Módulo 4 - Resueltos PDF

Preview

Summary

Resueltos...

Description

MÓDULO # 4 Integral definida.

ANTIDIFERENCIACIÓN Antidiferencial por sustitución. Área e integral definida. Conceptos y propiedades. Teorema fundamental del cálculo. Área de región entre curvas.

Antiderivada.

La antiderivada de una función

f ( x ) es otra función g ( x ) cuya derivada es la

función f. La antiderivada de una función recibe el nombre de integral indefinida de la función. La antidiferenciación es el proceso inverso a la diferenciación. La antidiferenciación de una función es una familia de funciones, dos de las cuales difieren en una constante. La antiderivada más general de una función

f ( x ) se denota por:

x recibe el nombre de variable de integración,

∫ f (x ) dx

.

f ( x ) es el integrando y dx se llama

diferencial. Usaremos el término integral indefinida para referirnos a la antiderivada general y primitiva como sinónimo de antiderivada. Definición de la notación integral para las antiderivadas. La notación

∫ f ( x ) dx = F ( x ) +C . donde C es una constante arbitraria llamada constante de integración, significa que F es una primitiva de f . ' Esto es F ( x ) =f ( x )

para todo x en el dominio de f.

A partir de éste momento, se usará la capacidad analítica y deductiva para hallar las antiderivadas.

FÓRMULAS DE ANTIDIFERENCIACIÓN Primero hay que familiarizarse con éstas fórmulas para poder efectuar la antidiferenciación satisfactoriamente.

Ejemplo #1. Se usarán las fórmulas

∫

(1x +1x +1x ) dx 3

2

∫ ( 2 x2−5 x+3 ) dx

∫( x−3+ x−2+ x−1) dx 1 x−3+1 x−2+1 +∫ dx + ¿ x −3+1 −2+1

¿2

¿

x 2+ 1 x 1+1 −5 +3 x+C 2+1 1+1 2 5 ¿ x 3 − x 2 +3 x+C 3 2

x−2 x −1 + +ln|x|+C −2 −1 −1 1 ¿ 2 − +ln|x|+C 2x x

Ejemplo # 2.

Calcular

∫ ( senx+3 sec 2 x) dx

Para calcular ésta integral, usaremos las fórmulas 20.3, 20.11 y 20.17.

∫ (senx +3sec 2 x ) dx ¿ ∫ senx dx+3 ∫ sec2 dx ¿−cos x+3tgx +C .

NOTA: Si el integrando es un radical, se recomienda transformarlo a exponente fraccionario y usar la fórmula Calcular la siguiente integral. 3 ∫ 3√ t−t +t

(√

)

∫( t

)

7 6

¿

1 6

t

2

8

dt

−t 3 + t3 dt 5 3

11 3

6 7 3 5 3 11 t t t + C= t 6 − t 3 + t 3 +C − + 7 5 11 5 11 7 6 3 3

Si en el integrando también hay funciones trigonométricas se recomienda utilizar las identidades trigonométricas y un álgebra limpia para simplificarlas y transformarlas de modo que se pueda aplicar una de las fórmulas del libro. Ejemplo # 3.

Calcular la integral indefinida

(

(

3

∫ cos2 x+1 cos x

)

dx .

)

cos3 x+ 1 ∫ cos2 x dx cos 3 x 1 ∫ cos2 x + cos2 x dx ∫ cos xdx+∫ sec2 xdx ¿ senx + tgx + C .

PRÁCTICA.

Utilizando las fórmulas para integración indefinidas, calcule las siguientes integrales.

∫( 4 x2−7 x+1) dx ∫( 6 x +5 x ) dx 3 2

−2

∫(− x π +3 x √2 +3) dx ∫(sec xtgx +csc2 x ) dx x3 √ ∫ dx

√x 3

∫ 3√x ( √ x+1) dx ∫ ( y0 .99+ y1.01 ) dy ∫ (ex +cos x ) dx ∫ (cot φ+cscφcot φ) dφ ∫ (tgx −cot x ) dx

SOLUCIONES PARTICULARES. Hasta el momento hemos encontrado soluciones generales de las integrales, pero como

y=∫ f ( x ) dx

, puede tener muchas soluciones que se diferencian en la constante C.

Esto significa que la gráfica de dos primitivas cualesquiera de la función, son traslaciones verticales una de otra. Ejemplo. 3

x y=∫ ( x 2 +1) dx= + x +C 3

. Para varios valores de C, Cada una de estas primitivas es una

solución de la ecuación

y=

1-Si C = 0, entonces

x3 +x 3

2- Si C = 1, entonces

3

x y= + x+2 3

4-Si C = 2, entonces

y=

3-Si C = -1, entonces x y

-2 -4.7

5-Si C = -2, entonces

y=

x3 + x+1 3

x3 y= + x−2 3

x3 + x−1 3 -1 -1.3

0 0

1 1.3

2 4.7

x y

-2 -3.7

-1 -0.3

0 1

1 2.3

2 5.7

x y

-2 -5.7

-1 -2.3

0 -1

1 0.3

2 3.7

x y

-2 -2.7

-1 0.7

0 2

1 3.3

2 6.7

x y

-2 -6.7

-1 -3.3

0 -2

1 -0.7

2 2.7

Problema de práctica: Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial de 128 ft/seg. Considere que la única fuerza que actúa sobre la piedra es la debida a la gravedad. Determine: ¿Qué tan alto llega la piedra? ¿En qué tiempo llega la piedra al suelo? ¿Cuál es la rapidez de la piedra al llegar al suelo?.

En muchas aplicaciones de la integral se nos da suficiente información como para determinar una solución particular. A ésta información se le llama condición inicial.

La condición inicial se utiliza para encontrar el valor de la constante C, en un momento determinado. Ejemplo.

Encuentre la ecuación de la curva tal que

dy =2 x −1 dx

y que pasa por el punto (1 , 1 ).

Solución:

dy =2 x −1 dx dy=( 2x−1 )dx ∫ dy=∫ (2x−1 )dx y=x2 −x+C Como la curva pasa por el punto (1 , 1 ), se tiene:

y =x 2 − x +C 2 1= (1 ) −1+C C=1 2

Por lo tanto la ecuación que se pedía es y=x − x +1

−3

Problema de práctica: Encuentre la ecuación de la curva si se sabe que ' f (4 ) =2

y

f ( 0) =0 .

f ' ' ( x ) =x 2

,

INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN. Este es un método para integrar funciones y está basado en las funciones compuestas. TEOREMA. Integración de una función compuesta: Sean f y g dos funciones que satisfacen la regla de la cadena para la funcione compuesta

y=f (g ( x ) ) . Si F es una primitiva de f,

entonces:

∫ f ( g ( x ) ) g' ( x) dx= F ( g ( x ) ) +C . f (u ) du= F ( u )+C Si u =g(x), entonces du=g ( x ) dx y ∫ '

Para utilizar éste método, el estudiante debe ser observador y analítico para poder distinguir cual es la función que va a sustituir por u. Nota: para ésta selección se sugiere tomar a u como la función cuya derivada aparece en el integrando como el otro factor. Ejemplo # 1

∫ x 3 ( x4−1)

Calcule la integral indefinida

5

dx

Solución:

u=x 4 −1 du =4 x 3 dx du =dx 3 4 4 x u=x −1 Tomamos a y derivamos implícitamente. Hacemos la sustitución y usamos la fórmula 20.7 así: 6

∫ x 3 u5 4dux 3 =14 ∫ u5 du=41 ⋅u6

=

6 1 6 1 4 u = ( x −1 ) +C 24 24

. Ejemplo # 2 : Use el método de sustitución y calcule la integral indeterminada

∫ sen√ x√

x

dx

.

Seleccionamos

u= √ x

, derivando implícitamente tenemos:

u= √ x

,

entonces

1 du= dx 2√x 2 √ x du= dx

Hacemos la sustitución y usamos la fórmula 20.11

senu ∫ √ x 2 √ x du=2∫ senudu=−2cosu=−2cos √ x +C

Ejemplo # 3. Use el método de sustitución y evalué la integral Tomamos

u=ctgx

∫√ ctgx csc2 xdx

derivamos implícitamente:

u=ctgx du=−csc2 xdx Se hace la sustitución y se usa la fórmula 20.7 1 1

∫ √ ctgx csc 2 xdx=∫√ u (−du) =−∫ u 2 du=− Ejemplo # 4. Calcular

+1

2 23 2 2 3 u2 =− u 2 =− ( ctgx ) 3 =− √ ctg 2 x + C 3 3 1 3 +1 2

∫ senx ( ecos x)dx

u=cos x du=−senxdx −du =dx Tomamos senx Sustituimos y usamos la fórmula 20.9

−du

∫ senx (eu ) senx =−∫ e u du=−e u +C =− ecos x +C

PRÁCTOCA # 2

∫ x ( x2−1) dx 7

∫ 5 x√31+x2 dx ∫1

2

√ x ( 1+√ x )

dx

x3 ∫ 4 dx √ 1+x

∫ sen 2 xdx ∫ x cos x2 dx ∫ sen 2x cos2 xdx 2

csc x dx ∫ctg 3 x

∫ cos6 xdx ∫ csc2( x2 ) dx ∫ tg4 t sec2 tdt

DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA.

Si f está definida en un intervalo decimos que f es integrable en

[a ,b ]

[a ,b ]

y el límite de la suma de Riemann existe, entonces

y denotamos éste límite mediante: b

n

lim

∑ f (c i ) Δxi =∫ f ( x) dx

‖Δ‖→0i=1

a

Llamamos integral definida de f entre a y b a éste límite. El número a es el límite inferior y el número b es el límite superior de integración. Nota: Georg Friedrich Riemann fue el matemático que por los años 1826 – 1866, generalizó el concepto de la integral definida para poder incluir una clase de funciones más amplias.

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO. b

Si una función f es continua en el intervalo '

[ a,b]

donde F es cualquier función tal que F ( x )=f ( x )

, entonces

∫ f ( x ) dx= F ( b)−F (a ) a

para toda x en el intervalo

[a ,b ]

.

*Ésta fórmula se usará por el momento para calcular las integrales definidas y el área de regiones plana. 1

Ejemplo # 1: Evaluar la siguiente integral:

∫ ( x 2−2) dx −1

.

1

∫ ( x 2−2 ) dx −1

(

3

)

x3 (−1 ) 13 1 1 10 −2 x|= −2 ( 1 ) − −2 (−1) = −2+ −2=− 3 3 . 3 3 3 3

2

∫ x √ 4+x 2 dx 3

Ejemplo # 2: Evaluar

0

.

Ésta integral se hace por sustitución, donde u=4+ x

2

. Derivando implícitamente tenemos:

u=4+x 2 du =2 xdx du =dx 2x Hacemos las sustituciones y hacemos la integración, luego evaluamos. 2

∫ x √4+ x 2 dx 3

0

2

2

1 3

4

1 3

4 3 ∫ xu 2dux =∫ u2 du= 21 u4 =83 ( 4 + x 2 )3 |2 0 0 3

[

4

4 3 ( 4+22) 3 − (4+0 )3 8

=

[

]

]

4 4 3 3 3 3 ( 8 ) 3 −4 3 = [ √ 4096− √256 ] 8 8

3 ( 9. 65 ) 3 =3 . 619≈¿ = ( 16−6 .35 )= 8 8 ¿

π 4

∫ csc xctgxdx Ejemplo # 3. Evaluar la integral

π 12

.

Por la fórmula 20.24 tenemos: π 4

∫csc xctgxdx =−csc x|=−csc( 4 )− π

π 12

( ( )) −csc

π 12

=−√ 2+√ 6 +√ 2=√ 6 . .

f ( x )= (3−x ) √ x

Ejemplo # 4. Determine el área de la región acotada por la curva

.

Solución. Primero debo encontrar los ceros de la función que me darán los límites de integración. Igualando la función a cero tenemos:

(3−x ) √ x=0

√ x=0

3−x=0 x=3

, entonces

x=0

Los límites de integración son 0 y 3. 3

3

5

3

( ) ( ) 5

3 2 2 32 x2 Área=∫ (3−x ) √ x dx=∫3 x −x dx=3 x − |=2 32 − 3 5 5 0 0 2 2

=2 √ 3 ( 3−5 ) = 9

x y

0 0

0.25 1.4

1 2

3 2

12√ 3 ≈4 .157 u2 5 0.5 1.8

1 2

2 1.7

3 0

4 -2

Ejemplo de práctica. Determine el área de la región acotada por la curva

y=−x 2 +2 x+3

y e y = 0.

PRÁCTICA. Evaluar las siguientes integrales. 3

∫ 4 dx 0

3π 4

3

∫ x √9+x dx 2

∫ tgx dx π 4

−3

π 6

4

∫2x dx

∫ sec 2 xtg 2x dx 0

0

π 2

∫cos2 x dx π 4

2π 3

∫ senx cos x dx π 3

2- Calcular el área de la región acotada por la curva

y =x− x 2

. Graficar.

3- Calcular el área de la región acotada por la curva

y=1−x 4

. Haga la gráfica.

x

4- Calcular el área de la región acotada por la curva

y=cos 2

. Graficar.

Theta = cos inverso de x/2

“ Recibid la enseñanza, y no plata; ciencia antes que el oro escogido. Porque mejor es la sabiduría que las piedras preciosas; y todo cuanto se puede desear, no es de compararse con ella”....