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Medios de representación (Examen final) La Geometría Descriptiva de Monge tiene dos objetivos: el primero es dar métodos para representar en una hoja de dibujo que sólo tiene dos dimensiones (largo y ancho), todos los cuerpos de la naturaleza que tienen tres (largo, ancho y alto). El segundo es proporcionar el medio de reconocer la forma de los cuerpos luego de una descripción, y deducir de aquí todas las verdades que resultan en su forma y posición. Si un sujeto A representa en un plano un objeto determinado, otro sujeto B adiestrado en el uso de la misma técnica, puede conocer la verdadera forma del objeto representado y deduce las condiciones particulares que le interesan sobre el mismo. Nomenclatura: -Rectas designadas por letras minúsculas (a, b, c,…) -Puntos designados por letras mayúsculas (A, B, C,…) -Planos designados por letras del alfabeto griego (α, β, γ,…) Proyecciones Al querer representar en un plano los elementos del espacio, se establece una correspondencia biunívoca entre ambos sistemas, de modo que a cada punto del espacio le corresponda un punto y sólo uno del plano elegido para efectuar la representación. Se debe poder reconstruir cada punto representado. Cada punto a representar, se proyecta desde un punto convenientemente elegido llamado centro de proyección, sobre el plano de representación llamado cuadro de proyección.  La proyección de un punto P desde un centro O sobre un cuadro π, es un punto Pˈ que se define al cortar a π con una recta r que pasa por O y por P.

Toda recta que pasa por el centro de proyección se denomina recta proyectante. El punto en que una recta corta a un plano se denomina traza de la recta en el plano. Expresado correctamente: la proyección de un punto P desde un centro O sobre un cuadro π, es la traza de Pˈ en π del rayo proyectante que pasa por P.  Cuando un conjunto de puntos está ordenado de determinada manera, se forma una recta. Los infinitos puntos que la componen, al ser proyectados, definen otra recta en el cuadro de proyección, que equivale a la intersección del cuadro con el plano que contiene a los infinitos rayos proyectantes. La proyección de una recta m desde un centro O sobre un cuadro π, es la intersección con π del plano que pasa por O y contiene a m.

Todo plano que contiene al centro de proyección se denomina plano proyectante. La línea que define un plano al cortar a otra superficie se denomina traza del plano. Expresado correctamente: la proyección de una recta m desde un centro O sobre un cuadro π, es la traza en π del plano proyectante que contiene a m. - Punto impropio: se concibe sólo un punto impropio por cada recta. Se lo señala con una letra mayúscula, agregando el símbolo “∞” y una corta flecha con sentido arbitrario. El concepto de punto impropio está asociado al concepto de dirección (no de sentido). Decir que dos o más rectas se cortan en el punto impropio, es decir que tienen la misma dirección, o que constituyen una familia de rectas paralelas. Inversamente se puede decir que dos o más rectas paralelas se cortan en (o tienen en común) el punto impropio. No necesariamente un punto impropio se proyecta en otro punto impropio, ni un punto propio en otro propio. - Recta impropia: se acepta sólo una recta impropia por cada plano. Se indica con una letra minúscula, agregando el símbolo “∞”. El concepto de recta impropia equivale al de orientación de un plano. Decir que dos o más planos se cortan en la recta impropia, equivale a decir que tienen la misma orientación, o que constituyen una familia de planos paralelos. Inversamente se puede decir que dos o más planos paralelos se cortan en (o tienen en común) la recta impropia. No necesariamente una recta propia se proyecta en otra recta propia, ni una recta impropia en otra impropia. - Plano impropio: se define como el conjunto que integran todos los puntos impropios y rectas impropias que puedan existir. Hay sólo un plano impropio “universal”. Puede decirse que una recta y un punto que no le pertenece definen un plano, sin ninguna restricción. a) si el punto y la recta son propios, el plano es el que contiene a la recta y pasa por el punto. b) si el punto es propio y la recta impropia, el plano es el que pasa por el punto y es paralelo a los planos que contienen a la recta. c) si el punto es impropio y la recta es propia, el plano es el que contiene a la recta y es paralelo a las rectas que contienen al punto dado. d) si el punto y la recta son impropios, el plano es el plano impropio Se constituye un método de representación cuando se adopta un sistema de proyecciones definido, y se establece la forma convencional de representar en ese sistema los elementos geométricos (punto, recta y plano) de modo que cada representación individualice a sólo un elemento definido en el espacio. Los métodos que vamos a estudiar son: - el método de Monge, en el cual se utilizan, combinadas, dos proyecciones paralelas ortogonales, con cuadros perpendiculares entre sí (uno horizontal y otro vertical). El modelo es

reducido a un sistema plano (bidimensional) por medio del giro de los cuadros alrededor de la recta común, hasta quedar superpuestos. - el método de las proyecciones acotadas, en el que se utiliza una proyección paralela ortogonal, con cuadro horizontal. A la proyección de un punto se asocia un número que indica la altura o cota del punto en relación al cuadro. - el método de la perspectiva, donde lo esencial es la sensación que produce la representación. Cuando el centro de proyección es impropio, es una perspectiva paralela. Método de Monge

Rectas proyectantes: -en 1ra proyección  es perpendicular al cuadro horizontal -en 2da proyección  es perpendicular al cuadro vertical Planos proyectantes: -en 1ra proyección  es perpendicular al cuadro horizontal -en 2da proyección  es perpendicular al cuadro vertical - simultáneamente proyectante en 1ra y 2da proyección  se llama plano de perfil y es perpendicular a Línea de Tierra.

REPRESENTACIÓN DEL PUNTO

-La primera proyección P1 (proyección horizontal) de P, es la traza de la recta proyectante en 1ra proyección que pasa por P -La segunda proyección P2 (proyección vertical) de P, es la traza de la recta proyectante en 2da proyección que pasa por P -Las dos proyecciones de P lo individualizan -Las líneas de referencia que une P1 y P2es perpendicular a LT 

Situación del punto:

Cota del punto: distancia del punto al cuadro horizont al Alejamiento del punto: distancia del punto al cuadro vertical Tercera proyección del punto: -el tercer cuadro de proyección π3 es un plano de perfil -la tercera proyección P3 de P es la proyección ortogonal de P en π3 -la distancia de P a π3 es el alejamiento lateral de P REPRESENTACIÓN DE LA RECTA Primera proyección r1 (proyección horizontal) de r: traza en π1 del plano proyectante en 1ra proyección que contiene a r. Segunda proyección r2 (proyección vertical) de r: traza en π2 del plano proyectante en 2da proyección que contiene a r.

-Las dos proyecciones de la recta r la individualizan -La traza Hr de la recta r en π1 (traza horizontal o primera traza de r) es el punto de r1 que se

encuentra sobre la línea de referencia perpendicular a LT que pasa por el punto común a LT y r2 -La traza Vr de la recta r en π2 (traza vertical o segunda traza de r), es el punto de r2 que se encuentra sobre la línea de referencia perpendicular a LT que pasa por el punto común a LT y r1 -Dadas las proyecciones de r, se puede establecer sus trazas, y dadas las trazas de r, es posible dibujar las proyecciones r1 y r2. 

Rectas en posiciones particulares

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Rectas que se cortan: dos rectas se cortan si las intersecciones de sus proyecciones homónimas están sobre una línea de referencia perpendicular a LT.

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Rectas paralelas: dos rectas son paralelas si son paralelas sus proyecciones homónimas. (Si las rectas son de perfil, verificar el paralelismo de las terceras proyecciones)

REPRESENTACIÓN DEL PLANO

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Planos en posiciones particulares

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Recta de un plano: recta pertenece a plano si las trazas de la recta pertenecen a las trazas homónimas del plano.

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Rectas particulares de un plano

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Punto de un plano: punto pertenece a plano, si pertenece a una recta del plano.

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Planos paralelos: las trazas homónimas de dos planos paralelos, son paralelas

Si dos planos paralelos a Línea de Tierra son paralelos, sus terceras trazas son paralelas.

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Recta y plano paralelos: recta es paralela a plano, cuando está contenida en (o puede construirse pasando por ella) un plano paralelo al dado.

PROBLEMAS GRÁFICOS  Intersección de dos planos: las trazas horizontal y vertical de la recta intersección de dos planos se encuentran en las respectivas intersecciones de las trazas homónimas de los planos (en caso de trazas homónimas paralelas, la traza respectiva será un punto impropio).

 Intersección de recta con plano: el punto I (intersección de r con α) estará contenido en la recta intersección de α con cualquier plano que contenga a r.

Por medio de un plano auxiliar γ (proyectante en 1ra proyección, que contiene a r) se determina I (I1 I2). Los planos proyectantes permiten construcciones gráficas más sencillas que los planos auxiliares genéricos.

 Plano determinado por punto y recta: un plano contiene a un punto si contiene a una recta que pasa por el punto. Es necesario determinar una recta auxiliar que contenga a P y sea coplanar con r (debe tener con ella punto en común, propio o impropio). El plano buscado es el que contiene a ambas rectas.

 Plano que pasa por punto dado, paralelo a plano dado: se trata de representar el plano definido por un punto propio y una recta impropia (la de α). Dicho de otro modo, el plano que pasa por P y tiene la misma orientación que α (las trazas del plano buscado β serán paralelas a las de α). Es necesario establecer una recta que contenga a P y que sea a su vez generatriz de β para determinar un punto de paso de una de las trazas de β. Cualquier recta por P paralela a α permite obtener β; las rectas particulares dan mejores soluciones.

 Proyecciones de una figura plana: dada la primera proyección del cuadrilátero ABCD, contenido en α, puede determinarse la segunda proyección por medio de rectas del plano que contengan puntos de la figura en cuestión. El lado AB pertenece a una recta a de α, la proyección horizontal a1 contiene a A1B1, y a la segunda proyección a2 de a, pertenecen A2B2. Con procedimiento análogo se determinan C2D2.

PROBLEMAS MÉTRICOS  Verdadera forma de una figura plana: las formas y magnitudes están modificadas en las proyecciones. Una figura plana contenida en un plano queda representada por dos figuras planas que la individualizan (1ra y 2da proyección) pero ninguna es igual a la figura. Suponiendo que el plano gira (usando como eje de giro una de sus trazas) hasta superponerse con el cuadro que contiene a la traza en cuestión, se tendrá sobre el mismo a la figura en su verdadera forma. Proceso de abatimiento de un plano: si un plano α gira alrededor de una recta que le pertenece (que actúa como eje de giro) cada punto de α describe una trayectoria tal que: a) la curva descrita está contenida en un plano que pasa por el punto considerado y es perpendicular a la recta eje b) la curva descrita es un arco de circunferencia con centro en el punto intersección del eje de giro con el plano de a) Suponiendo que el plano α en Monge es abatido sobre π1, girando alrededor de su traza horizontal, el punto P de α describirá un arco de circunferencia con centro en tˈα, contenido en un plano ε que pasa por P y es perpendicular a tˈα. Como tˈα pertenece a π1, ε es perpendicular a π1, por lo que es un plano proyectante en 1ra proyección. Todo punto y recta de ε tendrá su primera proyección sobre la 1ra traza de ε, que es perpendicular a la 1ra traza de α. La recta intersección de α y ε es la recta de máxima pendiente de α, por lo tanto el punto abatido (P)tˈα estará sobre la 1ra proyección de la recta de máxima pendiente de α que pasa por P.

Para establecer cuál de los puntos de s1 coincide con (P)tˈα se necesita conocer el radio RP de la circunferencia que describe P, puesto que (P)-R=P-R. P-R es la hipotenusa del triángulo rectángulo PRP1, recto en P1, del cual se conocen los catetos. P-P1 es la cota del punto (dada por P2-P0) y P1-R es la distancia de P1 a tˈα. En función de ellos puede conocerse la hipotenusa P-R. La reconstrucción del triángulo se realiza llevando por P1 un segmento de magnitud P2-P0 perpendicular a s1; la unión de su extremo con R indica el radio del arco de circunferencia descrito por P en su giro. Con ese radio y centro R, se dibuja un arco hasta cortar s1, quedando definida la posición de (P)tˈα. Aplicando el mismo proceso a todos los vértices de un polígono perteneciente a un plano, conocidas sus proyecciones, es posible conocer su verdadera forma.

 Abatimiento inverso: la correspondencia que existe entre las proyecciones de una figura plana y el abatimiento es biunívoca. Dadas las proyecciones y las trazas del plano, existe una y sólo una figura sobre cada uno de los cuadros que corresponde al abatimiento del plano. Inversamente, dado el plano abatido y una figura contenida en él, existe sólo un par de figuras que corresponden a las proyecciones. Dada la figura ABC de α en su verdadera forma (abatida según tˈα) se trata de obtener sus proyecciones. El procedimiento es análogo al abatimiento directo, ya que se efectúa una construcción auxiliar que reconstruya la disposición geométrica que cada punto establece en el plano proyectante al girar α en sentido inverso.

El radio de la circunferencia que cada punto describe es conocido (distancia del punto abatido a la tˈα), de modo que si es posible obtener la recta de máxima pendiente que contiene al punto abatida según tˈε, es inmediata la determinación de (A)tˈε y luego la de A1. Para obtener

(s)tˈε puede utilizarse el abatimiento auxiliar de cualquier punto de s. La construcción se simplifica abatiendo Ts.

 Perpendicularidad: La condición de perpendicularidad entre dos rectas y entre dos planos se expresa en función de la perpendicularidad entre una recta y un plano: a) Una recta es perpendicular a otra, si se comprueba que una de ellas está contenida en (o puede pasarse por ella) un plano perpendicular a la otra. b) Un plano es perpendicular a otro, si puede comprobarse que uno de ellos contiene a una recta perpendicular al otro.

Si una recta r es perpendicular a un plano α, el plano proyectante en 1ra proyección que determina r1 es también perpendicular al plano α. El plano proyectante en 2da proyección que determina r2 es perpendicular al plano α.

Si un plano es perpendicular a otros dos planos, es perpendicular a la recta intersección de ambos. Si una recta es perpendicular a un plano, las proyecciones de la recta son perpendiculares a las trazas homónimas del plano. Si el plano es paralelo a LT, debe verificarse la perpendicularidad de la tercera proyección de la recta con la tercera traza del plano. Para asegurar la perpendicularidad entre dos rectas dadas por sus proyecciones, es necesario y suficiente asegurar la pertenencia de una de ellas a un plano perpendicular a la otra.

Para asegurar la perpendicularidad entre dos planos dados por sus trazas, es necesario y suficiente asegurar que uno de ellos contiene a una recta perpendicular al otro.

DISTANCIA Distancia entre dos puntos:

La distancia entre A y B es la hipotenusa del triángulo rectángulo AMB; los catetos AM (diferencia de cotas) y MB (distancia entre primeras proyecciones) se conocen por lo que puede reconstruirse el triángulo obteniéndose la magnitud AB. El segmento AB es también hipotenusa del triángulo rectángulo ANB que se reconstruye en función de la distancia entre las segundas proyecciones y la diferencia de alejamientos. También es posible conocer la distancia AB abatiendo el plano proyectante en 1ra proyección que contiene a los puntos ABB1A1 o el plano proyectante en 2da proyección que contiene a los puntos AA2B2B. Distancia entre punto y plano: considerando la recta que pasa por el punto y es perpendicular al plano, la distancia entre el punto y el plano está dada por el segmento de esa recta definido por el punto dado y el punto intersección de la recta con el plano. Dados P y α, debe representarse una recta que contenga a P, de proyecciones perpendiculares a las trazas homónimas del plano, determinándose posteriormente el punto I, intersección de esa recta con el plano. La distancia PI es la distancia de P a α.

Distancia entre punto y recta: dados el punto P y la recta r, la distancia entre P y r está dada por el segmento perpendicular a r, definido por P y un punto de r. El mismo queda determinado si se conduce por P un plano ε perpendicular a r, con lo cual queda definido el punto I, intersección de r y ε. La distancia IP es la distancia del punto P a la recta r.

Las trazas de ε serán perpendiculares a las proyecciones homónimas de r. Para asegurar que ε contenga a P, se representa una recta que contenga a P y pueda pertenecer a ε. Como es conocida la dirección de las trazas de ε, puede representarse una recta horizontal de ε por P (h1 con igual dirección que t’ε). El punto Th es un punto de t’’ε, de modo que obtenido Th pueden dibujarse las trazas de ε. Luego se determina I, punto de intersección de r y ε; la distancia PI es la distancia del punto P a la recta r.

Distancia entre planos paralelos: la distancia entre dos planos paralelos es la distancia entre dos rectas, una de cada plano, que pertenezcan a un plano perpendicular a los planos dados. El plano ε perpendicular a t’α y t’β (con α//β) es perpendicular a α y β, y define en los mismos dos rectas a y b (rectas de máxima pendiente de α y β respectivamente). El abatimiento de ε permite medir la distancia entre a y b, equivalente a la distancia entre α y β.

ÁNGULOS Ángulo entre dos rectas: es posible medir el ángulo entre dos rectas aun cuando las mismas no sean coplanares (siendo gausas o alabeadas). El ángulo es el que definen dos rectas coplanares paralelas a las rectas dadas. Dadas dos rectas no coplanares a y b, se realiza una construcción auxiliar representando dos rectas paralelas a las dadas que pasan por un punto (rectas aˈ y bˈ por P). Abatiendo el plano que las contiene (plano γ) se mide el ángulo entre aˈ y bˈ, que es equivalente al ángulo entre a y b.

Ángulo entre dos planos: dos planos α y β forman un ángulo diedro cuya medida está dada por la “sección normal”, definida por un plano ε perpendicular a la arista del diedro. El

ángulo entre las rectas a y b, definidas por ε en α y β, equivale al ángulo entre α y β. Dados α y β por sus trazas, es necesario determinar i (recta intersección de α y β, arista del diedro) para representar luego ε perpendicular a la misma. Las intersecciones de ε con α y β determinan respectivamente las rectas a y b. El ángulo que las mismas forman, equivalente al ángulo entre α y β, puede medirse abatiendo el plano ε. (en carpeta hay otra forma)

Ángulo entre recta y plano: el ángulo entre recta r y plano α es ángulo entre r y su proyección ortogonal sobre α. Pasando por r un plano ε perpendicular a α, queda determinada por ε y α la recta iαβ, que forma con r un ángulo cuya medida corresponde al ángulo entre r y α. Dados r y α, se determina ε con el auxilio de una recta n perpendicular a α y coplanar con r. El abatimiento de ε permite medir ángulo entre r e iαβ, que es el ángulo entre r y α.

Ángulo de una recta con los cuadros: hay que establecer el ángulo que una recta, dada por sus proyecciones, forma con los cuadros π1 y π2. Se trata de averiguar la pendiente y la inclinación de una recta. El ángulo entre recta r y cuadro π1 queda definido por el plano γ proyectante en primera proyección que contiene a r. El ángulo entre la recta y la...