Métodos numéricos: Método de Runge-Kutta Apunte 3 PDF

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Métodos numéricos: Método de Runge-Kuutta
Guía para entender el tema número 3 de métodos numéricos que es el Método de los trapecios. Buscar más información en el libro de Chapra...

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Métodos Runge-Kutta La convergencia lenta del método de Euler y lo restringido de su región de estabilidad absoluta nos lleva a considerar métodos de orden de convergencia mayor. El método de Euler se mueve a lo largo de la tangente de una cierta curva que esta "cerca" a la curva desconocida o buscada. Los métodos Runge-Kutta extienden esta idea geométrica al utilizar varias derivadas o tangentes intermedias, en lugar de solo una, para aproximar la función desconocida. Estos métodos están basados en evaluaciones de f (x, y) en puntos intermedios del intervalo [xn, xn+1] de modo que resulten métodos equivalentes a un método de Taylor de cierto orden. Así, de forma más precisa, un método tipo Runge-Kutta se basa en m-evaluaciones en puntos intermedios del intervalo. Dada una partición del intervalo [a, b] donde existe solución del P.V.I. en N−sub intervalos, se define la solución numérica, {yn} n=0,...,N como combinación lineal de esos valores. Runge y Kutta desarrollaron un conjunto de métodos de resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias, que mejoran notablemente su eficiencia. Las principales características de los métodos deRunge-Kutta son: 1. Son auto-iniciables. 2. Necesitan únicamente la información del punto anterior para calcular el próximo. 3. El orden del método depende de la cantidad de veces que se evalúa la función. Por lo tanto entre mayor orden el método, más cantidad de cálculos y menor velocidad. 4. No poder estimar el error cometido sin la utilización conjunta con otro método de distinto orden. 5. Entre mayor el orden del método, se tiene mayor exactitud

Runge-Kutta de orden 2 Escribimos el incremento de como combinación lineal de la evaluación de

que denominamos

K1 y K2, con constantes a, b.

Siendo

El problema consiste en encontrar un esquema para determinar los valores de a, b, α y β. Por Taylor

Por otro lado

Reemplazando

Si consideramos la fórmula de Runge-Kutta de orden 2 y sustituimos las definiciones de K 1 y K2 obtenemos:

(

)

Expandiendo el último término en Serie de Taylor y conservando sólo los términos de la 1ra. derivada, nos queda:

(

)

Por último sustituyendo y agrupando convenientemente:

(

Igualando con la expresión anterior la, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

Y como tenemos 3 ecuaciones y cuatro incógnitas, podemos elegir arbitrariamente uno de los valores y calcular los restantes. Siendo la opción más usada la que toma los siguiente valores:

3

2

Este método tiene un error local de O(h ), y global de O(h ). Mejora entonces el método de Euler, por lo que se espera poder usar con este método un paso mayor. El método evalua dos veces la función en cada iteración.

Métodos de Runge-Kutta (4to. Orden) A medida que el orden del método aumenta, también aumenta la complejidad matemática de la deducción del mismo ya que deben considerarse más términos de la Serie de Taylor. Por ejemplo, si consideramos los 4

términos hasta (h ) obtendremos un sistema de 11 ecuaciones y 13 incógnitas. De la misma forma que en el caso de 2do. Orden, si se tienen menos ecuaciones que incógnitas, es necesario elegir arbitrariamente dos valores, para poder determinar los valores de los coeficientes. Por los motivos anteriormente expuestos, simplemente presentaremos la fórmula final de cálculo de los coeficientes y del próximo valor.

Se observa en al siguiente figura las pendientes K para una mejor aproximación

Así, el siguiente valor (yi+1) es determinado por el presente valor (yi) más el producto del tamaño del intervalo (h) por una pendiente estimada. La pendiente es un promedio ponderado de pendientes: •k1 -es la pendiente al principio del intervalo. •k2 -es la pendiente en el punto medio del intervalo, usando k1 para determinar el valor de y en el punto xi+ h/2. •k3 -es otra vez la pendiente del punto medio, pero ahora usando k2 para determinar el valor de y. •k4 -es la pendiente al final del intervalo, con el valor de y determinado por k3 Promediando las cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a las pendientes en el punto medio:

Orden de los Errores 5

4

Este método tiene un Error Local del orden de (h ) y un Error Global del orden de (h ). Si comparamos con los métodos de 2do. Orden, se observa una importante mejora.

Observaciones: Uno de los métodos más usados para solucionar numéricamente problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias con condiciones iniciales es el método de Runge-Kutta de cuarto orden, el cual suministra un pequeño margen de error con relación a la solución real del problema y es cómodamente programable en un software para calcular las iteraciones necesarias

Ejemplo 1 Usar el método de Runge Kutta para aproximar y(0.5) en la siguiente ecuación diferencial...