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MOVIMIENTO CURVILINEO

Movimiento curvilíneo => Una partícula o cuerpo ejecuta un movimiento curvilíneo, cuando dicha partícula describe una línea que no es recta. Supongamos que el movimiento curvilíneo tiene lugar en el plano XY, situamos un origen, y unos ejes, y representamos la trayectoria del móvil, es decir, el conjunto de puntos por los que pasa el móvil. Las magnitudes que describen un movimiento curvilíneo son:   

Vector de posición. Vector velocidad. Vector aceleración.

Vector posición r en un instante t

Como la posición del móvil cambia con el tiempo. En el instante t el móvil se encuentra en el punto P, o en otras palabras, su vector posición es punto P', su posición viene dada por el vector r'.

y en el instante t' se encuentra en el

Diremos que el móvil se ha desplazado en el intervalo de tiempo Dicho vector tiene la dirección de la secante que une los puntos P y P'.

Vector velocidad El vector velocidad media, se define como el cociente entre el vector desplazamiento Ar entre el tiempo que ha empleado en desplazarse .

El vector velocidad media tiene la misma dirección que el vector desplazamiento, es decir ,la secante que une los puntos P y P' de la figura. El vector velocidad en un instante, es el límite del vector velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.

Como podemos ver en la figura, a medida que hacemos tender el intervalo de tiempo a cero, la dirección del vector velocidad media, la recta secante que une sucesivamente los puntos P, con los puntos

,

, tiende hacia la tangente a la trayectoria en el punto P.

En el instante t, el móvil se encuentra en P y tiene una velocidad v cuya dirección es tangente a la trayectoria en dicho punto.

Vector aceleración En el instante t el móvil se encuentra en P y tiene una velocidad v cuya dirección es tangente a la trayectoria en dicho punto. En el instante t' el móvil se encuentra en el punto P' y tiene una velocidad v'.

El móvil ha cambiado, en general, su velocidad tanto en módulo como en dirección, en la cantidad dada por el vector diferencia . Se define la aceleración media como el cociente entre el vector cambio de velocidad y el intervalo de tiempo , en el que tiene lugar dicho cambio.

Y la aceleración a en un instante

Resumiendo, las ecuaciones del movimiento curvilíneo en el plano XY son

La primera fila corresponde, a las ecuaciones de un movimiento rectilíneo a lo largo del eje X, la segunda fila corresponde, a las ecuaciones de un movimiento rectilíneo a lo largo del eje Y, y lo mismo podemos decir respecto del eje Z. Por tanto, podemos considerar un movimiento curvilíneo como la composición de movimientos rectilíneos a lo largo de los ejes coordenados.

Componentes tangencial y normal de la aceleración Vamos a determinar las componentes tangencial y normal de la aceleración en un determinado instante en un problema de geometría, tal como se ve en la figura.

1. Se dibujan los ejes horizontal X y vertical Y.

2. Se calculan las componentes rectangulares de la velocidad y de la aceleración en dicho instante. Se representan los vectores velocidad y aceleración en dicho sistema de referencia. 3. Se dibujan los nuevos ejes, la dirección tangencial es la misma que la dirección de la velocidad, la dirección normal es perpendicular a la dirección tangencial. 4. Con la regla y el cartabón se proyecta el vector aceleración sobre la dirección tangencial y sobre la dirección normal. 5. Se determina el ángulo entre el vector velocidad y el vector aceleración, y se calcula el valor numérico de dichas componentes:

1.- Un automóvil describe una curva plana tal que sus coordenadas rectangulares, en función del tiempo están dadas por las expresiones: x=2t3-3t2, y=t2-2t+1 Calcular: a) Las componentes de la velocidad en cualquier instante de tiempo t. vx = dx/dt=6t2-6t m/s vy = dy/dt=2t-2 m/s b) Las componentes de la aceleración en cualquier instante. ax=dvx/dt=12t-6 m/s2 ay=dvy/dt=2 m/s2

2.- Las coordenadas de un buque que se mueve en las proximidades de un puerto son x = t3–30t2+280t, y=t 2 –10t+600, donde tanto x como y resultan en m y t se da en s. Determine la posición, velocidad y aceleración del buque cuando t=10 s. x = t3–30t2+280t

y=t 2 –10t+600

vx = 3t2–60t+280

vy= 2t-10

ax = 6t-60

a y= 2

Para t=10

x = 1000–3000+2800= 800

y=100 –100+600=600

vx = 300–600+280

vy= 20-10=10

ax = 60-60= 0

a y= 2

2 2 r= √ 800 + 600

� = 800� + 600� � = 1000 m

600 800

∝ =36.9°

v =√ 20 2+ 10 2

� = −20� + 10j

� = 22.4 m ⁄s � = 2 j

tan ∝=

tan β=

10 20

β=¿ 26.5°

� = 2 m /s2

3.- El movimiento curvilíneo de una 2 partícula se puede definir mediante las expresiones y = 25 – t con una vx = 22 – 8t, donde y está en in, vx en in/s y t en s. Se sabe que cuando t = 0, x = 0. Determine cuáles son la velocidad y la aceleración de la partícula cuando y = 0 y dibuje su trayectoria. Vx = dx / dt

22 – 8t =

dx / dt

t

x

0

0

∫ ( 22 – 8 t ) dt=∫ dx

x =22 t–4t2

y= 25- t2

vx = 22–8t

vy= -2t

ax =-8

ay =-2

Igualando y con 0

0 = 25- t2 , t = 5 s Para t=5 �� = −18 , = −10

�� = −8 ,

∝ = 29.1°

� = 20.6 in / s

� = 8.25 in/ s2

�� = −2

Para dibujar la gráfica, tabularemos x, y:

t x y

0 0 25

1 18 24

2 28 21

3 30 16

4 20 9

5 10 0

∝=¿

14°

4.-Un esquiador baja deslizando por el plano inclinado de 30º alcanzando al final del mismo una velocidad de 10 m/s. A continuación, cae siendo arrastrado por un viento en contra que causa la aceleración horizontal indicada en la figura. A que distancia choca con el suelo? Con qué velocidad llega a ese punto? Vox= vcosθ

voy = vsenθ

Vox= 10cos 30

voy = 10sen30

v= dx / dt Ecuaciones del movimiento:

ax=−0.5 m/s2

ay=−9.81 m/s 2

ax= dvx / dt

ay= dvy / dt

dvx= ax dt

dvy = ay dt

vx

t

vy

t

vox

0

voy

0

∫ dvx =∫ −0.5 dt ∫ dvy=∫ −9.81 dt vx= 10cos30+(−0.5)t

vy =−10sin30+(−9.8)t

vx= dx / dt

vy= dy / dt

dx= vx dt

dy= vy dt

x

t

y

t

0

0

200

0

a= dv / dt

∫ dx=∫(10 cos 30−0.5 t)dt ∫ dy=∫ (−10 sin 30−9.8 t)dt

dx = vdt

x=10cos30t+0.5 (−0.5)t2

y=200−10sin30t+0.5(−9.8)t2

Punto de impacto, cuando llega al suelo, y=0

−b ±√ b 2−4 ac −(−5)± √(5) −4 (−4.905)(200 ) t= 2a 2(4.905) 2

t=

t=6.90 s. x=47.85 m

Velocidad cuando llega al suelo: vx=5.21 m/s, vy=-72.68 m/s...