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Fachbereich Mathematik PD Dr. Ralf Holtkamp

¨ Ubungsaufgaben Mathematik I f¨ ur Studierende der Physik: ¨ Blatt 1 zur (Einzel-)Abgabe am 30.10.2013 in den Ubungen.

Die L¨osungen der folgenden Aufgaben sind schriftlich auszuarbeiten und handschriftlich abzugeben. Welche zwei der Aufgaben korrigiert werden, wird erst nach der Abgabe festgelegt. Die maximale Punktzahl bei der Bewertung der Aufgaben, die korrigiert werden, ist jeweils 8. Aufgabe 1: Sei im Folgenden die Menge M gegeben durch {14, {10, 12}, {∅}, {∅, 0}, {14, {10, 12}}, 0} .

a) Wieviele Elemente hat die Menge M ? b) Ist {{∅}, 0} ein Element, eine Teilmenge oder weder Element noch Teilmenge von M? Begr¨ unden Sie kurz Ihre Antwort. c) Ist die folgende Aussage wahr oder falsch: {14, {10, 12}} ⊂ M? Begr¨unden Sie kurz Ihre Antwort. d) Listen Sie alle Teilmengen von M auf, die genau 5 Elemente haben.

Aufgabe 2: Im folgenden seien A, B und C Aussagen. Zeigen Sie mit Hilfe von Wahrheitstafeln, dass die folgenden Aussagen Tautologien sind:

a) ¬(A ⇒ B) ⇔ (A ∧ ¬B). Geben Sie die Bedeutung der Aussage in Umgangssprache wieder, f¨ur eine (von Ihnen getroffene) Wahl der Aussagen A und B . b) (A ∧ (A ⇒ B)) ⇒ B c) ((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C)) ⇒ (A ⇒ C ) d) (A ⇒ (B ⇒ C)) ⇔ (B ⇒ (A ⇒ C))

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Aufgabe 3:

a) Schreiben Sie die folgenden Aussagen mit Hilfe von Quantoren, und geben Sie die Verneinung der Aussagen an, in Quantorenschreibweise und mit Worten. Achten Sie auf eindeutige Klammerung. Bei der Verneinung gen¨ugt es nat¨ urlich nicht, das Symbol ¬ oder das Wort “nicht” vor die Aussage zu schreiben! i) “Zu jeder reellen Zahl x existiert eine reelle Zahl y mit y · y = x .” ii) “Sind zwei ganze Zahlen a und b Summen zweier Quadrate ganzer Zahlen, so ist auch a · b die Summe zweier Quadrate ganzer Zahlen .” Versuchen Sie, mit den Zeichen +, −, ·, , ≥ , =, 6= auszukommen. b) Geben Sie die Bedeutung der folgenden Aussagen in Umgangssprache wieder; geben Sie jeweils die Verneinung der Aussagen an (in Quantorenschreibweise und in Umgangssprache). Dabei sei f : N −→ R eine Funktion. i) (∀ n, m ∈ N : (n < m =⇒ f (n) < f(m)))

=⇒

(∀ n ∈ N : n ≤ f (n)).

ii) ∀ ε ∈ R : (ε > 0 =⇒ ∃ N ∈ N ∀ n, m > N : |f (n) − f (m)| < ε).

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