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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS...

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Módulo de Resistência e Estabilidade SUMÁRIO Capítulo 1 – Introdução e Definições de Resistência dos Materiais 1.1. Definição de Resistência dos Materiais 1.2. Evolução Histórica 1.3. Princípio da Estática e do Equilíbrio das Forças 1.3.1. Forças Externas 1.3.1.1. Forças de Superfície 1.3.1.1.1. Cargas Concentradas ou Pontuais 1.3.1.1.2. Cargas Distribuídas Linearmente 1.3.1.1.3. Cargas Distribuídas por Área 1.3.1.2. Força de Corpo 1.3.2. Forças Internas ou Esforços Solicitantes 1.3.2.1. Esforços Normais 1.3.2.2. Esforços de flexão 1.3.2.3. Esforços de Cisalhamento 1.3.2.4. Esforços de Torção 1.3.3. Cargas Internas Resultantes 1.3.4. Equilíbrio das Forças

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Capítulo 2 – Momento Fletor e Força Cortante 2.1. Análise de Momento Fletor e Força Cortante em Vigas 2.2. Representação Gráfica 2.3. Vínculos das Estruturas 2.3.1. Vínculo Simples ou Móvel 2.3.2. Vínculo Duplo ou Fixo 2.3.3. Engastamento 2.4. Estruturas 2.4.1. Estruturas Hipoestáticas 2.4.2. Estruturas Isoestáticas 2.4.3. Estruturas Hiperestáticas 2.5. Tipos de Vigas 2.6. Momento Fletor 2.6.1. Exercícios Resolvidos 2.7. Diagrama de Momento Fletor (DMF) 2.8. Esforço Cortante 2.8.1. Exercícios Resolvidos 2.9. Diagrama de Esforço Cortante (DEC) 2.10. Cálculo do Momento Máximo e do Ponto de Aplicação 2.11. Exercícios Propostos

17 17 17 18 18 18 18 19 19 19 20 20 21 22 25 30 31 32 33 35

Capítulo 3 – Características Geométricas das Superfícies Planas 3.1. Centroides de Superfícies Planas 3.1.1. Tabela de Centro de Gravidade de Superfícies Planas 3.1.2. Exercícios Propostos 3.2. Momento de Inércia ou Momento de 2ª Ordem 3.2.1. Tabela de Momento de Inércia, Raio de Giração e Módulo de Resistência 3.2.2. Teorema dos Eixos Paralelos ou Teorema de Steiner 3.3. Raio de Giração 3.4. Módulo de Resistência 3.5. Exercícios Propostos

36 36 37 42 43 43

Capítulo 4 – Tensões Normais (tração e compressão) 4.1. Força Normal ou Axial

52 52

46 49 50 51

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Módulo de Resistência e Estabilidade 4.2. Tensão Normal 4.3. Lei de Hooke 4.4. Coeficiente de Segurança 4.4.1. Carga Estática ou Permanente 4.4.2. Carga Intermitente 4.4.3. Carga Alternada 4.5. Tensão Admissível 4.6. Exercícios Propostos

54 56 57 57 57 58 59 61

Capítulo 5 – Tensões de Flexão 5.1. Introdução 5.2. Flexão Pura 5.3. Flexão Simples 5.4. Tensões Normais na Flexão 5.5. Dimensionamento na Flexão 5.6. Exercícios Propostos

63 63 63 64 64 66 68

Capítulo 6 – Tensões de Cisalhamento Puro 6.1. Introdução 6.2. Força Cortante 6.3. Tensão de Cisalhamento 6.4. Exercícios Propostos

69 69 69 70 71

Referências

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Introdução e Definições de Resistência dos Materiais

1.1. DEFINIÇÃO DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS “Resistência dos Materiais é um ramo da mecânica que estuda as relações entre cargas externas aplicadas a um corpo deformável e a intensidade das forças internas que atuam dentro do corpo. Esse assunto abrange também o cálculo da deformação do corpo e o estudo da sua estabilidade, quando ele está submetido a forças externas.” (HIBBELER, 2010) No projeto de qualquer estrutura ou máquina é fundamental que sejam estudadas não somente as forças atuantes, mas também o comportamento do material diante das situações de carregamento. Essa conjuntura é essencial para a escolha do material mais adequado para uma determinada situação de projeto. As dimensões dos elementos, sua deflexão e sua estabilidade dependem não só das cargas internas como também do tipo de material do qual esses elementos são feitos.

1.2. EVOLUÇÃO HISTÓRICA A origem dos estudos em resistência dos materiais vem do século XVII, quando Galileu realizou as primeiras experiências em hastes e vigas de diferentes matérias, avaliando o efeito das cargas sobre os elementos e os seus respectivos comportamentos. Entretanto, para a compreensão adequada, foi necessário estabelecer

descrições

experimentais

mais

precisas

das

propriedades mecânicas de um material. Os métodos para tais descrições foram consideravelmente melhorados no início do século Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco

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Módulo de Resistência e Estabilidade XVIII. Naquela época, estudos sobre o assunto, tanto experimentais quanto teóricos, foram realizados principalmente na França por estudiosos renomados como Saint-Venant, Poisson, Lamer e Navier. Com o passar do tempo, a medida que problemas mais complexos foram surgindo e precisavam ser resolvidos, tornou-se necessário usar técnicas de matemática avançada e de computador. Hoje, os profissionais envolvidos no estudo das estruturas têm à sua disposição softwares capazes de simular inúmeras situações de projeto e fornecer dados precisos sobre o comportamento dos elementos estruturais.

1.3. PRINCÍPIO DA ESTÁTICA E DO EQUILÍBRIO DAS FORÇAS Como já foi dito, o estudo da resistência dos materiais envolve a determinação das forças atuantes sobre o corpo e o comportamento do material sobre o efeito do carregamento. O princípio da estática desempenha um papel relevante tanto no desenvolvimento como na aplicação da resistência dos materiais, logo é muito importante ter uma boa compreensão dos seus fundamentos.

1.3.1. FORÇAS EXTERNAS Um corpo qualquer pode ser submetido a várias forças externas, ou seja, sofrer ação de inúmeros agentes

externos.

Estas

forças

podem

assumir

características distintas, conforme a natureza de sua aplicação. Quanto aos tipos de forças externas, podemos classificálas como: 1) Forças de superfície: ocorrem quando há o contato direto de um corpo com a superfície do outro. Em todos os casos essas forças são distribuídas pela área de contato entre os dois corpos. 2) Força de corpo: ocorre quando um corpo exerce uma força sobre o outro sem contato físico direto entre eles. Um exemplo desta força é a gravidade, representada como uma única força concentrada chamada de peso do corpo, cuja resultante atua no centro de gravidade do corpo.

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Módulo de Resistência e Estabilidade 1.3.1.1. Forças de superfície As forças geradas pelo contato entre dois corpos são chamadas de forças de superfície. Logo, podemos avaliar o carregamento gerado por essa interação como sendo distribuído em toda a área de contato. Entretanto, em alguns casos esta área de interação ou contato é pequena em relação ao tamanho dos corpos e, por isso, podem ser consideradas pontuais ou lineares. Analisemos a seguinte situação: ao espetarmos um palito num pedaço de carne, todas as forças estão sendo distribuídas ao longo da área da ponta do palito, que é muito pequena em relação ao tamanho da carne. Logo, neste caso podemos considerar esta carga como sendo pontual. Em seguida vamos ver os tipos de carregamento gerados pelas forças de superfície.

1.3.1.1.1. Cargas concentradas ou pontuais As cargas pontuais, como o próprio nome sugere, exerce contato sobre uma área muito pequena e, por isso, pode ser considerada como pontual. Como exemplo, podemos destacar uma pessoa ou um móvel em cima de uma laje. A carga concentrada é representada por uma única seta ou vetor, que pode admitir sentidos e direções diferentes, conforme a orientação do carregamento. O vetor deve ser aplicado em cima do ponto onde ocorre o carregamento concentrado. Na figura abaixo temos o esquema de uma viga biapoiada sendo submetida a uma força concentrada “F”, localizada no meio do vão:

O carregamento é expresso em unidades de força, conforme a interação massa e aceleração da gravidade:

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Módulo de Resistência e Estabilidade As unidades mais comuns de representação destas forças são: N – Newton KN – Quilonewton Kgf – Quilograma força

1.3.1.1.2. Cargas distribuídas linearmente A carga pode se considerada linearmente distribuída quando a área de atuação sobre a superfície é estreita, formando uma espécie de “corredor”. A palavra “linear” significa relativo a linha ou algo que segue a direção de uma linha. Partindo desta definição, podemos dar como exemplo de carregamento linear o peso de uma parede sobre a laje ou sobre a viga:

O carregamento linearmente distribuído é representado pela sequência linear de setas ou vetores de força distribuídos ao longo da região de atuação. A unidade desta grandeza é dada em força por metro, conforme é mostrado na figura abaixo:

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Módulo de Resistência e Estabilidade Na figura, a viga com apoios A

e

B

está

sofrendo

carregamento

um

linearmente

distribuído de 10 KN/m, o que significa que em cada metro da viga atua um carregamento de 10 KN. Pode

ser

comumente

expresso,

ainda, em N/m e kgf/m. Na análise de todo carregamento distribuído é necessário que seja encontrada uma força resultante equivalente. No caso do carregamento linear, esta força é calculada multiplicando a carga pelo comprimento linear de atuação. O ponto de aplicação da força resultante está localizado na metade do comprimento de atuação. Abaixo, dois exemplos de cálculo da resultante: Cálculo da força resultante:

Região da aplicação da força:

Cálculo das forças resultantes:

Região de aplicação das forças:

As cargas distribuídas linearmente nem sempre são uniformes. Em alguns casos podem variar de intensidade ao longo da distribuição, apresentando um carregamento com formas geométricas triangulares ou trapezoidais. Nos carregamentos que variam de forma triangular, a força resultante equivale à área do triângulo e está posicionada a 1/3 da base, partindo do ângulo reto. Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco

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Nos carregamentos trapezoidais, a melhor força de encontrar as forças resultantes é dividindo a figura em duas outras formas geométricas conhecidas, como o triângulo e o retângulo. Desta forma, obteremos duas resultantes concentradas: uma equivalente à porção retangular e a outra à porção triangular.

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Módulo de Resistência e Estabilidade 1.3.1.1.3. Carga distribuída por área Foi visto anteriormente que toda força de superfície é distribuída por área, mas que em alguns casos estas áreas são muito pequenas ou estreitas, dando origem aos carregamentos lineares e pontuais. No carregamento distribuído por área, a região de contato é consideravelmente grande e, portanto, a área deve ser considerada na distribuição das forças. Esse tipo de carga é bastante encontrado nas situações que envolvem a engenharia e a mecânica, principalmente no carregamento sobre as lajes de uma construção. Assim como no linear, o carregamento distribuído por área também exige o cálculo de uma resultante que atua no centro da área de contato. Esta resultante é calculada quando multiplicamos o carregamento pela área:

1.3.1.2. Força de corpo A força de corpo, como foi visto anteriormente, não depende do contato entre duas superfícies. O exemplo mais evidente desta força é o peso de um corpo. Todo corpo possui uma massa e, portanto, sofrendo ação da gravidade, possui um peso que atua no seu centro de gravidade ou centroide. A força que atua no centroide do corpo é também chamada de resultante do peso e ela atua no centro do corpo, conforme a figura:

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Módulo de Resistência e Estabilidade Portanto, um corpo com massa igual a 80 kg, sofrendo a ação da gravidade g = 9,81 m/s², exerce uma força de 785 N (Newton), cuja resultante se encontra no seu centro de gravidade ou centro de massa.

1.3.2. FORÇAS INTERNAS OU ESFORÇOS SOLICITANTES A atuação de forças externas sobre um corpo gera em toda a sua estrutura ou secção forças internas. Portanto, solicitação é todo esforço ou conjunto de esforços que, devido às ações externas, atuam sobre uma ou mais secções de um elemento da estrutura. A seguir serão apresentados os tipos de esforços solicitantes e mais adiante cada um será estudado de forma detalhada.

1.3.2.1. Esforços normais Os esforços normais são assim chamados, pois atuam perpendicular à superfície da secção da peça. Em outras palavras, a resultante desta força forma um ângulo de 90º com a superfície.

Existem dois tipos de esforços normais e estes são muito importantes no estudo da resistência dos materiais. São eles os esforços de compressão e tração. Ambos atuam perpendiculares à superfície da secção, porém se diferenciam pelo sentido da força.

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Módulo de Resistência e Estabilidade Os esforços de compressão ocorrem quando há duas forças na mesma direção empurrando ou comprimindo em sentidos opostos.

Os esforços de tração ocorrem quando há duas forças na mesma direção puxando em sentidos opostos.

1.3.2.2. Esforços de flexão A flexão é um esforço onde a deformação ocorre perpendicularmente ao eixo do corpo. Observe as duas figuras a seguir: a da esquerda mostra um corpo apoiado em suas duas extremidades e da direta mostra um corpo preso de um lado, com a extremidade oposta livre. Os dois corpos estão sofrendo a ação de uma força F, que age na direção perpendicular ao eixo dos corpos.

A força F leva uma região dos corpos a se contrair, devido à compressão, enquanto que a outra região se alonga, devido à tração. Entre a região que se contrai e a que se alonga fica uma linha que mantém sua dimensão inalterada - a chamada linha neutra. Em materiais homogêneos, costuma-se considerar que a linha neutra fica a igual distância das superfícies externas inferiores e superiores do corpo.

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Quando esta força provoca somente uma deformação elástica no material, ou seja, quando interrompido o carregamento retorna ao seu estado original, dizemos que se trata de um esforço de flexão. Quando produz uma deformação plástica, temos um esforço de dobramento, isso por que o material não retorna ao estado original e permanece deformado mesmo que o carregamento não exista mais.

1.3.2.3 Esforço de cisalhamento No esforço de cisalhamento as forças atuantes tendem a produzir um efeito de corte, ou seja, um deslocamento linear entre seções transversais. Também conhecido como esforço cortante, o cisalhamento acontece quando temos um carregamento agindo em um sentido em uma face do elemento, e outro carregamento agindo em sentido contrário na face oposta. Para que o esforço tenha efeito de corte, as forças devem agir perpendicularmente ao eixo do elemento.

Podemos concluir, então, que uma mesma força agindo perpendicularmente ao eixo transversal do corpo pode gerar cisalhamento e flexão, cisalhamento puro ou flexão pura.

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Módulo de Resistência e Estabilidade 1.3.2.4. Esforço de torção A torção é diferente da compressão, da tração e do cisalhamento porque nestes casos o esforço é aplicado no sentido longitudinal ou transversal do elemento e na torção o esforço é aplicado no sentido de rotação. Para melhor exemplificar este esforço, pense num

corpo

cilíndrico,

preso

por

uma

de

suas

extremidades. Imagine que este corpo passe a sofrer a ação de uma força no sentido de rotação, aplicada na extremidade solta do corpo, conforme a ilustração ao lado. O corpo tenderá a girar no sentido da força e, como a outra extremidade está engastada, ele sofrerá uma torção sobre seu próprio eixo. Se certo limite de torção for ultrapassado, o corpo se romperá. Obviamente, a torção não é gerada apenas na situação descrita acima. Basta que haja dos movimentos de rotação sobre o eixo da peça em sentidos opostos.

1.3.3. CARGAS INTERNAS RESULTANTES As cargas internas representadas pelos esforços solicitantes apresentados anteriormente atuam de forma desordenada, em diferentes direções e sentidos numa seção do elemento. A figura (a) mostra um elemento qualquer sofrendo ação de forças externas representadas por quatro vetores. Se fizermos um corte no elemento, revelando a sua seção, teremos uma série de forças internas atuando desordenadamente, em direção e sentido distintos, conforme a figura (b). O estudo das cargas internas só é possível a partir da determinação de suas resultantes, que possuem direção e sentido vetoriais conhecidos. Cada esforço solicitante tem a sua carga interna resultante definida e é conhecendo o valor desta grandeza e de que forma a mesma atua no elemento que torna possível estudar a sua resistência. Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco

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Módulo de Resistência e Estabilidade As cargas internas resultantes são assim representadas: a) Força normal (N): essa força é perpendicular à seção. É criada sempre que as forças externas tendem a comprimir ou tracionar as duas partes do corpo. b) Força cortante (V ou Q): localiza-se no plano da seção e é criada quando as cargas externas tendem a provocar o deslizamento ou corte das duas partes do corpo, uma sobre a outra. c) Momento de torção ou torque (T): essa força é criada quando as forças externas provocam um giro em relação ao eixo do elemento, tendendo a torcer o mesmo. d) Momento fletor (M): é provocada pelas cargas externas que tendem a fletir ou flexionar o corpo em relação ao eixo localizado no plano da seção. A figura abaixo mostra, de forma geral, o comportamento dessas resultantes em relação ao plano da seção do elemento:

1.3.4. EQUILÍBRIO DAS FORÇAS Um corpo está em equilíbrio quando o somatório de todas as forças atuantes sobre ele é zero, evitando que o mesmo desenvolva movimento acelerado. Além do equilíbrio das forças, é necessário também o equilíbrio dos momentos. Isto significa que em qualquer ponto do corpo o somatório dos momentos é zero, impedindo neste caso a rotação. Tanto os vetores força quanto os momentos podem apresentar diferentes direções e sentidos de atuação numa estrutura. Sendo assim, no plano cartesiano podemos ter forças na direção do eixo x e forças na direção y, assim como momentos em ambas as direções também. Para os casos de figuras tridimensionais, tem-se o acréscimo de mais um plano, o “z”. Entretanto, para o estudo dessa disciplina só iremos considerar os corpos no plano xy. Têm-se, então, como equações de equilíbrio no plano os seguintes somatórios:

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Os somatórios de e são, respectivamente, a soma de todas as forças horizontais e verticais atuantes no corpo. O somatório de é a soma dos momentos em um ponto qualquer “o” onde o valor é zero. É importante frisar que o somatório de momento deve ser aplicado num ponto onde este valor é zero, uma vez que ao longo do corpo o valor do momento varia em valores diferentes de zero.

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Momento Fletor e Força Cortante

2.1. ANÁLISE DE MOMENTO FLETOR E FORÇA CORTANTE EM VIGAS O momento fletor e a força cortante são esforços presentes em diversos tipos de estrutura, seja ele uma viga, um pilar, uma laje ou até mesmo um reservatório. Para estudarmos os conceitos do comportamento dessas forças numa estrutura, iremos considerar a atuação...