Moment Angular 2 apunts de tardes de les classes online PDF

Preview

Summary

Classe de moment angular de les classes de tardes en epoca de pandemia ben fets en latex i molt utils per estudiar de cara alnfinal,...

Description

Moment Angular: (2) Per recordar: Els estats propis de Jz i de J 2 s´on |jmi i s’agrupen en fam´ılies; cada fam´ılia s’etiqueta amb j, el valor m`axim de m de la tercera component Jz . j est`a quantitzat: sols s´on possibles valors j = n/2, on n = 0, 1, 2, ... ´es enter i posi ti u: 3 1 j = 0, , 1, , 2, .... 2 2 Donat j, el valor propi de J 2 es j(j + 1), J 2 |jmi = ~2 j(j + 1)|jmi; i hi ha (2j + 1) valors possibles de m (tercera component Jz ): (mmin) = j < j + 1 < ... < m  1 < m < m + 1 < ... < j  1 < (mmax ) = j. Donat j, els (2j + 1) vectors, |j, ji, |j, j + 1i, ..., |j, m  1i, |j, mi, |j, m + 1i, ..., |j, j  1i, |j, j i, s´on una base d’un espai de Hilbert Hj , de dimensi´o: dim(Hj ) = 2j + 1. Questionari: 7 * Quants estats hi ha amb j = 7/2 ? N’hi ha 2 ⇥ + 1 = 8, correponents a, 2 7 5 3 1 1 3 5 7 m =  , , , ,+ ,+ ,+ ,+ . | 2 2 2 2{z 2 2 2 2} 8 * Quants estats hi ha amb j = 7 ? N’hi ha 2 ⇥ 7 + 1 = 15, correponents a, m = 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 . | {z } 15 Operadors esgla´ o: L’acci´o dels operadors J± = Jx ± iJy ´es, p J± |jmi = ~ j(j + 1)  m(m ± 1) |jm ± 1i.

sense sortir mai de Hj .

Les matrius J~ dins un H| . S´on matrius (2j + 1) ⇥ (2j + 1), que s’obtenen a partir de l’acci´o dels operadors J± , tenint en compte que J+ = (J− )† i que, J+ + J− J+  J− Jx = ; , Jy = 2i 2 els estats |jmi ja s´on propis de Jz i de J 2 .

1

EXEMPLES: Cas j = 0 Nom´es hi ha un vector |j = 0, m = 0i (poc divertit). Cas j = 1/2 (s = 1/2 pel spin de l’electr´o). ◆ ✓ 3 1 1 1 2 + 1 = . dim (H1/2 ) = 2 + 1 = 2. Els dos El valor de J ´es j(j + 1) = 2 4 2 2 aquest ordre), 1 1 1 1 |j = , m = + i, |j = , m =  i. 2 2 2 2 Les matrius J 2 i Jz s´on diagonals en aquesta base: 0 1 3 0 C 3~2 ✓ 1 0 ◆ 3~2 B J 2 = ~2 @ 4 3 A = I, = 0 1 4 4 0 4 0 1 1 ◆ ✓ ~ B 2 0 C ~ 1 0 Jz = ~ @ = z . 1 A=2 0 1 2 0  2 Pel que fa J− , vegem com actua sobre tots els elements de la base: s ✓ ◆ ✓ ◆ 1 1 1 1 1 1 1 1 +1   1 |j = , m =  i = ~ |j = J− |j = , m = + i = ~ 2 2 2 2 2 2 2 2

vectors s´on (per

1 1 , m =  i, 2 2

1 1 J− |j = , m =  i = 0. 2 2 La matriu que li correpon ´es, J− = ~ Finament,

✓

0 0 1 0

◆

†

, J+ = (J− ) = ~

✓ ~ 0 J+ + J− Jx = = 1 2 2 ✓ J+  J− ~ 0 Jy = = i 2 2i

1 0 i 0

◆

✓

=

◆

=

0 1 0 0

◆

.

~ x , 2 ~ y . 2

~ ~ = ~ , proporcionals a les matrius de Pauli. Resumint: tenim tres matrius 2 ⇥ 2, S 2 A comen¸cament de curs usavem la notaci´o, 1 1 | , + i ⌘ |+i, 2 2

1 1 | ,  i ⌘ |i. 2 2

Pregunta: Creieu que amb aquest resultat hem demostrat que l’electr´o te spin 1/2?

2

Cas j = 1 El valor de J 2 es j(j + 1) = 1(1 + 1) = 2. dim (H1 ) = 2 ⇥ 1 + 1 = 3. Els tres vectors s´ on (per aquest ordre), |j = 1, m = +1i, |j = 1, m = 0i, |j = 1, m = 1i.

Les matrius J 2 i Jz s´on diagonals:

1 2 0 0 J 2 = ~2 @ 0 2 0 A = 2~2 I, 0 0 2 0 1 +1 0 0 Jz = ~ @ 0 0 0 A . 0 0 1 0

Per J− , J− |j = 1, m = +1i = ~

J− |j = 1, m = 0i = ~

p

p

p 1(1 + 1)  1(1  1) |j = 1, m = 0i = ~ 2 |j = 1, m = 0i,

p 1(1 + 1)  0(0  1) |j = 1, m = 1i = ~ 2 |j = 1, m = 1i, J− |j = 1, m = 1i = 0.

Les matrius corresponents, 0 J−

i

1 0 0 p0 = ~ @ 2 p0 0 A , 0 2 0

0 † @ J + = (J− ) = ~ 0 0

1 0 1 0 1 J+ + J− = ~ p @ 1 0 1 A, Jx = 2 2 0 1 0 0

0

Jy =

J+  J− 2i

p

1 2 0 p 0 2 A, 0 0 0

1 0 i 0 1 = ~ p @ i 0 i A . 2 0 i 0

Comentari: Les part´ıcules de spin 1 deixen tres zones d’impactes en un experiment SternGerlach. Les matrius que aqu´ı s’han trobat son la generalitzaci´o de les matrius de Pauli per aquest cas.

3

Cas j = 3/2, dimensi´o=4

(Feu-lo com exercici).

J 2 = ~2 0

B B B B B Jx = ~ B B B B @

p

3 2

0

0

1

0

1

0

0

0 p 3 2

0 p 3 2

1

0 C C C 0 C p C C, 3 C C 2 C A 0

15 I. 4 0

B 0 B p B 3 B i B Jy = ~ B 2 B B 0 B @ 0

0 3 B 2 B B 0 Jz = ~ B B B 0 B @ 0

0 0 0 1 0 0 2 1 0 0  2 3 0 0  2

p

3 i  2

1

0 i 0

0

0

1

C C C C i 0 C p C, 3 C C i 0  C 2 p A 3 i 0 2

C C C C. C C C A

• Noteu que trobem matrius que satisfan les regles de commutaci´o, de totes les dimensions (d⇥d), d = 0, 1, 2, 3, 4, ....

Comentari: El fot´o (particula de llum) es una part´ıcula sense massa mγ = 0 i te spin s = 1. El fet d’anar sempre a la velocitat de la llum fa que un tractament relativista sigui necessari. Els valors possibles per la tercera component ara ja no son tres. En comptes de Jz es considera l’observable ~ helicitat h, que ´es la component del spin projectat sobre la direcci´o de propagaci´o ~k, h = kˆ · S. Nom´es s´on possibles h = +1, h = 1 (fotons transversos), mentre que h = 0 (fot´o longitudinal) no existeix. En una ona electromagn`etica monocrom`atica aix`o es tradueix en que e´s transversa amb dues polaritzacions circulars independents R, L. Aquest resultat es general. Per part´ıcules sense massa i spin s, nom´es s´ on possibles dos valors d’helicitat, els extrems h = +s i h = s (els (2s  1) restants no hi son). En el cas del gravit´o (part´ıcula de gravetat), el spin ´es s = 2 i te dos estats d’helicitat h = +2 , h = 2 (els estats intermitjos h = 1, h = 0, h = 1 no hi s´on). Aix`o es degut a que no podem posar en fot´o o el gravit´o en rep`os en un sistema de refer`encia inercial. Quan les part´ıcules s´on massives sempre podem anar al sistema (inercial) on la part´ıcula est`a en rep`os, i la classificaci´o del moment angular surt la mateixa que a la MQ no relativista. Per part´ıcules sense massa aix`o no ´es possible, sin´o que viatjen a la velocitat de la llum a totsels sistemes inercials. Donada una direcci´o de propagaci´o el grup de simetria no e´s el de totes les rotacions, sin´o u ´ nicament les rotacions entorn d’aquesta direcci´o. 4

MOMENT ANGULAR ORBITAL: REPRESENTACIO´ DE POSICIONS. Els operadors s’anomenen Lx , Ly , Lz que actuen sobre funcions (x, y, z) de quadrat integrable, ✓ ◆ ✓ ◆ ✓ ◆ @ @ @ @ Lz = XPy  Y Px = x i~  y i ~ = i~ x , etc. y @y @x @x @y En satisfer les regles de commutaci´o de moment angular, el seu espectre s’ha de poder encabir dins del conjunt de les fam´ılies permeses. Com?

En coordenades esf`eriques (r, ✓, '), Lz = i~

@ ; @'

els altres operadors tamb´e adopten expressions que nom´ s involucen els angles ✓, ', per` o no pas 2 la coordenada radial r. Tambe L . [Podeu trobar les expressions a [Basdevant et Dalibard], pag. 197]. Les funcions que s´on pr`opies de L2 i Lz son Els harm` onics esf` erics Ylm(✓, ') s´on les funcions que pr`opies de L2 i Lz (el valor m` a xim de la tercera component Lz s’anomena l quan es tracta del moment angular orbital). Nom´ es s´ on permesos valors ENTERS de l, l = 0, 1, 2, 3, 4, ..... Vegem-ho: • Tota la depend`encia de de Yl m(✓, ') en l’angle ' est`a continguda en l’exponencial imagin`aria Yl m(✓, ') / eimϕ • Cal que les funcions d’ona siguin univaluades, Yl m(✓, ' + 2⇡) = Yl m(✓, '), cosa que implica eim(ϕ+2π) = eimϕ , ´es a dir ei2πm = 1. Aix`o mostra que les m’s han de ser enteres totes, en particular el valor maxim mmax = l. • De tots els valors (matem` aticament) permesos j = n/2, el moment angular orbital nom´ es admet els valors n = parell, ´es a dir l = 0, 1, 2, 3... (i no pas 1/2, ni 7/2, etc).

5

Comentari: Les harm`onics esfˆerics formen una base de la depend`encia angular, en el sentit que qualsevol funcio (suficientment regular) es pot escriure com, ! +l ∞ X X m (x, y, z) = (r, ✓, ') = Rlm (r)Y l (✓, ') ; l=0

m=−l

que ´es la descomposici´ o en ones parcials. La depend`encia angular ve controlada pels harm`onics esf`erics. Donar la funci´o ´es donar l es Rlm (r) que s´on funcions nom´es de r: 0 B B B B B B B B B B B B B B B B B B @

Rl=0,m=0 (r) Rl=1,m=+1 (r) R1,0 (r) R1,−1 (r) Rl=2,m=+2 (r) R2,+1(r) R2,0 (r) R2,−1 (r) R2,−2 (r) . . .

1

C C C C C C C C C C. C C C C C C C C A

En aquest sentit es diu que l’espai de Hilbert de les funcions de quadrat integrable descomposa en suma directa de fam´ılies irreductibles H(C 2 ) = Hl=0  Hl=1  Hl=2  .... (totes les l’s hi poden participar).

6...