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ermo modinámica Ter mo dinámica Química I Ter mo dinámica Química I ermo modinámica Facultad de Ingeniería – Semestre 2019–I 3 de Julio de 2019

Determinación de la razón Cp/Cv. Método de Clement & Desormes Meiby Lopez, Emerson Mercado, Mauricio Foliaco, Edward Molina Universidad Del Atlantico, Barranquilla, Colombia; [email protected]

Resumen—En la práctica desarrollada se utilizó el método de Clement-Desormes para determinar de manera experimental el valor de la razón del calor específico o gamma (γ) relacionando los calores específicos, tanto como a volumen como a presión constante, para posteriormente demostrarlo de manera teórica mediante la ecuación dada por el profesor. Esto se logró mediante un sistema conformado por un compresor y un recipiente con válvula reguladora de presión conectado a un tubo en U cuyo fluido era aceite, en donde a su vez se buscó demostrar un proceso adiabático e isocorico. Palabras clave: Sistema, adiabàtico, isocorico, gamma.

I.

INTRODUCCIÓN

PROCESO ADIABÁTICO

En termodinámica, un proceso adiabático es aquel en donde el sistema no intercambia calor con el entorno, o Viceversa. Por esta razón el calor en el sistema, será: Q=0 Por lo tanto, el cambio de la energía interna, dependerá del trabajo: ∆U = Q + W

TIPO DE GAS

∆U (J)

∆Um (J/n)

3nRT

3RT

Monoatómico

Poliatómico: Lineal Poliatómico: No Lineal

Como Q = 0, entonces ∆U = W

En este caso, al aire ser un gas poliatómico lineal

Donde el trabajo: W = −Pext∆V Donde la entalpía:

Entonces:

∆H = Cp∆T

∆U= Cv∆T = −Pext∆V = W Como:

Cp = Cv+ nR Donde Cv, depende del teorema de equipartición. Entonces

Determinación de la razón Cp/Cv. Método de Clement y Desormes

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∆H = (Cv + nR)∆T

CvdT = −PdV

PROCESO ISOCÓRICO Un proceso isocórico es aquel que se realiza a volumen constante, por esta razón: ∆V = 0

Como es un gas ideal:

Por lo tanto, como el trabajo depende de la variación de volumen, entonces:

Entonces:

W = −Pext0 W=0 Ecuación diferencial homogénea: Entonces, el cambio en la energía interna del sistema, solamente dependerá del calor a volumen constante: ∆U = Qv

Integrando:

Siendo Qv = Cv∆T En este caso la entalpia será igual a: ∆H = ∆U + P∆V O si bien:

Por propiedad de logaritmo: ∆H = ∆U + nR∆T

RAZÓN DE CALOR ESPECÍFICO – GAMMA (γ) Recordemos que, en un proceso adiabático, Q = 0, haciendo que la energía interna dependa del trabajo:

Por gases ideales

∆U = W → ∆U = −Pext∆V Expresando esto en términos diferenciales:

Reemplazando en la ecuación:

dU = −PextdV Pero ∆U = Cv∆T Esto en términos diferenciales: →

dU = CvdT

Cv

Cv

nR

Cv

Cv

Pf Vf Vf =Pi Vi Vi

Propiedad de exponente: Por lo tanto:

Cv

Cv+nR

Pi Vi Programa de Ingeniería Química

Cv

=Pf Vf

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Cv +nR

nR

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Recordemos que: Cp= Cv+ nR Por lo tanto:

PiCv ViCp =Pf Cv Vf Cp

Despejando:

Donde tenemos que:

Por propiedad de exponentes

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El método se basa en utilizar algún instrumento para suministrar aire al sistema (con un volumen considerable), con el fin de lograr un aumento no muy grande en la presión. Luego de alcanzar el equilibrio, se libera bruscamente la presión del sistema, esto con el fin de que no haya trasferencia del calor entre sistema y entorno, por lo tanto, se busca que el calor tienda a ser 0, dependiendo así la energía interna, del trabajo. En el procedimiento puede haber cambios mínimos en el calor, así podemos considerar la expansión aproximadamente adiabática. Posteriormente, se deja que la presión disminuya, al momento que esto ocurre, el volumen tiende ser igual al inicial, esto dependiendo de la cantidad de presión que se libere, que como se mencionó anteriormente no puede ser mucha, ya que al esto ocurrir, el proceso dejaría de ser adiabático. De esto podemos deducir que básicamente, el método consiste en la medición tanto como de una pendiente adiabática, como la de una isocórica, con el fin de determinar el valor de la razón de calor específico o gamma, luego demostrando este valor o coeficiente por medio del valor de las alturas tomadas en dicha práctica.

Por lo tanto, se simplifica la ecuación en: OBTENCIÓN DE GAMMA (γ) CON RESPECTO A LA ALTURA (h)

En donde:

Llegando así a gamma (γ), que es la relación entre capacidades caloríficas en procesos adiabáticos.

Podemos usar dos métodos para obtener la ecuación en términos de altura, estos difieren en el sentido con que se tome gamma, si utilizamos gamma como un exponente, podríamos expresar la ecuación en términos de logaritmo natural, de lo contrario si utilizamos gamma como un número, podemos expresar la ecuación en términos de logaritmo base 10. Para determinar el valor de gamma, partimos de la siguiente ecuación:

MÉTODO DE CLEMENT Y DESORMES El método de Clement y Desormes, es el método más antiguo para determinar el índice adiabático, este consiste en el proceso de expansión adiabática de un gas, con el fin de lograr un enfriamiento. Programa de Ingeniería Química

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Donde Pb = Patm, por lo tanto, podemos trabajar con Patm. Inicio y final: Expresamos las presiones manométricas en absolutas, sumando a la misma presión manométrica la presión atmosférica

Pi = Patm + ρghi Pf = Patm + ρghf

Remplazando (2) en (1) tenemos:

Luego se reescribe la ecuación quedando de la siguiente Manera:

Como la presión manométrica es muy pequeña en comparación a la presión atmosférica se puede hacer la siguiente aproximación:

1. Gamma como Exponente:

Ln(1 + x) ≅ x Tomando que el valor de x en la ecuación anterior es la ecuación queda de la siguiente forma:

Factorizamos:

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Cancelamos los valores semejantes para dejar la ecuación simplificada de la siguiente forma:

5

Simplificando:

Gamma

Despejando gamma tenemos que: La cual se simplifica de la siguiente manera:

Donde:

Pi = Patm + ρghi → Patm = Pi − ρghi Pf = Pi + ρg(hf − hi)

En este punto podemos percatarnos de que la ecuación (3) es igual a la ecuación (5).

→ Pf = Pi + ρg(hf − hi) II.

METODOLOGÍA

Remplazando en la ecuación (4) tenemos que: Para esta práctica, se utilizó un compresor conectado a un recipiente de forma cilíndrica con una válvula de escape, a su vez este se halló conectado a un tubo en U, en donde se encontró aceite, siendo este el fluido manométrico.

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Para lograr una mayor precisión al momento de tomar los datos; se realizó 4 medidas diferentes y cada una se comprobó por cada uno de los integrantes del grupo.

III.

Imagen 1.

Partiendo de condiciones iniciales, se utilizó el compresor con el fin de lograr una variación de presión en el sistema, más exactamente un aumento de esta debido a la absorción del aire que realizó este compresor; dicho aumento quedó en evidencia en el momento en que el fluido comenzó a desplazarse a través del tubo en U, lo cual logro una determinada altura que fue proporcional a la presión mencionada anteriormente.

Luego de que se realizó este procedimiento; se determinó un cambio significativo desde la altura inicial, hasta la altura alcanzada por el fluido, se procedió a cerrar la llave del compresor y de inmediato se desconectó este de la corriente eléctrica, con esto se detuvo el aumento de la presión y por consiguiente el aumento en la altura del fluido.

RESULTADOS

Como el aire es un gas compuesto por dos elementos diatómicos (N2 = 80% y O2 = 20%), entonces es un gas poliatómico. Por ende, aplicando el teorema de equipartición, tenemos que:

Como no fue suministrada la información de las moles presentes del gas, podemos dividir la ecuación y expresarla en términos molares, teniendo presente que en el proceso las moles son constantes.

Por lo tanto:

Cpm = Cvm + R A continuación, se procedió a abrir la válvula, lo que liberó la presión, sin embargo, esto se hizo de una manera muy rápida con el fin de que no hubo una variación significativa de la temperatura, ocurriendo así una expansión adiabática en el sistema. Luego de esto se observó como la altura del fluido tendía a irse nivelando con la altura inicial, dependiendo esto de la cantidad de presión liberada por el sistema, y más directamente del tiempo que se tuvo la válvula abierta.

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Recordemos que:

7

-6,5 -11,1 -6,8 -15,3

1 2 3 4

Con estos datos, y la ecuación de gamma en términos de altura, pudimos calcular los valores de esta:

Por lo tanto:

1.

γ=

−6,5 cm hi = =1,08 hi−hf −6,5 cm−(−0,5 cm)

2.

γ=

hi −11,1 cm = =1,26 hi−hf −11,1 cm−(−2,3 cm)

Simplificando:

Luego de calcular el valor de gamma por medio del teorema de equipartición, procedimos a calcular el valor de gamma por medio del método demostrado anteriormente, es decir esta vez utilizando solamente las alturas tomadas a lo largo de la experiencia.

−6,8 cm

hi =1,23 3. γ = hi−hf = −6,8 cm−(−1,3 cm)

A continuación, se presenta la respectiva tabla en donde se encuentran los datos de las alturas tomadas:

4.

Tabla 1. Medidas tomadas de la experimentales.

Medid as 1 2 3 4

�0(�� )

�1(�� )

�2(�� )

27 48,5 48,5 48,5

20,5 37,4 41,7 33,2

26,5 46,2 47,2 40,2

γ=

Donde:

�i = h1 − h0 �� = h� − h0 En la siguiente tabla se encuentran los datos de las alturas finales e iniciales: Tabla 2. Datos calculados basados en la tabla1.

��(�� )

�f (�� )

hi −15,3 cm =2,18 = hi−hf −15,3 cm−(8,3 cm)

Luego se procedió a promediar los 4 valores obtenidos de gamma y compararlos con el valor teórico:

γ´ =

Medidas

-0,5 -2,3 -1,3 -8,3

1,08+ 1,26 + 1,23 + 2,18 =1,43 4

Donde se observó que el valor de gamma, fue prácticamente el mismo que el valor teórico.

IV.

ANÁLISIS DE RESULTADOS

Se estableció el valor del coeficiente gamma con el método de Clement y Desormes, con lo cual se obtuvo Programa de Ingeniería Química

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un valor promediado de 1.43. Se compararon los resultados experimentales con el valor real, en donde el valor de gamma para el aire fue de 1.4, en donde se evidenció el siguiente margen de error:

8

Luego de obtener estos dos valores, se relacionaron para obtener el ya mencionado antes coeficiente gamma, percatándonos que es exacto al coeficiente real. Luego se expresó la ecuación que relaciona el volumen y la presión en un proceso adiabático, para después expresarla en términos solamente de presión, para poder cancelar y expresar dicha ecuación solamente en términos de las alturas tomadas. Se procedió a calcular el valor de gamma promediando todos los valores dados, observando que no eran exactos, esto también se pudo notar al

Donde Vo, es el valor observado y Vt es el valor teórico

graficar (figura 1), cuyo valor de la pendiente corresponde aproximadamente al valor de gamma promediado, siendo este de 0,80243396, el cual es un valor totalmente desviado del valor real del coeficiente.

Por lo tanto:

Tabla 3. Datos para calcularla pendiente.

|VoVt−Vt ∗100 %|=2,14

E %=

��

%

-6,5 -6,8 -11,1 -15,3 PENDIENT E

De lo cual se demostró que el porcentaje de error fue de 2.14%, por lo tanto, el resultado, no difirió significativamente del resultado real.

interna de un gas poliatómico lineal es igual a , como se sabe que la capacidad calorífica molar a volumen constante es igual a la derivada parcial de la variación de la energía interna con respecto a la

-0,5 -1,3 -2,3 -8,3 0,8024339 6

Graficando los valores de la Tabla 3:

-16 -15 -14 -13 -12 -11 -10

f(x) = 0.8 x + 4.86

-9

-8

-7

-6 -1 -2 -3 -4

��- �f

La determinación de Capacidad Calorífica molar a volumen constante Cvm, se obtuvo gracias a que asumimos que la composición de la mezcla del aire es de un 80% Nitrógeno y 20% Oxigeno, lo cual nos ayudó a simplificar los cálculos gracias al teorema de equipartición que nos dice que la variación de la energía

� � – �f

-5 -6 -7 -8 -9

temperatura, se llegó a que:

��

De aquí se llegó de manera analógica la determinación de Cpm, ya que esta es igual a la suma de Cvm + R, el resultado obtenido fue: Figura 1. Grafico �� vs

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��-�f .

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presiones, se pudo observar que habían valores constantes, tales como la gravedad y la densidad, los cuales pudieron ser cancelados, quedando dicha ecuación en términos de la altura.

V.

CONCLUSIONES

Finalmente se pudo concluir que al calcular el valor de gamma con respecto a los valores de Cpm y Cvm para el aire obtenidos experimentalmente, este casi no difirió con su valor teórico puesto que el valor calculado de este fue muy aproximado al valor real de gamma del aire. Mediante el cálculo de Cvm se pudo determinar Cpm, esto utilizando el teorema de equipartición, vinculando de esta manera ambas relaciones con el fin de hallar el coeficiente de dilatación adiabático. A su vez se

Esto logró que se permitiera comprobar el valor de gamma por medio de los dos métodos, pudiéndonos así percatarnos que es una forma viable, ya que se llegaba aproximadamente al mismo resultado. En general se puede decir que el método de Clement y Desormes, a pesar de ser muy antiguo, es bastante aproximado y práctico, pero no exacto, para calcular el valor del coeficiente.

VI.



https://www.academia.edu/22254027/RELACION_C p_Cv



http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/estadistica/termod inamica/ clement/clement.html



https://www.academia.edu/30863289/PRACTICA_N_ O_2_DETERMINACION_DEL_COEFICIENTE_DE _POISSON



http://facultatciencies.uib.cat/prof/juan.frau/qfI/teoria/t ema3.pdf

demostró que la relación es decir el ya mencionado coeficiente de dilatación adiabático de un gas, pudo ser calculado mediante la expresión ; ya que al despejar la ecuación PiViγ = PbVfγ en términos de

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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