Modelo diferencial. Matriz Jacobiana PDF

Preview

Summary

Download Modelo diferencial. Matriz Jacobiana PDF

Description

Robótica “Modelo diferencial. Matriz Jacobiana” INGENIERÍA MECATRÓNICA

ALUMNO: ESCAMILLA LOSOYO JOSÉ DE JESÚS Grupo: 12:15 pm – 1:55 pm

PROFESOR: ING. CASILLAS ARAIZA MIGUEL ANGEL

FECHA DE ELABORACIÓN: 03/11/2020 FECHA DE ENTREGA: 04/11/2020 PERIODO:

AGOSTO - DICIEMBRE 2020

CALIFICACIÓN: _____________

8138

Contenido Introducción ........................................................................................................................................ 2 Jacobiana Analítica .............................................................................................................................. 3 Jacobiana Geométrica ......................................................................................................................... 4 Obtención numérica de la jacobiana geométrica ............................................................................... 6 Relación entre la Jacobiana analítica y la Jacobiana geométrica ........................................................ 8 Conclusiones ....................................................................................................................................... 9 Conclusiones personales ................................................................................................................. 9 Conclusiones técnicas ..................................................................................................................... 9 Referencias ........................................................................................................................................ 10

1

Introducción En este artículo, se presenta como obtener el modelo de la cinemática diferencial, matriz jacobiana, esto es conveniente ya que en la práctica se puede encontrar con diferentes modelos de robots que presentan en variables de estado y en función de las variables articulares de la cadena virtual. Menciona (Barrientos Cruz, 2007) “En general la matriz Jacobiana de un robot relaciona el vector de velocidades articulares (𝑞󰇗 1 , 𝑞󰇗 2 , 𝑞󰇗 𝑛 ) con otro vector de velocidades expresado en un espacio distinto. Existen diferentes posibilidades a la hora de seleccionar este espacio. Una primera elección es la de considerar la relación con las velocidades de la localización del extremo del robot, siendo ésta la posición y orientación expresada en base a sus coordenadas cartesianas y a sus ángulos de Euler (𝑥󰇗 , 𝑦󰇗 , 𝑧󰇗, 𝜙󰇗, 𝜃󰇗 , 𝜓󰇗 ). Esta relación viene dada por la denominada Jacobiana analítica del manipulador. Una segunda elección es relacionar las velocidades articulares, con los vectores de velocidad linear y angular (𝑣𝑥 , 𝑣𝑦 , 𝑣𝑧 , 𝑤𝑥 , 𝑤𝑦 , 𝑤𝑧 ) con que se mueve el extremo del robot, expresados en un sistema de referencia determinado, por ejemplo, el del origen. La relación entre ambas velocidades (articulares y linear-angular del extremo) se obtiene a través de la denominada matriz Jacobiana geométrica o simplemente Jacobiana del manipulador.” La matriz Jacobiana directa permite conocer una expresión de las velocidades del extremo del robot a partir de los valores de las velocidades de cada articulación. Por su parte, la matriz Jacobiana inversa permitirá conocer las velocidades articulares necesarias para obtener un vector concreto de velocidades del extremo.

2

Jacobiana Analítica

Menciona (Barrientos Cruz, 2007) “Supóngase conocida la posición (𝑥, 𝑦, 𝑧) del extremo del robot, así como su orientación, mediante ángulos de Euler (ɸ, 𝛹, Ɵ)”. La jacobiana analítica relaciona las velocidades articulares con las velocidades de orientación del extremo del robot (Imagen 1).

Imagen 1 Jacobiana analítica directa e inversa.

El método más directo para obtener esta relación consiste en diferenciar las ecuaciones correspondientes al modelo de cinemática directa, suponiendo que ya se conocen dichas ecuaciones:

Ecuación 1

Si derivamos respecto al tiempo:

Ecuación 2

En forma matricial: 3

Ecuación 3

Puesto que el valor de cada uno de los elementos de la jacobiana dependerá de los valores de las articulaciones, el valor de la jacobiana será diferente en cada uno de los puntos del espacio articular.

Jacobiana Geométrica Otra relación de interés es la que se establece entre las velocidades articulares y la velocidad lineal (𝒗) y angular (𝒘) del extremo del robot. Generalmente expresadas en {𝑆0 }.

Ecuación 4

4

Imagen 2 Jacobiana geométrica directa e inversa.

Esta relación se obtiene menos directa que la jacobiana analítica. Aunque puede ser obtenido de 𝑛 𝑜 𝑎 𝑝 ], que define manera directa a través de la matriz de transformación homogénea 𝑇 = [ 0 0 0 1 el modelo cinemático del robot.

La velocidad lineal del TCP en el sistema {𝑆0 }, vendrá dada por las derivadas respecto al tiempo de las coordenadas (𝑥, 𝑦, 𝑧):

Ecuación 5

Por tanto, la relación de la velocidad del extremo del robot con las velocidades articulares será la misma que la de (𝑥󰇗 , 𝑦󰇗 , 𝑧󰇗 ) definida en la jacobiana analítica de la ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. La cual puede ser obtenida del vector 𝒑 = (𝑝𝑥 , 𝑝𝑦 , 𝑝𝑧 ) de la matriz T.

Para obtener la relación de la velocidad angular (𝑤𝑥 , 𝑤𝑦 , 𝑤𝑧 ) con las velocidades articulares, se considerará la submatriz (3 x 3) de rotación 𝑹 = [𝒏 𝒐 𝒂] de la matriz de transformación homogénea del robot T. Siendo R una matriz ortonormal:

𝑅 ∗ 𝑅𝑇 = 𝐼 Ecuación 6

5

Derivando con respecto del tiempo:

𝑅′ ∗ 𝑅 𝑇 + 𝑅 ∗ 𝑅′𝑇 = 0 Ecuación 7

Se define la matriz Ω como:

𝛺 = 𝑅󰇗 ∗ 𝑅 𝑇 Ecuación 8

Siendo evidente que:

𝛺𝑇 = 𝑅 ∗ 𝑅󰇗 𝑇 Ecuación 9

Por lo tanto, se cumple que:

𝛺 + 𝛺𝑇 = 0 Ecuación 10

Lo que indica que Ω es una matriz antisimétrica. Podemos reescribir Ω como:

0 Ω = [ 𝑤𝑧 −𝑤𝑦

−𝑤𝑧 0 𝑤𝑥

Ecuación 11

𝑤𝑦 −𝑤𝑥 ] 0

Se obtendrá Ω a partir de R según la ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. Utilizando la ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia., para obtener los valores de w. Este procedimiento de obtención de la matriz Jacobiana a partir de la derivada analítica con respecto del tiempo no es válido para su implementación computacional.

Obtención numérica de la jacobiana geométrica

Ratifica (Barrientos Cruz, 2007) “Debe considerarse que puesto que las matrices 𝑖−1𝐴 𝑖 tienen, para un robot determinado, una expresión genérica función de 𝑞𝑖 (tomando 𝑖−1𝐴𝑖 un valor numérico concreto para un valor numérico de 𝑞𝑖) estos procedimientos pueden ser aplicados tanto de manera analítica, para obtener la expresión general de la Jacobiana, como numérica, para la obtención del valor instantáneo de la Jacobiana en una posición concreta del robot ”. Este método permite obtener las columnas de la matriz Jacobiana geométrica que relaciona las velocidades articulares con las velocidades lineales y angulares del extremo del robot

6

𝑧𝑖0 es el vector unitario orientado según el eje de la articulación 𝑖 + 1, definido en {𝑆0 }, (tal como se definió en las reglas DH3 y DH4 del algoritmo de Denavit- Hartenberg).

𝑖−1 𝑖−1 𝑖−1 𝒐𝑖 𝒂𝑖 𝒑 𝑖 ] contienen la información de los vectores 𝒏𝑖 0 0 0 1 directores y origen del sistema {𝑺𝑖 }, en la base {𝑺𝑖−1 }. Por tanto, la matriz 0𝑨 𝑖 = 0 0 0 0 𝒐𝑖 𝒂𝑖 𝒑 𝑖 ] contendrá la información de los vectores directores y origen del [ 𝒏𝑖 0 0 0 1 sistema {𝑺𝑖 }(solidario al eslabón 𝑖 y con su eje 𝑧𝑖 en el eje de la articulación 𝑖 + 1) en la base {𝑺0 }. De modo que 0zi estará definido por los tres primeros elementos de la tercera columna de 0𝑨𝑖 . (Al ser 0 𝑨0 la matriz identidad 0𝒛 0 será el vector (0,0,1) ).

Las matrices

𝑖−1

𝐴𝑖 = [

𝑖−1

0

𝒛𝑖 =

𝐴 0 (1: 3,3)

0

Ecuación 12

Donde la notación (𝑖 ∶ 𝑗, 𝑘) indica los elementos 𝑖 a 𝑗 de la columna 𝑘.

Se denominará 𝑖𝒑𝑛 al vector que va desde el origen del sistema {𝑺𝑖 } hasta el extremo del robot (origen del sistema {𝑺𝑛 }) expresado en el sistema de la base del robot {𝑺0 }.

Puesto que la cuarta columna de 0 𝑨𝑛 contiene las coordenadas del extremo del robot en el sistema {𝑺0 } y la cuarta columna del 0𝑨 𝑖 contiene las coordenadas del origen del sistema {𝑺𝑖 } en el sistema {{𝑺0 }. 𝑖 𝒑𝑛 se obtendrá restando las cuartas columnas de 0𝑨 𝑛 y 0𝑨 𝑖 : 𝑖

𝒑𝑛 =

𝑨 𝑛 (1: 3,4) −

0

Ecuación 13

𝑨𝑖 (1: 3,4)

0

Definidos los vectores 0𝒛𝑖 y 𝑖𝒑 𝑛 , la matriz Jacobiana que relaciona las velocidades articulares con las velocidades de traslación y rotación del extremo del robot expresadas en el sistema de coordenadas de la base (relación [Ecuación 4]) se puede obtener como una matriz 6 × 𝑛 (𝑛 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎𝑑 ) expresada por columnas como: 𝑱 = [ 𝑱1 ⎜ 𝑱2 ⎜ … … ⎜ 𝑱𝑛 ] Ecuación 14

Donde:

7

Relación entre la Jacobiana analítica y la Jacobiana geométrica Se va a presentar a continuación el modo en que están relacionados los dos conceptos presentados en los temas anteriores de la Jacobiana esto es, la matriz 𝑱𝑎 que relaciona las velocidades articulares con las velocidades de la localización del extremo del robot (𝑥󰇗 , 𝑦󰇗 , 𝑧󰇗 , 𝜙󰇗 , 𝜃󰇗 , 𝜓󰇗 ), y la matriz 𝑱 que relaciona las velocidades articulares con el vector de velocidad lineal y angular del extremo. La relación entre ambas viene dada por la expresión: 𝑱=[

𝑰 𝟎

𝟎 ].𝑱 𝑸 𝑎

Ecuación 15

Donde las matrices 𝑰 y 0 son la matriz identidad y nula de dimensión (3 𝑥 3) respectivamente, y la matriz 𝑸, viene definida por la expresión: 𝟎 𝑸 = [𝟎 𝟏

−𝑺𝝋 𝑪𝝋 𝑺𝝑 𝑪 𝝋 𝑺𝝋 𝑺𝝑 ] 𝟎 𝑪𝝑

Ecuación 16

Donde (𝜑, 𝜃, 𝜓) son los ángulos de Euler 𝑊𝑉𝑊 asociados a la submatriz de rotación 𝑹 = [𝒏 𝒐 𝒂] y que pueden ser obtenidos de ésta por comparación con la caja de rotación de la Expresión [3.73] que se reproduce aquí por comodidad:

Ecuación 17

En el caso de que se pretenda obtener la Jacobiana analítica 𝑱𝑎 a partir de la Jacobiana 𝑱 se invertirá la matriz que las relaciona, resultando 𝑰 𝑱=[ 𝟎

𝟎 ].𝑱 𝑸−𝟏 𝑎

Ecuación 18

Es preciso hacer la salvedad de que en el caso de que 𝜃 = 0 o 𝜃 = 𝜋 , resultan indeterminados los valores de 𝜑 y 𝜓 𝑦, por tanto, no es posible obtener la matriz 𝑸, no pudiéndose aplicar la relación anterior.

8

Conclusiones Conclusiones personales Este trabajo muestra un nuevo enfoque en el análisis de la cinemática de los robots manipuladores serie y paralelo, al utilizar, por un lado, sus modelos en variables de estado y, por el otro, en función de su cadena virtual. Esto último promete ser una herramienta novedosa para resolver manipuladores paralelos complejos, como el caso de robots manipuladores paralelos redundantes o híbridos. Queda como trabajo a futuro la propuesta de un esquema de control para el manipulador.

Conclusiones técnicas La matriz jacobiana que se obtiene del modelo en variables de estado para los dos manipuladores es diferente a la que se presenta en la literatura. Además, para el manipulador paralelo, los modelos actuales representan la cinemática diferencial de estos manipuladores con dos matrices, una para la cinemática diferencial directa y otra para la cinemática diferencial inversa.

9

Referencias Barrientos Cruz, A. (2007). Fundamentos de robtica (Segunda ed.). Madrid: McGrawHill/Interamericana. Obtenido de https://www.academia.edu/10479201/Fundamentos_de_robotica

10...