metoda przemieszczeń teoria PDF

Preview

Summary

Wzory do metody przemieszczeń. pomagają w wykonywaniu projektów...

Description

WYKŁADY – METODA PRZEMIESZCZEŃ - TEORIA 1. WSTĘP Metoda przemieszczeń to kolejna (po metodzie sił) metoda rozwiązywania ram statycznie niewyznaczalnych. Metoda ta jest prekursorem metody elementów skończonych, na której opiera się większość programów komputerowych do symulacji pracy konstrukcji czyli analiz statycznych (liczenie sił wewnętrznych), analiz dynamicznych, itd. Metoda przemieszczeń pełni też ważną rolę w nauczaniu mechaniki budowli jako narzędzie dydaktyczne. Podczas rozwiązywania zadań za pomocą tej metody trzeba będzie przewidywać kształty ram od obciążeń geometrycznych i na tej podstawie rysować wykresy momentów zginających. Do tej pory wpajano Państwu, że wykresy momentów zginających są rysowane po stronie włókien rozciąganych, ale, poza tym, że podczas rysowania tych wykresów należy wykresy rysować po dobrej stronie (ujemne na górze, a dodatnie na dole po stronie spodów), to nie wykorzystywaliśmy tej informacji na mechanice budowli. W metodzie przemieszczeń już będziemy z tego korzystali. Przed rozpoczęciem omawiania metody, jeszcze zostanie przypomnianych parę terminów, które pozwolą na lepsze zrozumienie metody przemieszczeń. Ramy, kraty, belki mogą być: 

statycznie wyznaczalne (rys.1.1) – liczba niewiadomych (reakcje i siły wewnętrzne) jest równa liczbie równań równowagi, z których te nie wiadome liczymy,



statycznie niewyznaczalne (rys.1.2) ) – liczba niewiadomych (reakcje i siły wewnętrzne) jest większa niż liczba równań równowagi, z których te nie wiadome liczymy; stopień statycznej niewyznaczalności to różnica pomiędzy liczbą niewiadomych i liczbą równań.



geometrycznie zmienne (rys.1.3) ) – liczba niewiadomych (reakcje i siły wewnętrzne) jest mniejsza niż liczba równań równowagi, z których te nie wiadome liczymy; taki układ ma możliwość ruchu; stopień geometrycznej zmienności to różnica pomiędzy liczbą równań i liczbą niewiadomych. Powyższy podział zależy od liczby niewiadomych (reakcji i sił wewnętrznych) i równań,

za pomocą których można policzyć te niewiadome (równania równowagi). Do tych pojęć dołożymy teraz pojęcie: geometryczna niewyznaczalność. To pojęcie jest związane z liczbą przemieszczeń w węzłach ramy. W mechanice słowo „przemieszczenia” oznacza zarówno przesuwy, jak i obroty. I druga ważna informacja to taka, że w mechanice synonimem słowa „przemieszczenia” jest zestaw słów „stopnie swobody”, ale o tym powinniście Państwo wiedzieć z mechaniki teoretycznej. Stopień geometrycznej niewyznaczalności m, to liczba

przemieszczeń w ramie czyli właśnie stopni swobody. Dokładniej zostanie to omówione w kolejnym punkcie na przykładzie ramy.

Niewiadome:

VA, HA, MA, VB

Równania:

HA

MA VB

VA

 X  0 (suma składowych sił wzdłuż osi X),  Y  0 (suma składowych sił wzdłuż osi Y),  M  0 (suma momentów względem dowolnego punktu).

M

przegub

 0 (suma momentów względem przegubu na

lewą lub prawą stronę przegubu). Rys.1.1 Niewiadome:

VA, HA, MA, VB, HB, VC

VC Równania:

HA

MA VA

HB VB

 X  0 (suma składowych sił wzdłuż osi X),  Y  0 (suma składowych sił wzdłuż osi Y),  M  0 (suma momentów względem dowolnego punktu).

M

przegub

0

(suma momentów

względem

przegubu na lewą lub prawą stronę przegubu).

Rys.1.2

Niewiadome: VA, HA, MA Równania:

HA

MA VA

 X  0 (suma składowych sił wzdłuż osi X),  Y  0 (suma składowych sił wzdłuż osi Y),  M  0 (suma momentów względem dowolnego punktu).

Elementy

po

prawej

przegubu

zaznaczone

obwódką

mogą

się

stronie czerwoną obracać

M

przegub

0

(suma

momentów

względem

przegubu na lewą lub prawą stronę przegubu).

względem przegubu i przyjmować dowolne pozycje, np. te zaznaczone na niebiesko Rys.1.3

2. STOPIEŃ GEOMETRYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI Każdy układ prętowy składa się z zestawu prętów, które są połączone w węzłach. Węzłem jest:  każde swobodne zakończenie pręta (Rys.2.1a),  połączenie prętów w załamaniu (Rys.2.1b),  miejsca gdzie dwa pręty mają ten sam kierunek, ale trzeci pręt jest do nich dołączony (Rys.2.1c),  przeguby (Rys.2.1d),  lokalizacja podpór (Rys.2.1e). Na rys.2.1a,b,c,d,e, węzły są zakreślane czerwonymi okręgami, a na rys.2.1f wszystkie węzły są zaznaczone. Na tym rysunku, na niebiesko są obrysowane elementy pomiędzy węzłami. Na rys.2.2 węzły są zaznaczone za pomocą kropek. Na tym rysunki ponumerowane są węzły i elementy.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Rys.2.1. 2

2

3

4

3 4 1 6

5

7

7

8

5 1

6

Rys.2.2. W zależności od konstrukcji mamy różne stopnie swobody: 

w ramie płaskiej każdy węzeł ma dwa przesunięcia (poziome i pionowe lub w dwóch kierunkach do siebie prostopadłych) i obrót,



w ramie przestrzennej każdy węzeł ma trzy przesunięcia i trzy obroty,



w kracie płaskiej każdy węzeł ma dwa przesunięcia (poziome i pionowe),



w kracie przestrzennej każdy węzeł ma trzy przesunięcia. W metodzie elementów skończonych w programach komputerowych uwzględnia się

wszystkie stopnie swobody. Natomiast w metodzie przemieszczeń uwzględnia się przemieszczenia, które spełniają następujące warunki lub założenia:  są różne od zera,  wpływają na siły wewnętrzne,  jako jedno przemieszczenie traktuje się te, które są sobie równe z powodu założenia, że mamy małe przemieszczenia a elementy się nie zmieniają swojej długości. Liczba tak wyznaczonych przemieszczeń, to stopień geometrycznej niewyznaczalności m. Nie mamy równań, które pozwalają bezpośrednio wyznaczać przemieszczenia, dlatego każde przemieszczenie jest niewiadomą. Na rys.2.3 są pokazane wszystkie przemieszczenia. W przegubie są dwa obroty, bo każdy z elementów, połączonych przegubem, ma inny obrót w węźle 3. Na rys.2.4 te przemieszczenia są już posegregowane ze względu na wyżej przytoczone cechy czyli:  na czerwono są zaznaczone przemieszczenia, które są równe zero (2.4a),  na niebiesko są zaznaczone przemieszczenia, które nie wpływają na siły wewnętrzne (2.4a),  pozostałe kolory (z wyjątkiem czarnego) grupują przemieszczenia, które są sobie równe z powodu przyjęcia założenia, że elementy nie zmieniają swojej długości (2.4b).

y

y

y

3l

2

v u 2

2

3p

v u 3

y

4

v4

3

u4

y

v

u

5

y

6

v

1

u 1

v

7

5

1

8

7

v y

y

y

5

v6 u6 Rys.2.3.

8

u

7

u

8

a) y

y

y

3l

2

v u

y

3p

4

v4

v u

2

3

2

3

u4

y

8

7

v =0 u

v

v

7

5

u

8

u

8

7

5

y

y =0

6

1

v =0 u =0 1

y

y

5

v =0 u =0 6

1

6

b) y

y

y

3l

2

v

2

u =D 2

1

y

3p

v u =D 3

3

4

v4 1

u4 =D1

y

y

5

y

7

v

u =D 5

8

v =0 u =D

v

7

5

2

7

8

2

u =D 8

2

y

y =0

6

1

v =0 u =0 1

1

v =0 u =0 6

6

Rys.2.4 To, że przemieszczenia są równe zero wynika z tego, jakie mamy podpory. Podpory oznaczają blokady. W węźle nr 1 jest zamocowanie sztywne, które blokuje przesunięcia i obrót, dlatego u1=0, v1=0, y=0. W węźle nr 6 jest podpora przegubowa (podpora nieprzesuwna), która blokuje przesunięcia, i dlatego u6=0, v6=0. W węźle nr 7 jest podpora przesuwna z blokadą przesunięcia na kierunku pionowym, i dlatego v7=0. Przemieszczenia na końcach elementów nie mają wpływu na siły wewnętrzne. Do tego problemu jeszcze wrócimy w trakcie omawiania samej metody. W tym przypadku dotyczy to węzła 8 a więc pomijamy przemieszczenia u8, v8, y. Na rys.2.4a na niebiesko są zaznaczone obroty w węzłach 3 i 6. W tych przypadkach fakt, że na końcu jest zakończenie pręta z możliwością obrotu niezależnego od węzła, jest uwzględniany w rodzaju elementu, który przyjmować będziemy w obliczeniach. To także jeszcze będzie omówione w dalszej części.

W metodzie przemieszczeń jest wprowadzone założenie, że elementy nie zmieniają swojej długości, tzn. nie wydłużają się ani nie skracają. Jedną z konsekwencji jest fakt, że składowe przesunięć wzdłuż pręta na jego końcach przyjmują taką samą wartość. Pokazane jest to na rys.2.5.

vj j

L L vi i

vi=vj

Rys.2.5 Na rys.2.4b jako grupy przesunięć (to zawsze dotyczy przesunięć) zaznaczono:  przesunięcia pionowe z węzłów 1 i 2 czyli przesunięcia na końcach pręta nr 2 (rys.2.), przy okazji przesunięcie v1=0 czyli skoro v1=v2, to v2 także jest równe zero,  przesunięcia poziome z węzłów 2, 3 i 4 czyli przesunięcia na końcach pręta nr 2 (rys.2.), który łączy węzły 2 i 3, oraz na końcach pręta nr 3, który łączy węzły 3 i 4,  przesunięcia pionowe z węzłów 4, 5 i 6 czyli przesunięcia na końcach prętów nr 4 i 5 (rys.2.), tu też jedno z przesunięć czyli przesunięcie v6=0 czyli skoro v4=v5=v6=0,  przesunięcia poziome z węzłów 5, 7 i 8 czyli przesunięcia na końcach pręta nr 6 (rys.2.), który łączy węzły 5 i 7, oraz na końcach pręta nr 6, który łączy węzły 7 i 8. Ostatecznie na rys.2.6 pokazane są wszystkie przesunięcia i obroty, które będziemy traktowali jako te stopnie swobody, które uwzględniamy w metodzie przemieszczeń, a więc także w stopniach geometrycznej niewyznaczalności. Tych przemieszczeń jest 7 i są to trzy przesunięcia (D1, D2 i D3) oraz cztery obroty (4, 5, 6 i 7) a więc układ jest 7-krotnie geometrycznie niewyznaczalny. Nie mamy gotowych równań, które pozwoliłoby policzyć jakiekolwiek z tych przemieszczeń.

y  2

y 

4

4

u =D 2

1

v =D u =D 3

3

3

5

u4 =D1

1

y  5

y 

6

7=

u =D 5

2

7

u =D 7

2

Rys.2.6 Tu są ponumerowane przemieszczenia po kolei bez nawiązywania do numerów węzłów. Takie podejście jest wygodne, bo mamy od razu miejsce niewiadomej (przemieszczenia będą tutaj niewiadomymi) w układzie równań. Natomiast przy zadaniach prostych z małą liczbą niewiadomych, czasami udaje się przyporządkować do poszukiwanych przemieszczeń indeksy, którymi są numery węzłów, na których występuje dane przemieszczenie.

3. PODSTAWY METODY PRZEMIESZCZEŃ W metodzie przemieszczeń niewiadomymi są, zgodnie z nazwą, przemieszczenia w węzłach. Policzenie ich wymaga utworzenia dodatkowych równań, z których można by je policzyć. W tym celu liczy się siły wewnętrzne od obciążeń geometrycznych, równych jeden, i przyłożonych na kierunkach kolejnych poszukiwanych przemieszczeń. Aby to mogło być zrobione, to trzeba na kierunku wstawiania przemieszczenia wstawić podporę. Nie można przyłożyć obciążenia geometrycznego w dowolnym miejscu ramy. Te obciążenia wstawiamy tylko w miejscach, gdzie są podpory, które blokują dane przemieszczenie. Poza tym, aby mieć wpływ tylko tego jednego przemieszczenia, to trzeba pozostałe przemieszczenia zablokować. W praktyce, aby spełnić oba te warunki, to trzeba zablokować wszystkie przemieszczenia, wyznaczone jako niewiadome. Inaczej mówiąc należy wstawić w węzłach odpowiednie podpory, które zablokują wszystkie przemieszczenia. W ten sposób dostaje się schemat statyczny ramy, w którym wszystkie przemieszczenia są równe zero czyli są znane a układ jest geometrycznie wyznaczalny. Schemat statyczny ramy z dodatkowymi podporami, powodującymi, że przemieszczenia są równe zero, nazywamy układem podstawowym metody

przemieszczeń (UPMP). Podpory, dostawione do schematu statycznego ramy, nazywamy dodatkowymi podporami. Tworzenie układu podstawowego metody przemieszczeń (dalej będziemy używali skrótu UPMP) zostanie pokazane na przykładzie ramy z rys. 2.2. Jak ustaliliśmy wcześniej, w ramie mamy 7 przemieszczeń: trzy przesunięcia (D1, D2 i D3) oraz cztery obroty (4, 5, 6 i 7). Przyjęcie UPMP oznacza zablokowanie tych przemieszczeń. Tam, gdzie są przysunięcia, wstawiamy podpory z reakcją – siłą na kierunku przesunięcia. Tam, gdzie są obroty, wstawiamy podpory z reakcją – momentem. Stosowane w metodzie przemieszczeń symbole pokazane są na rys. 3.1.

R

Podpora blokująca przesuw poziomy, w podporze jest reakcja-siła R na kierunku zablokowanego przesunięcia Podpora blokująca przesuw pionowy, w podporze jest reakcja-siła R

R

na kierunku zablokowanego przesunięcia

r

Podpora blokująca obrót, w podporze jest reakcja-moment r na kierunku zablokowanego obrotu

Rys.3.1 Jak widać, w metodzie przemieszczeń na każdą blokadę używamy oddzielnego symbolu, nawet jeżeli wstawiamy dwie lub trzy reakcje w jednym węźle. Symbole podpór, blokujących przesuwy były stosowane w ramach przestrzennych. Natomiast symbol podpory, blokującej tylko obrót w formie wydłużonego trójkąta, jest tu pokazany po raz pierwszy. Na rys.3.2 po prawej stronie pokazana jest rama z wstawionymi podporami na poszczególnych przemieszczeniach i reakcjami, działającymi w tych podporach. Wstawiamy po jednej podporze na jedno przemieszczenie. Reakcje – siły oznaczamy dużą literą R a reakcje – momenty oznaczamy małą literą r. Reakcje mają indeksy, którymi są numery zablokowanych przemieszczeń z rysunku po lewej stronie. Zwroty reakcji muszą być takie same jak zwroty przemieszczeń. Aby było to bardziej zrozumiałe, przemieszczenia na rysunku z lewej strony są

narysowane w takim samym kolorze, jak podpory i reakcje je blokujące, a narysowane po prawej stronie.

R3

r4 y24 u2 = D1

v3= D 3

r5

y45 u3= D1

R1

u4= D1

2

y56

3

4

r6

y7= 7 u5= D2

R2

u7= D2

r7 7

8

5 1

6

Rys.3.2 W przypadku blokad obrotu, lokalizacja podpór jest jednoznaczna. Natomiast blokady przesuwów, wstawiamy w dowolnym węźle, w którym występuje dane przesunięcie. Na przykład podpora, blokująca przesuw D1 jest przyłożona na rys.3.2 do węzła 2. Jednak zamiast przykładać ją od węzła 2, może być ona przyłożona również do węzła 3 lub węzła 4. Do węzła 3 raczej nikt by nie przyłożył tej podpory, bo źle by się ją rysowało, ale węzeł 4 jest równie dobry jak węzeł 2. W przypadku przesuwu D2 podpora może być wstawiona w węzłach 5, 7 lub 8. Jednak na końcu wspornika czyli tutaj w węźle 8 nie należy wstawiać podpory, bo uzyskuje się trudny schemat w dalszych obliczeniach a gdyby podpora była wstawiona w węźle 7, to by to źle wyglądało graficznie, a to oznacza, że pozostaje węzeł 5. Na rys.3.2 są dwa miejsca, na które podczas przyjmowania UPMP trzeba zwracać uwagę a są to:  przegub w węźle 3 – jeżeli przegub łączy dwa pręty, tworzące jedną „linię”, to należy w takim miejscu zablokować przesuw na kierunku prostopadłym do prętów,  podpora w węźle 7– jeżeli podpora nie jest w charakterystycznym miejscu typu koniec pręta lub załamanie, które i tak uznajemy jako węzły, to w tym miejscu jest węzeł a w takim węźle należy zablokować obrót. Jeszcze do zasad przyjmowania UPMP wrócimy a zwłaszcza do wyznaczania liczby przesuwów w ramie. Teraz zostanie pokazana podstawa tworzenia równań metody przemieszczeń na przykładzie ramy, pokazanej na rys.3.3a. Na rys.3.3b jest pokazany UPMP dla schematu z rys.3.3a. Jest to rama dwukrotnie geometrycznie niewyznaczalna. Niewiadomymi są: przesunięcie węzłów 1 i 2 (oba węzły mają to samo przesunięcie) i obrót w węźle 2.

a)

b)

r2 R1

P 1

2

A

B

b

UPMP

a

Rys.3.3 Na rys.3.4 rozrysowano zadanie z rys. 3.3a jako sumę zadań, w których obciążeniami są: obciążenie zewnętrzne (stan P), obciążenie geometryczne o wartości „1” na kierunku przesunięcia D1 (stan D1), obciążenie geometryczne o wartości „1” na kierunku obrotu 2 (stan 2). Po wpływem obciążenia, rama się odkształca a węzły zmieniają swoje położenie i się obracają (ostatni schemat na rys.3.4). Węzeł 1 przesuwa się w poziomie o D1 a węzeł dwa przesuwa się w poziomie o D1 i dodatkowo się obraca o kąt 2. Takie same reakcje i siły wewnętrzne dostaniem, jeżeli do pierwotnego schematu statycznego dodamy podpory blokujące przemieszczenia na tych kierunkach a same przemieszczenia uwzględnimy jako obciążenia geometryczne. To jest właśnie schemat statyczny pokazany po prawej stronie rys. 3.4. P

2 P

R1P

= A

Stan 2

Stan D1

Stan P 1

r2P

P

r21 R11

P

1

r22 R12

+D1*

+2 *

R1=0  

=

D1

r2=0 P

P 2 2

B

Rys.3.4 Jeżeli mamy kilka obciążeń, to w mechanice liniowej (z małymi przemieszczeniami) można skorzystać z zasady superpozycji. Policzyć reakcje i siły wewnętrzne od każdego obciążenia oddzielnie a następnie do siebie dodać. To zostało dokładnie omówione w poprzednim semestrze, ale jeszcze raz pokazana jest ta zasada na Rys.3.5. Na rys.3.6 pokazane są sumowania dla reakcji, przemieszczeń i momentów zginających w metodzie przemieszczeń.

1

HA

P1

HA1

VA

+

VA1

VB

H A2

M

VB1 P2

k VA2

P

P ∙H A

VB2

P1

HA1+ HA2

P∙ VA

P2

VA1 + VA2

P∙ VB

VB1+ VB2

M P∙ k

Rys. 3.5 Stan D1

Stan P P 1

R1P

2 P

Stan 2

r2P

P

r21 R11

1

r22 R12 

P

+D1*

= A

+2*



B a

Schematy statyczne z obciążeniami

P

r2P

P

R1P

P

2

R11 P

2

Stan 2

Stan D1

Stan P D1

=

r21

1

r22 R12 

+2*

+D1*



Sc...