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UNIVERSIDAD DE LIMA FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES Y ECONÓMICASCURSO MÉTODOS MATEMÁTICOS I PERIODO ACADÉMICO 202 1-PRACTICA DIRIGIDA Nº 6VALORES MAXIMOS Y MINIMOS Determine los extremos relativos de las siguiente funciones, indicando el tipo de extremo. Justifique su respuesta: a) yxf ),( = x 2 ...

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Métodos Matemáticos I UNIVERSIDAD DE LIMA FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES Y ECONÓMICAS

CURSO PERIODO ACADÉMICO

3.

MÉTODOS MATEMÁTICOS I 2021-01

PRACTICA DIRIGIDA Nº 6

Si el costo de cada unidad de X es de s/. 5.10 y de s/. 1.80 por cada unidad utilizada de Y, y la empresa puede vender todas las unidades que produce a s/. 15 cada una. ¿Qué cantidades de X e Y debería utilizar la empresa con objeto de maximizar sus utilidades?

VALORES MAXIMOS Y MINIMOS 1.

4.

Determine los extremos relativos de las siguiente funciones, indicando el tipo de extremo. Justifique su respuesta: a) f ( x, y) = x 2 + y 2 − 2 x + 4 y + 7

b) f (x , y ) = 5 + 4x + 6 y − x 2 − 3 y 2

c) f ( x, y) = 2 x 2 − 3 y 2 + 4 x +12 y

d) f ( x, y) = 4 xy 2 − 2 x 2 y − x

e) f ( x, y) = x 3 + y3 − 6 xy 2

Una empresa utiliza dos tipos de materias primas, X y Y, en su producto. Usando x unidades de X y y unidades de Y, la empresa puede elaborar P unidades del producto, con P = 0.52x + 0.48 y + 0.12 xy − 0.07 x 2 − 0.06 y 2 .

Un monopolista produce 2 artículos que son sustitutos y presentan ecuaciones de demanda: x=8-p+q

y = 9 + p - 5q ,

donde 1000x unidades de la primera mercancía son demandadas si el precio es p u.m. (por unidad) y 1000y unidades de la segunda son demandadas si el precio es q u.m. (por unidad). Cuesta $4 producir cada unidad de la primera mercancía, y $2 producir cada unidad de la segunda. Determine las cantidades de producción y los precios correspondientes de las dos mercancías para que el monopolio obtenga la utilidad total máxima.

f) f ( x, y) = x 2 + y 2 + x 2 y + 4 2

g) f ( x, y) = 3 x + 2 xy + y −12 x − 8 y h) f ( x, y) =6 x −4 y − x2 −2 y 2 j) f ( x, y) = x3 + y 2 − 6 x 2 + y − 1 i) f (x , y ) = 2x 4 + y 2 − x 2 − 2y k) f (x, y , z ) = x 2 − 2xy + 2y 2 + 2xz + 4z 2 − 2z

Rpta: x = 3; y = 1.50 ; p = 65/8 ; q = 25/8.

f ( x, y, z) = x2 − 3 x + xy + y2 + xz + z2 2 2 2 m) f ( x, y, z) = 4 x + xy − yz − x − y − z l)

n) o) 2.

2

2

5.

Un fabricante de maquinarias estima que si suministra x máquinas al mercado nacional e y máquinas al mercado extranjero, las máquinas se venderán por y x x y 60 − + miles de dólares cada una en el país y por 50 − + miles de 10 20 5 20 dólares cada una en el extranjero. Si el fabricante puede producir las máquinas a un costo de 10,000 dólares cada una, ¿cuántas deberá suministrar a cada mercado para generar el mayor beneficio posible? ¿cuál es el beneficio máximo esperado? Justifique su respuesta. Rpta: x=200 ; y=300; BM=11 000.

6.

Las funciones de demanda de dos artículos son:

2

f ( x, y, z) = x − 2 xy + 2 xz + 2 y + 4 z − 4 x − 6 y − 28 z + 53 . f ( x, y) = ( y − ax2 )( y − bx2 ), b  a  0

Una empresa produce dos tipos de productos, A y B. El costo diario total (en dólares) de producir x unidades de A e y unidades de B está expresado por la siguiente función:

C (x , y ) = 250 − 4x − 7 y + 0.2 x 2 + 0.1y 2 . a)

Determine el número de unidades de A y B que la empresa debe producir al día con objeto de minimizar el costo total. Rpta: x = 10; y = 35.

q1 = 30 −0.4 p1 ,

q2 = 24 − 0.2 p2 .

Siendo el costo total conjunto CT = 8 +10Q , donde Q = q1 + q2 . Determine las cantidades que maximizan la función beneficio. Verifique la existencia del beneficio máximo. Rpta: q1 = 13 ; q2 = 11 . BM=1019.5.

b) Si la empresa vende cada unidad de A a s/. 20 y cada unidad de B a s/. 16, encuentre los niveles de producción de A y B que maximizarían las utilidades de la empresa. ¿Cuál es la utilidad diaria máxima?. Rpta: 1792.5 1

Métodos Matemáticos I

7.

La producción de un cierto artículo requiere de x horas-máquina e y horas-hombre. El costo de producción está dado por 3

donde P1 (precio de A) y P2 (precio de B) están en dólares y, q1 y q2 son las demandas (en miles de unidades) de los productos A y B, respectivamente. Si el objetivo es maximizar el ingreso total de la venta de ambos productos, ¿cuál es el precio de cada artículo? ¿Cuál es la cantidad demandada de cada artículo? y ¿Cuál es el ingreso total máximo esperado?

2

C( x, y) = 2 x − 6 xy + y + 500 Determine el número de horas máquina y de horas-hombre necesarios para producir la mercancía al menor costo. ¿Cuál es el costo mínimo? 8.

12.

La Corporación de cremas dentífricas orgánicas produce crema para dientes en dos tamaños, de 100 y 150 mililitros. El costo de producción de cada tubo de cada tamaño es de 60 y 90 céntimos de sol, respectivamente. Las demandas semanales x1 y x2 (en miles) para los dos tamaños son de:

x1 = 3( p2 − p1 )

;

19  , que se venderán a

13.

140 −

y 10

y de

dólares cada uno

Una empresa produce tres tipos de productos, A, B y C. El costo diario total (en dólares) por producir x unidades de A, y unidades de B y z unidades de C está dado por la función:

𝐶𝑇 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 360 − 4𝑥 − 7𝑦 − 12𝑧 + 0.2𝑥 2 + 0.1𝑦 2 + 0.3𝑧2 .

N2 = 32,000 + 250( x − 2 y) .

Determine el número de unidades de A, B y C que la empresa debe producir al día con el fin de minimizar el costo total. 14.

Rpta: y = 94; x = 89; MB = 295 250.

Una compañía fabrica 3 productos “rivales”. Las funciones de demanda de los tres productos son: 𝑞1 = 4000 − 2𝑝1 + 𝑝2 + 𝑝3 , 𝑞2 = 6000 + 𝑝1 − 3𝑝2 + 𝑝3 , 𝑞3 = 5000 + 𝑝1 + 𝑝2 − 2𝑝3

Las funciones de demanda de dos artículos son :

donde 𝑞𝑖 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 es la demanda estimada por año del artículo i y 𝑝𝑖 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 es el precio unitario del producto i.

q1 = 10 − 0.2 p1 , q2 = 15 − 0.5 p2 , siendo el costo total conjunto CT = 6 + 10Q , donde Q = q1 + q2 . Determine las cantidades que maximizan la función beneficio. Verifique la existencia del beneficio máximo. 11.

e

b) ¿Cuántos televisores de 14´´ y cuántos de 19´´ deberá suministrar al mercado para obtener la máxima utilidad?

Determinar los precios de venta que determinan el máximo beneficio para la empresa; indicar el máximo beneficio. Justifique su respuesta.

10.

x 6

a) Determine las funciones costo total y utilidad total.

Una lechería produce dos tipos especiales de queso a un costo medio constante de 50 y 60 soles por kilo, respectivamente. Si el precio de venta del primer tipo es x soles por kilo y del segundo y soles por kilo el número de kilos que puede venderse cada semana viene dado por las fórmulas: ;

150 −

respectivamente.

x2 = 320 + 3 p1 − 5 p2

Rpta: p1 = 110 ; p2 = 125.

N1 = 250( y − x)

19  a

un costo de $100 cada uno. Se suministra al mercado x televisores de 14 e

en donde p1 y p2 son los precios en centavos de los tubos. Determine los precios p1 y p2 que maximizaría las utilidades de la compañía.

9.

Un fabricante de televisores produce los de 14 a un costo de $90 y los de

a) Determinar los precios que producirán el ingreso total máximo con la venta de los tres productos. Verifique que el ingreso total sea máximo.

Un fabricante vende dos productos A y B cuyas ecuaciones de demanda son

b) ¿Qué cantidades deben producirse si se fijan esos precios? c) ¿Cuál es el ingreso máximo?

q1 =150 − 2 P1 − P2 , q2 = 200 − P1 − 3P2 , 2

Métodos Matemáticos I

15.

Sea una empresa que produce los productos M , N , R en cantidades respectivamente y cuyos precios en el mercado son

PN = 12

y

PR = 20 .

PM = 16

x, y , z

orilla del río. Halle las dimensiones del terreno que requieren la menor cantidad de valla. Rpta: x=40 , y=80.

,

Su función de costo es: 2

2

19.

2

C( x, y, z) = x + y + 3 z + 2 xz + 25

3/ 2

y ejemplares del promoción “y” miles, se venderán aproximadamente 20 x libro. ¿Cuánto dinero debe dedicar el editor a desarrollo y cuánto a promoción con objeto de maximizar las ventas? Rpta: x = 36; y =24.

a) Encontrar la función beneficio. b) Determine las cantidades que maximicen la función beneficio. c) ¿Cuál es el beneficio máximo?

20.

Suponga que el editor del ejercicio anterior está distribuyendo 61,000 dólares en lugar de 60 000 para gastar en desarrollo y promoción del nuevo libro. Estime en cuanto afectarán los 1000 dólares al nivel de ventas máximo.

21.

El costo de producir “x” modelos regulares e “y” modelos de lujo del producto de una empresa está dado por la función conjunta de costo

MAXIMOS Y MINIMOS RESTRINGIDOS 16.

Determine los valores extremos de las siguientes funciones mediante el método de Lagrange. Justifique su respuesta mediante el Hessiano orlado.

f ( x, y ) = y 2 − x 2 ;

sujeta a la restricción

b)

f ( x, y) = x 2 + ( y − 2) 2 ;

2 2 sujeta a la restricción x − y = 1

c)

f (x, y) = x 2 + y 2

d)

f (x , y ) = xy

e)

f (x , y) = 25 − x − y

g)

f ( x, y) = x 2 y

h) i)

17.

18.

2

2

sujeta a la restricción

;

sujeta a la restricción

; 2

x2 + y 2 = 4

22.

sujeta a la restricción x + y 2 − 4 y = 0 2

f ( x, y, z) = 3 x − 2 y + z , f (x , y , z ) = x − 2 y + 2 z ,

¿Cuántas unidades de cada tipo debe producirse a fin de minimizar los costos totales si la empresa decide producir un total de 320 unidades?.

2x + 3 y = 7 2

sujeta a la restricción 2

C( x, y) = x 2 + 15 y 2 + 300

x 2 + 4y 2 = 4

a)

;

x 2 + 8 y 2 = 24 x− y=0

sujeto a la restricción sujeto a la restricción

Un editor tiene que distribuir 60 000 dólares para gastar en desarrollo y promoción de un nuevo libro. Se estima que si se gastan en desarrollo “x” miles de dólares y en

x + y2 + z2 = 9

La función de producción de una empresa es P (L , K ) = 80 L 3 / 4K 1 / 4 , en donde L y K representan el número de unidades de mano de obra y de capital utilizadas y P es el número de unidades elaboradas del producto. Cada unidad de mano de obra tiene un costo de $ 60 y cada unidad de capital cuesta $ 200 y la empresa dispone de $40 000 destinados a producción.

2

a) Aplicando el método de multiplicadores de Lagrange, determine el número de unidades de mano de obra y de capital que la empresa debe emplear a fin de obtener una producción máxima.

Un fabricante tiene 8000 soles para gastar en el desarrollo y promoción de un nuevo producto. Se estima que si se gastan x miles de soles en desarrollo e y miles en promoción, las ventas serán aproximadamente de 50 x 1/2y3/2 unidades. ¿Cuánto dinero debe dedicar el fabricante a desarrollo y cuánto a promoción para maximizar las ventas?.

b) Interprete el significado del multiplicador de Lagrange obtenido en a).

Un granjero desea vallar un terreno rectangular a lo largo de la orilla de un río. El área ha de ser de 3200 metros cuadrados, y no es necesaria la valla a lo largo de la 3

Métodos Matemáticos I

23.

Si se gastan “L” miles de dólares en trabajo e “K” miles de dólares en equipamiento, la producción de una cierta fábrica será de:

27.

¿Cuáles son las dimensiones de la caja rectangular sin tapa que tiene el máximo volumen cuando la superficie de todo material empleado en su construcción mide 48 pulg2?

28.

Una empresa recibe un pedido de 8 máquinas pesadas iguales. La empresa desea distribuir la producción entre sus dos plantas A y B. La función de costos está dada

P ( L, K ) = 60L1 / 3 K 1/ 3 a) Si hay 120 000 dólares disponibles, ¿cómo debe ser distribuido el dinero entre trabajo y equipamiento para generar la mayor producción posible?. Rpta: L = $60 000 ; k = $60 000.

2

b) Use el multiplicador de Lagrange  para estimar el cambio que resultaría en la producción máxima de la fábrica si el dinero disponible para trabajo y equipamiento fuese aumentado en 1000 dólares. Rpta: $1000 extra de inversión incrementará 5109 u. aprox. de producción. 24.

29. La producción de cierta mercancía depende de dos insumos A y B. La unidad del insumo A cuesta $700, mientras que la unidad del insumo B cuesta $400. La cantidad de

La función de producción para una empresa es

P (x , y ) = 12 x + 20 y − x 2 − 2 y 2 , donde

unidades producidas y vendidas es

𝑥 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜 𝐴 e 𝑦 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜 𝐵

x y 1 1 cientos de + + 5− − x y 3 3

30. Una empresa está desarrollando un nuevo refresco. El costo de producir un lote

(

En base al multiplicador obtenido, estimar el efecto que tendrá en la producción máxima, si el costo total de los insumos es 87.

26.

f ( x, y ) =

unidades, donde x es el número de cientos de unidades del insumo A usadas, y es el número de cientos de unidades del insumo B usadas. Se sabe que el precio unitario de venta es de $900. a) Determine la función utilidad b) Determine la utilidad máxima

Los costos unitarios para la compañía por los insumos 𝐴 y 𝐵 son de $4 y $8 respectivamente. Si la empresa desea que el costo total de los insumos sea 88, calcular la máxima producción posible, sujeta a esta restricción presupuestal.

25.

2

por C ( x, y ) = x + 2 y − xy , donde x es el número de unidades a fabricar en A, y es el número de unidades a fabricar en B. ¿Cómo debe distribuirse la producción con el objeto de minimizar costos?. Justifique su respuesta mediante la matriz hessiana orlada.

)

3

está

2

dado por C x, y = 2200 + 27 x − 72 xy + 8 y dólares, donde x es el número de kilogramos de azúcar por lote e y es el número de gramos de saborizante por lote. a) Halle las cantidades de azúcar y saborizante que conducen a un costo mínimo por lote.

Un fabricante tiene 12 000 dólares para gastos de publicidad en radio y televisión de un nuevo producto. Se estima que si se gastan x miles de dólares en radio e y miles de dólares en televisión, las ventas serán aproximadamente de 50√𝑦 3 𝑥 unidades.

b) ¿Cuál es el costo mínimo?

a) ¿Cuánto dinero debe dedicar el fabricante a radio y cuánto a televisión para maximizar sus ventas? y ¿Cuál es el nivel de ventas máximo?. Justifique su respuesta.

31. Una empresa puede elaborar su producto en 2 de sus plantas. Si produce x unidades (en miles) en la planta 1 e y unidades (en miles) en la planta 2, sus ingresos estarán dados por I ( x , y ) = 3x + 2 y miles de dólares. Restricciones presupuestales indican que

b) Suponga que el fabricante decide gastar 13 000 dólares en lugar de 12 000 en gastos de publicidad en radio y televisión. Use el multiplicador de Lagrange , para estimar a cuánto ascenderá el nivel de ventas máximo.

debe cumplirse la condición x + y = 13 . Determine el número de unidades que debe producir en cada planta a fin de obtener ingreso máximo. ¿A cuánto asciende ese ingreso?

2

La función de producción de Cobb-Douglas para un fabricante está dada por 𝑃(𝑥, 𝑦) = 100 𝑥3/4 𝑦 1/4 , donde x representa las unidades de trabajo (a 150 dólares la unidad) e y representa las unidades de capital (a 250 dólares por unidad). El costo total de trabajo y capital está limitado a 50 000 dólares. Hallar el nivel de producción máximo del fabricante. Justifique su repuesta.

2

32. Una empresa desea construir un tanque rectangular con capacidad de 1500 metros cúbicos de agua. La base y las paredes verticales deberán ser de concreto y la tapa de acero. Si el costo del acero es el doble por unidad de área que el de concreto, determine las dimensiones del tanque que minimizan el costo total de construcción. 4

Métodos Matemáticos I

MISCELÁNEA

U ( x, y) = x(100 − 2 x) + y(125 −3 y) −(12 x +11 y +4 xy) a) ¿Cuántas unidades de cada tipo debe vender para obtener utilidad máxima?

U( x, y) = 44x + 80 y − 2 xy − 4 x 2 − 6 y 2 la función utilidad de un fabricante, en miles de dólares, por la venta de x unidades del producto P1 e y unidades del producto P2 .

33. Sea

a)

b) ¿A qué precio debe vender cada tipo para obtener utilidad máxima?. 37. Una empresa fabrica el producto C combinando los factores productivos A y B según la función de producción Q ( x , y ) = 8xy , donde x es la cantidad empleada de

Determine la cantidad de cada uno de los productos para que el fabricante obtenga la máxima utilidad. Calcule dicha utilidad máxima.

b) Calcule e interprete

𝜕𝑈

𝜕𝑦

A e y la cantidad empleada de B. Los precios unitarios son p B = 20 um , y el costo fijo es de 180 um .

(4,5).

p A = 30 um y

a) Hallar la función costo total.

34. En la producción del producto WW sólo se requieren los insumos A y B. La correspondiente función de producción es P( x , y) = xy , donde x es el número de unidades del insumo A e y el número de unidades del insumo B. El precio unitario de A es 3 dólares, el de B es 2 dólares, y los gastos operativos equivalen a un dólar por unidad de cada uno de los insumos empleados. De esta forma la función costo total está dada por los gastos operativos más los gastos en insumos, es decir C (x, y ) = x + y + (3x + 2 y ) .

b) Determinar las cantidades de A y B que permiten obtener 192 unidades del producto C, al menor costo posible. c) Utilizando el multiplicador de Lagrange hallado en b), determinar el incremento en el costo si se desea producir 200 unidades de C. 38. Una perfumería produce dos tipos de colonia, A y B. El precio de venta de A es de S/ 80 y el de B es de S/60. Restricciones presupuestales indican que debe cumplirse la igualdad x 2 + y 2 = 2500 , donde x e y indican el número de frascos de colonia A y B, respectivamente.

Determine x e y si se quiere lograr el menor costo total posible en la producción de 300 unidades del producto WW (es decir, si xy = 300 ).

a) Halle los valores de x e y que maximizan el ingreso de la perfumería. Justifique su respuesta mediante el Hessiano orlado.

35. Una compañía de teléfonos está planeando introducir dos nuevos tipos de sistemas de comunicaciones, que espera vender a sus mayores clientes comerciales. Se estima que si el primer tipo de sistema se vende en x miles de dólares por sistema y el segundo tipo se vende en y miles de dólares por sistema, aproximadamente 40 − 8x + 5 y consumidores compraran el primer tipo de sistema , 50 + 9x − 7 y compraran el segundo tipo. El costo de fabricación del primer tipo es de 10000 dólares por sistema y el costo del segundo tipo es de 30000 dólares por sistema.

b) ¿Cuál es el ingreso máximo? 39. Una empresa fabrica un solo producto en dos plantas. El costo en la primera planta es

C1 =

40 3 2 x − 90y + 25 , en la segunda planta C 2 = 25 y + 15 , donde x e y 3

son las cantidades producidas en la primera y segunda planta, respectivamente.

a) Halle ...