczyć współczynnik osłabienia  i liczbę zliczeń N . 0

W tablicy 4 zamieszczono wyniki pomiarów, po uwzględnieniu promieniowania tła (patrz rozdział 7). Tablica 4 Grubość xi absorbentu [cm]

1,2

2,4

3,6

4,8

6,0

7,2

8,4

9,6

Liczba zliczeń Ni (imp/min)

4052

3510

2711

1956

1680

1205

937

853

W celu wyznaczenia tych dwóch wielkości posłużymy się metodą najmniejszych kwadratów, sprowadzając uprzednio zagadnienie do postaci liniowej. Po zlogarytmowaniu stronami, równanie (75) przyjmie postać lnN = lnNo - x. Wprowadzając oznaczenia: a = - , b = lnN , y = lnN, otrzymujemy równanie prostej y = ax+b. 0

Obliczenia można uprościć stosując oznaczenia

wówczas

Wprowadzając oznaczenie

Szukane równanie prostej y = - (0,199 +/- 0,008)x + (8,56 +/- 0,05).

Współczynnik osłabienia promieniowania gamma przez aluminium wynosi  = (0,199 +/- 0,008) cm-1,  wzgl.= 4%; liczba zliczeń N = (5350 +/- 270) imp/min., 0

N wzgl.= 5%. 0

9. TEST  . 2

Test  (chi-kwadrat) służy do ilościowej oceny zgodności serii pomiarów z krzywą teoretyczną, która naszym zdaniem powinna opisywać uzyskane punkty doświadczalne. Niech wspomniana krzywa teoretyczna ma postać y = f(x), a serię pomiarów stanowić będzie 1 wartości wielkości yi zmierzonych przy ustalonych wartościach xi. 2

Wówczas suma:

(76) gdzie: i - błąd mierzonej wielkości yi, może dobrze odzwierciedlać odstępstwa wszystkich punktów eksperymentalnych od krzywej teoretycznej. Spodziewana wielkość  winna być zbliżona do liczby składników sumy, gdyż wkład każdego ze składników przy poprawnie przeprowadzonym eksperymencie jest rzędu 1. 2

Dokładne prześledzenie problemu może dostarczyć bardziej precyzyjnych informacji. Można udowodnić, że jeśli wielkość yi obarczona jest tylko niepewnościami przypadkowymi (z odchyleniem standardowym i), to wielkość  również podlega pewnemu rozkładowi prawdopodobieństwa o gęstości 2

(77) gdzie: k jest liczbą stopni swobody rozkładu  , równą liczbie niezależnych składników sumy (76). Wartość oczekiwana wielkości  jest równa ilości stopni swobody k. Wyrażenie 2

2

oznacza prawdopodobieństwo, że zmienna losowa  przyjmie wartość większą od  . 2

q

2

Wielkość P nosi nazwę poziomu ufności (rys 10).

Rys.10. Rozkład 

2

Wyrażenie (76) ulega pewnej modyfikacji, gdy badamy zgodność doświadczalnych rozkładów prawdopodobieństwa liczby zdarzeń przypadkowych z rozkładem teoretycznie przewidywanym, np. rozkładem Poissona lub Gaussa. Załóżmy, że przeprowadziliśmy n pomiarów, a zmienną niezależną x pogrupowaliśmy w l przedziałach. Wówczas wielkość yi musimy zastąpić liczbą ni, która jest ilością zarejestrowanych przez nas zdarzeń typu xi. Wartość teoretyczna f(xi), przy

spełnionym warunku

będzie z kolei równa np.

xi = npi, gdzie pi jest obliczonym przez nas rozkładem teoretycznym. Błąd wielkości ni, która jako liczba zdarzeń przypadkowych podlega rozkładowi statystycznemu (Poissona lub Gaussa), równy jest pierwiastkowi z wartości oczekiwanej

, a więc

(78) W tym wypadku liczba stopni swobody to liczba przedziałów l, zmniejszona o jeden

(ze względu na warunek normalizacyjny ) oraz zmniejszona o liczbę parametrów s jednoznacznie wyznaczających rozkład teoretyczny (dla rozkładu Poissona s = l, a dla rozkładu Gaussa s = 2).

Na podstawie tablicy rozkładu  (tabl.3) można znaleźć poziom ufności P, jaki odpowiada otrzymanej ze wzoru (761 lub (78) wartości  , przy znanej liczbie stopni swobody. Otrzymanie bardzo niskiego poziomu ufności może świadczyć o tym, te odstępstwa punktów doświadczalnych od krzywej teoretycznej nie są spowodowane jedynie niepewnościami przypadkowymi, a mogą mieć swe źródło w źle przyjętej przez nas hipotezie lub dużym wkładzie błędów systematycznych. Bardzo wysoki poziom ufności może być natomiast ostrzeżeniem, że oszacowanie błędów było zbyt optymistyczne. 2

2

Przykład Zmierzono 225 razy liczbę rozpadów promieniotwórczych rejestrowanych przez licznik Geigera-Mullera w przedziałach czasowych równych 1 s. Średnia liczba rozpadów w ciągu jednej sekundy wyniosła x = 1,9. W tablicy przedstawiono wyniki pomiarów i obliczeń służących do wyznaczenia wartości  dla tego rozkładu. 2

Tablica 5

xi

ni

pi

pi

0

35

0,1496

33,66

0,0533

1

69

0,2842

63,95

0,3988

2

59

0,2700

60,75

0,0504

3

36

0,1710

38'48

0,1598

4

13

0,0812

18,27

1,5201

5

9

0,0309

6,95

0,6047

6

3

0,0098

2,21

0,2824

7

1

0,0027

0,61

0,2493

W kolejnych kolumnach tablicy umieszczono wielkości o podanym niżej znaczeniu: xi - liczba rozpadów rejestrowanych w ciągu 1 s, ni - liczba pomiarów określonej liczby rozpadów,

pi - prawdopodobieństwo zarejestrowania liczby xi rozpadów przewidywane zgodnie z rozkładem Poissona przy średniej rozkładu Poissona),

= 1,9 (wielkości te zostały odczytane z tablic

n pi - przewidywana teoretycznie liczba rozpadów xi,

- składnik sumy występującej we wzorze definiującym wielkość  . 2

Na podstawie przedstawionych powyżej wyników otrzymano wartość  = 3,32, Dla 6 2

stopni swobody wartość wynosi 16,08, a więc co oznacza, że dla poziomu ufności P = 0,01 hipoteza mówiąca, że nasze dane doświadczalne opisane są rozkładem Poissona, nie jest fałszywa. Dokładnie, dla  = 3,32 przy 6 stopniach swobody poziom ufności P = 0,77. 2...