Modelado de la ecuación de un Circuito LC PDF

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Aplicación de ecuaciones diferenciales de 2 orden
Circuito LC...

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CIRCUITO LC Un Circuito LC, también denominado circuito resonante u oscilador LC, es un circuito eléctrico formado por una bobina, representado por la letra L y un condensador eléctrico, representado por la letra C, los cuales se encuentran conectados entre sí. El circuito actúa como un resonador eléctrico, como una analogía eléctrica a un diapasón, basado en el almacenamiento de energía oscilante a la frecuencia de resonancia del circuito. Los circuitos LC se usan para generar señales a una frecuencia específica, o para seleccionar una señal de una frecuencia específica de una señal más compleja; está función se denomina filtro pasa banda. Son componentes fundamentales en muchos dispositivos electrónicos, particularmente en equipos de radio, donde son usados en circuitos como osciladores, filtros, sintonizadores y mezcladores de frecuencias. Un circuito LC es un modelo idealizado, ya que se asume que no hay disipación de energía debido a que no hay resistencia eléctrica. Cualquier implementación práctica de un LC siempre tendrá pérdidas debido a una pequeña resistencia (que no es igual a cero), entre los componentes y los cables de conexión. A pesar de que los circuitos en la vida real tendrán pérdidas, es importante estudiar este modelo de circuito para entender el fenómeno y tener intuición física. Para un modelo de circuito que incluye resistencia, por favor ver el circuito RLC. Análisis En un circuito resonante, la impedancia total vendrá dada por: 𝑍 = √𝑅 2 + (𝑋𝐿 − 𝑋𝐶 )2 , y siendo 𝑋𝐿 = 𝑋𝐶 , entonces 𝑍 = √𝑅 2 , y así 𝑍 = 𝑅 Donde Z es la impedancia, que se podría definir como la resistencia en circuitos de corriente alterna. En el estado de resonancia eléctrica, al ser la impedancia mínima, la intensidad eficaz de la corriente será máxima. Simultáneamente, la diferencia de potencial o tensión eléctrica correspondiente a Xc y XL tiene valores máximos iguales.

Sistemas de primer orden Hasta ahora hemos estudiado sistemas de primer orden, RC y RL, que solo tienen un elemento de almacenamiento de energía, C o L. La respuesta natural de estos circuitos de primer orden tiene forma exponencial que "decae" a su valor final; el resistor disipa la energía almacenada en estos elementos.

Sistemas de segundo orden Ahora estudiamos un circuito sin resistores y con dos componentes capaces de almacenar energía. Esto circuitos son sistemas de segundo orden porque producen ecuaciones con segundas derivadas. Los sistemas de segundo orden son los primeros sistemas que van y vienen en el tiempo, u oscilan. El ejemplo clásico de un sistema mecánico de segundo orden es un reloj de péndulo. En la electrónica, el sistema clásico es el circuito LC. Queremos encontrar la respuesta natural de este circuito. Es decir, lo que hace el circuito cuando no está bajo una fuerza externa. La respuesta natural siempre es una parte importante de la respuesta total de un circuito.

Funcionamiento del circuito

Digamos que el capacitor tiene un voltaje inicial, lo que significa que está almacenando algo de carga, q. Suponemos que no hay corriente inicial en el inductor (y, por lo tanto, tampoco hay corriente en el capacitor). ¿Qué va a ocurrir cuando se cierre el interruptor y dejemos que el circuito haga "lo que quiera"? Vamos a razonar este problema siguiendo lo que le ocurre a la carga q. La cantidad de carga q está dada por el producto del voltaje inicial a través del capacitor con el valor de su capacitancia, q=Cv. La carga q no cambia durante la respuesta natural. Al principio, toda la carga está estacionaria en el capacitor. Ahora soltamos el circuito al cerrar el interruptor, dejándolo comportarse de forma "natural". El inductor comienza con corriente 0 y, de repente, "ve" un voltaje inicial, v = V0. Este voltaje genera una corriente creciente en el inductor, y este comienza a almacenar energía en su campo magnético circundante. ¿De dónde proviene esta corriente (flujo de carga)? Viene, por supuesto, del capacitor. En el capacitor, la corriente fluye por la placa superior, pasa por el inductor y vuelve a la placa inferior del capacitor. Si q disminuye, entonces v también lo hace, pues q=Cv.

Eventualmente, llegamos a un estado donde la carga en la placa superior es igual a la carga en la placa inferior; por lo tanto, el voltaje a través del capacitor es 0. En el inductor hay una corriente que fluye aun cuando el voltaje es 0, pues la energía almacenada en su campo magnético la mantiene fluyendo (la corriente no cae abruptamente a 0 cuando el voltaje llega a 0).

La corriente del inductor continúa moviendo carga de la placa superior a la placa inferior del capacitor. Ahora hay más carga positiva en la placa inferior que en la superior, por lo que el voltaje cambia de signo y se vuelve negativo. Conforme la carga se acumula en la placa inferior, repele la llegada de nueva carga proveniente de la corriente del inductor (repulsión electrostática). La corriente del inductor disminuye y empieza a caer de regreso a 0.

Después de un poco, cuanto toda la carga ha fluido a la placa inferior, el voltaje alcanza su valor más negativo posible, que es el negativo de su voltaje inicial. La carga deja de moverse por un breve momento, por lo que la corriente cruza el 0.

La situación que retrata la imagen anterior es casi idéntica que la situación en la que comenzamos. La corriente otra vez es cero y el voltaje está en un pico, que resulta ser el negativo del voltaje inicial. Podemos volver al comienzo de la historia y contarla otra vez, excepto que ahora la carga se mueve de la placa inferior a la placa superior del capacitor. Este es el resultado final después de un ciclo completo:

La

razón

de

oscilación

(la

frecuencia) está determinada por

el

valor

de

L

y

C.

Descubriremos cómo es que esto

ocurre

cuando,

en

el

siguiente artículo, hagamos la deducción

formal

de

la

respuesta natural del circuito LC.

Frecuencia de la oscilación La característica de este tipo de circuito, es que la velocidad con que fluye y regresa la corriente desde el condensador a la bobina o viceversa, se produce con una frecuencia (f) propia, denominada frecuencia de resonancia, que depende de los valores del condensador (C) y de la bobina (L), y viene dada por la siguiente fórmula:

𝑓=

1 2∏√𝐿𝐶

Donde: f se mide en hercios, C en faradios y L en henrios.

Usos: Los circuitos resonantes o sintonizados tienen un amplio uso:  Radiocomunicación, tanto de radio como de TV: El oscilador de la emisora y del receptor están sintonizados a la misma frecuencia.  Telecontrol o mando a distancia: La señal oscilante del canal emisor está sintonizada con el del receptor el cual actúa con un circuito conmutador para gobernar artefactos (no confundir con otros mando a distancias basadas en señales procesadas digitalmente infrarrojo u otra). Por ejemplo, radiocontrol de modelos aéreos.  Reconocimiento de especies seriadas y autentificación: Es uno de los usos de estos circuitos que suelen pasar inadvertidos para las personas que están en contacto con ellos. Por ejemplo, existen sistemas de validación de acceso basados en tarjetas de identidad que, por su aspecto, no se diferencian de una tarjeta corriente, sin embargo, debajo de su doble capa tiene un circuito oscilador constituido por un gran solenoide de alambre de cobre muy fino y un condensador, ambos sintonizados para oscilar a una frecuencia única: el oscilador de la tarjeta de cada usuario diferente, es capaz de oscilar a una frecuencia diferente. En el sitio de control y validación de acceso, la tarjeta es acercada a una distancia suficiente para entrar en el campo magnético que está siendo generado, permanentemente, por el aparato fijo (escáner o interrogador). El solenoide dentro de la tarjeta en movimiento corta las líneas del campo magnético e induce una corriente que pasa al condensador, el cual es cargado y vuelto a descargar tal como se ha explicado antes. Ese proceso, a su vez, genera una débil onda de radio, a su frecuencia, que es captada

dentro del aparato fijo por un circuito oscilador de igual característica que el de la tarjeta. El resultado es que el sistema es capaz de diferenciar cientos de diferentes tarjetas. Si a cada una de ellas, mediante otros recursos técnicos, se les asigna un ítem específico, o código, es posible diferenciar personas y producciones seriadas jugando una función algo similar al reconocimiento a distancia de los códigos de barras. Algunas personas afirman que estas tarjetas tienen un Chip inteligente cuando realmente es un circuito analógico. En aplicaciones más complejas sí pueden contener otros elementos, chip alimentado por la corriente inducida. Como se comprende, estas tarjetas no usan batería; la energía es inducida por el campo magnético externo. Algunos tipos de tarjetas de crédito pueden contener circuitos de esta naturaleza.  Seguridad anti-hurto: Se utiliza en los mercados y se pueden ver adheridas a los diferentes productos en venta. Cuando el objeto atraviesa el campo magnético que genera permanentemente el aparato (escáner) existente en la puerta de salida, el circuito oscilador da salida a una señal que, al ser captada, activa la alarma. Es muy similar a lo ya descrito, solo que, en lugar de la tarjeta con un circuito rígido, se tiene uno impreso sobre material flexible y adherente o pegatina, normalmente papel aluminio en el que se han calado finas venas en espiral que funcionan como solenoide. Las diferentes camadas del papel aluminio, separadas por un dieléctrico, constituyen el condensador. Este ingenioso circuito es suficiente que oscile a una única frecuencia para todos los productos. Estas tarjetas son sometidas a la acción de otro artefacto, en el momento de pagar la factura, encargado de destruirlo internamente aniquilando su capacidad de resonancia por lo que es posible que pase la puerta sin activar la alarma. Las llaves de automóviles modernos, desde 1995, han incorporado un transponder pasivo que incorpora un circuito resonante, a veces contenido en una cápsula de vidrio donde es fácil identificar el solenoide de alambre de cobre.  Multiplexión en comunicaciones: A través de un único par de conductores físicos es posible establecer muchas comunicaciones diferentes simultáneas. Es suficiente con que en ambos extremos de los conductores se tengan los filtros y circuitos oscilantes sintonizados para cada una de las frecuencias que son introducidas en el cable. Un ejemplo es la comunicación de datos y voz usando la línea eléctrica doméstica de corriente alterna.

METODOLOGIA Para continuar en búsqueda de una solución precisa para la respuesta natural, proporcionemos al circuito algo de energía inicial. Etiquetamos los componentes poniendo especial atención a la convención de los signos para los componentes pasivos. El inductor tiene una corriente inicial de 0 A, porque el interruptor comienza en posición abierta. Suponemos que el capacitor tiene un voltaje inicia Vc=-V0, antes de que cierre el interruptor (observa cómo el signo + de Vc está en la parte inferior). Al tiempo t=0, cerramos el interruptor.

Como con el análisis de cada circuito, comenzamos por escribir una de las leyes de Kirchhoff. En este caso, utilizamos la ley de voltaje de Kirchhoff (LVK) alrededor de la malla, comenzando por la esquina inferior izquierda y recorriendo el circuito en el sentido de las manecillas del reloj.

Esta ecuación de la LVK contiene una integral, que es difícil de tratar. La manera de eliminar la integral (también conocida como antiderivada) es derivarla. Así, derivamos todos los términos en la ecuación.

Esto resulta en una segunda derivada para el término L y en la desaparición de la integral para el término 1/C, y nos deja con 0 en el lado derecho.

Podemos escribir de forma más limpia la ecuación si eliminamos el coeficiente en el primer término, por lo que dividimos entre L. Esta ecuación diferencial de segundo orden captura la esencia de nuestro circuito.

Cuando resolvimos los circuitos de primer orden RC y RL propusimos una solución exponencial para i(t). Proponer soluciones también funciona con ecuaciones de segundo orden. Nuestra ecuación de segundo orden impone requisitos similares: queremos una función cuya derivada se le parezca, de tal forma que la suma de la una con la otra sea igual cero. La función exponencial cumple con este requisito. Así, proponemos una función exponencial con ciertos parámetros ajustables:

La constante K es un factor de amplitud que escala la corriente de tal forma que sea grande o pequeña. La constante s se encuentra en el exponente, al lado del tiempo t. Puesto que los exponentes no tienen unidades, s debe tener unidades de 1/t, por lo que es una frecuencia. Como queremos determinar la respuesta natural, decimos que s es la frecuencia natural. Ahora sustituimos nuestra propuesta de solución en la ecuación diferencial y verificamos si la satisface.

Trabajemos sobre el primer término al tomar las dos derivadas. La primera derivada es:

Y la segunda derivada:

Sustituimos la segunda derivada en la ecuación:

Y factorizamos el término 𝐾𝑒 𝑠𝑡 :

¿De cuántas maneras podemos hacer verdadera esta ecuación? K=0, es muy aburrido, ¿a quién le importa? El término 𝑒 𝑠𝑡 nunca se anula en tiempo finito. Esto nos deja con una solución interesante cuando el término s+1/LC, es igual a cero:

A esta ecuación la llamamos la ecuación característica de nuestro circuito. Queremos encontrar las raíces de la ecuación característica (los valores de s que hacen el lado izquierdo de la ecuación igual a cero).

Vaya, mira lo que está por ocurrir. Estamos a punto de sacar la raíz cuadrada de un número negativo. Estamos a punto de generar un número imaginario. La constante s tiene dos valores posibles:

Los ingenieros eléctricos utilizan la letra j para denotar la unidad imaginaria, √−1 , pues usan la letra i para la corriente. Como abreviación, denotaremos el término de la raíz cuadrada como:

Podemos expresar las raíces de la ecuación característica en términos de 𝜔0 como:

El circuito LC produce dos frecuencias naturales complejas 𝑠1 𝑦 𝑠2 , y una de esas frecuencias es negativa. Qué curioso. Este hecho resultará ser muy interesante. Tanto 𝑠1 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑠2 , son raíces de la ecuación. Para nuestra propuesta de solución, existe la posibilidad de dos frecuencias naturales, 𝑠1 𝑦 𝑠2 . Así, escribimos la solución general como una combinación lineal de dos términos, con dos constantes K ajustables. Las identidades de Euler Para trabajar con estos exponentes complejos, recurrimos a una identidad importante.

Estas identidades nos permiten convertir el extraño término 𝑒 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜 en un número complejo normal. Las partes real e imaginaria están dadas por una función coseno o una función seno, de tal forma que ambas componentes están en un rango entre -1y +1. Podemos utilizar las identidades de Euler en nuestra propuesta de solución. 𝑖(𝑡) = 𝐾1 (𝑐𝑜𝑠𝑤0 𝑡 + 𝑗𝑠𝑒𝑛𝑤0 𝑡) + 𝐾2 (𝑐𝑜𝑠𝑤0 𝑡 − 𝑗𝑠𝑒𝑛𝑤0 𝑡)

Al expandir las multiplicaciones, obtenemos: 𝑖(𝑡) = 𝐾1 𝑐𝑜𝑠𝑤0 𝑡 + 𝑗𝐾1 𝑠𝑒𝑛𝑤0 𝑡 + 𝐾2 𝑐𝑜𝑠𝑤0 𝑡 − 𝑗𝐾2 𝑠𝑒𝑛𝑤0 𝑡 y al factorizar los términos de seno y coseno: 𝑖(𝑡) = (𝐾1 + 𝐾2 ) 𝑐𝑜𝑠𝑤0 𝑡 + 𝑗(𝐾1 − 𝐾2 )𝑠𝑒𝑛𝑤0 𝑡 No conocemos K1 ni K2, ni su suma o su diferencia. Parece perfectamente aceptable reemplazar las constantes K desconocidas con otras constantes desconocidas diferentes, por ejemplo, constantes A, solo para simplificar las cosas. Si hacemos:

𝐴1 = (𝐾1 + 𝐾2 ) 𝑦 𝐴2 = 𝑗(𝐾1 − 𝐾2 )

Entonces i(t) es: 𝑖(𝑡) = 𝐴1 𝑐𝑜𝑠𝑤0 𝑡 + 𝐴2 𝑠𝑒𝑛𝑤0 𝑡 Utilizamos las identidades de Euler para reescribir las exponenciales complejas en términos de sumas de funciones trigonométricas. En esta ecuación, es la primera vez que en electrónica vemos un seno o un coseno como una función del tiempo (una onda sinusoidal). (Observa cómo definimos 𝐴2 para incluir 𝑗(𝐾1 − 𝐾2 ) de tal forma que j no aparezca directamente en la propuesta de solución). Probar la propuesta de solución A continuación, verificamos nuestra propuesta de solución al sustituirla en la ecuación diferencial de segundo orden. Si podemos determinar valores para las constantes de tal forma que se satisfaga la ecuación, nuestra propuesta es una ganadora. Determinar las condiciones iniciales Las condiciones iniciales necesarias para un circuito de segundo orden son un poco más intrincadas que las de uno de primer orden. Cuando hicimos esto para circuitos de primer orden, RC o RL, teníamos que conocer un solo valor, una corriente inicial o un voltaje inicial. Con un circuito LC, que es de segundo orden, necesitamos conocer dos valores al momento en el que cierra el interruptor: la corriente y la derivada de la corriente.

Escribimos todo lo que sabemos al tiempo t=0- (el instante previo a que se cierre el interruptor): 

El interruptor está abierto, por lo que i(0-)=0



El voltaje inicial del capacitor esta dado: Vc (0-)= -V0

Si t=0+ es el instante posterior a que se cierra el interruptor, nuestro objetivo es encontrar 𝑖(0+ ) 𝑦

𝑑𝑖 𝑑𝑡

(0+ ).

Conocemos algunas propiedades de los inductores y los capacitores que nos permitirán ir de t=0- a t=0+. 

La corriente en un inductor no puede cambiar instantáneamente, por lo que 𝑖(0+ ) = 𝑖(0− ) = 0.



El voltaje de un capacitor no puede cambiar instantáneamente, por lo que 𝑣(0+ ) = 𝑣(0− ) = 𝑉0

(Después de que se cierra el interruptor solo hay un voltaje v, por lo que de ahora en adelante simplemente lo llamaremos v).

Ahora sabemos cuánto vale 𝑖(0+ ), pero todavía no conocemos

𝑑𝑖 𝑑𝑡

(0+ ). ¿Cómo

podemos obtener esta derivada? ¿Qué tal de la ecuación i-v del inductor?

Ahora tenemos nuestra segunda condición inicial. Esta establece que en el instante posterior al cierre del interruptor, la corriente en el inductor comienza a cambiar con una pendiente de

𝑉0 𝐿

amperes cada segundo.

Resumen de las condiciones iniciales

Usar las condiciones iniciales para encontrar A1 y A2. Utilizamos nuestras condiciones iniciales una a la vez para determinar las constantes. La primera condición inicial es i=0 en t=0+. Sustituyámosla en la solución propuesta y veamos a dónde nos lleva:

Por lo tanto, A1 es 0; así, el término coseno desaparece de la solución. Nuestra propuesta ahora se ve como:

Para determinar la constante A2, utilizamos la segunda condición. La derivada de i en t=0+ es:

Calculamos la derivada de la i(t) propuesta:

Al evaluar esta expresión en t=0, obtenemos

Podemos expresar 𝑤𝑜 en términos de L y C para obtener:

Y finalmente, después de un arduo trabajo duro, la solución para la corriente es:...