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MOVIMIENTO ONDULATORIO.  Ondas, Definición y Características.  Tipos de Onda: o Mecánicas y Electromagnéticas. o Longitudinales y Transversales. o Viajeras y Estacionarias.  Ecuación de la onda.  Ondas en cuerdas.  Propagación de energía en la onda.  Fenómenos ondulatorios: o Superposición de ...

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MOVIMIENTO ONDULATORIO.  Ondas, Definición y Características.  Tipos de Onda: o Mecánicas y Electromagnéticas. o Longitudinales y Transversales. o Viajeras y Estacionarias.

 Ecuación de la onda.  Ondas en cuerdas.  Propagación de energía en la onda.  Fenómenos ondulatorios: o Superposición de ondas. o Reflexión de ondas.

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MOVIMIENTO ONDULATORIO. DEFINICIÓN: Una ONDA es la propagación de una perturbación , sin que se realice transporte de materia.

REQUISITOS PARA LA EXISTENCIA DE UNA ONDA: 1.- Una fuente de la perturbación. 2.- Un medio de propagación. 3.- Conexión (interacción) entre las partículas del medio. TIPOS DE ONDAS. Las ondas se clasifican de acuerdo a:  Las características de la fuente de la perturbación: Mecánicas. Electromagnéticas.  El movimiento de las partículas del medio: Longitudinales.

(Las partículas oscilan en la misma dirección de la propagación de la perturbación)

Transversales.

(Las partículas oscilan perpendicularmente a la dirección de la propagación de la perturbación)

 El transporte (neto) de energía: Viajeras. Estacionarias.

(Si hay transporte (neto) de energía) (No hay transporte (neto) de energía)

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Tres características físicas son importantes en la descripción de las ondas:  La longitud de onda.  la frecuencia  la velocidad de la onda. La longitud de onda es la distancia mínima entre dos partículas del medio que oscilan idénticamente. La frecuencia es la tasa en el tiempo a la cual la perturbación se repite a si misma. La velocidad de la onda es la velocidad de propagación de la perturbación y depende de las propiedades del medio perturbado. ECUACION DE LA ONDA. Daremos ahora una descripción matemática de una onda viajera unidimensional. Si se tiene una onda que se mueve a lo largo del eje x , entonces el desplazamiento transversal de la onda se mide con la coordenada y . La ecuación de esta onda nos queda como una función del tiempo y de x : y  f ( x, t ) ó y( x, t )

Si la forma del pulso de onda no cambia con el tiempo, podemos representar el desplazamiento y de la onda para todos los tiempos posteriores medidos en un marco de referencia estacionario con el origen en O la ecuación de esta onda que viaja a la derecha quedaría como: y  f ( x  vt). Si el pulso de onda viaja hacia la izquierda, la ecuación del desplazamiento quedaría como: y  f ( x  vt)

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Es importante entender el significado de “ y ”. Considere un punto particular P sobre la cuerda, identificado por un valor particular de sus coordenadas. A medida que la onda pasa por P , la coordenada y de ese punto aumenta, alcanza un máximo y luego disminuye a cero. En consecuencia la función de onda y representa la coordenada y de cualquier punto del medio P en cualquier tiempo t . Además, si t es fijo, entonces la función de onda y como una función de x define una curva que representa la forma del pulso en ese tiempo. Esta curva es equivalente a una instantánea de la onda en ese tiempo. y = f(x - vt)

Este nos da la misma forma de la onda en el punto x  vt al tiempo t que la que tenía en el punto x  0 al tiempo t  0 .

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ONDAS SENOIDALES. Hablaremos ahora de una importante forma de onda conocida como una onda senoidal, en esta onda el desplazamiento vertical en t  0 puede escribirse como:

y  ASen2 /  x

y  ASen2 /  x  vt 

Si la onda se mueve hacia la derecha con velocidad v , la función de onda cierto tiempo después es: Donde la velocidad se puede expresar como v   / T y la ecuación ahora queda:

y  ASen2 x /   t / T 

Esto significa que en cualquier tiempo dado “ y ” tiene el mismo valor en las posiciones x ,  x    , x  2  , etc. Y en cualquier posición x , el valor de “ y ” es el mismo en los tiempos t , t  T  , t  2T  . Se puede expresar la función de onda definiendo otras dos cantidades conocidas como el número de onda angular k y la frecuencia angular  , En donde:

k  2 / 

y

  2 / T

y  ASen(kx  t )

Quedando la ecuación en la siguiente forma:

v  /k

La velocidad se puede expresar como sigue:

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O bien de la siguiente forma:

v  f

Esta ecuación esta expresada considerando que el desplazamiento vertical “ y ” es cero en x  0 y t  0 . Lo cual no siempre puede ocurrir. Si el desplazamiento vertical no es cero en x  0 y t  0 , expresamos la función de onda en la forma:

y  ASen(kx  t   )

Donde  , recibe el nombre de constante de fase y tiene el mismo significado y se encuentra su valor de la misma forma que cuando estudiamos el movimiento armónico simple.

ONDAS EN CUERDAS. La velocidad de ondas mecánicas lineales depende exclusivamente de las propiedades del medio por el cual viaja la onda. Nosotros nos centraremos en la velocidad de un pulso transversal que viaja en una cuerda tensada.

Si la tensión en la cuerda es F y su masa por unidad de longitud es  , la velocidad de la onda es:

v 



F

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La velocidad de una onda depende de la densidad y de las propiedades elásticas del medio.



La rapidez de una onda transversal en un hilo con tensión F y masa por unidad de longitud  es

v





F

(onda transversal en un hilo).

La rapidez de una onda longitudinal en un fluido con módulo de volumen* B y densidad  es

v



B

(onda longitudinal en un fluido).

*el modulo de Volumen se define como B = - Vdp/dV 

La rapidez de una onda longitudinal en una varilla sólida con módulo de Young* Y y densidad  es

v



Y

(onda longitudinal en una varilla sólida).

*el modulo de Young es el modulo de elasticidad y se calcula como Y = F/A / l/l

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ONDAS SENOIDALES EN CUERDAS. Supongamos que tenemos una varilla unida a una cuerda y que la varilla se esta moviendo con un Movimiento Armónico simple, tendremos entonces que cada partícula de la cuerda oscila también verticalmente con movimiento armónico simple. Por lo tanto cada segmento de la cuerda puede tratarse como un oscilador armónico simple que vibra con una frecuencia de vibración de la varilla.

Si la forma de onda en t  0 es como se describe en el inciso (b) de la figura, entonces la función de onda puede escribirse: y  ASen(kx  t )

Con esta expresión puede describirse el movimiento de cualquier punto en la cuerda. el punto P (o cualquier otro punto de la cuerda) solo se mueve verticalmente, de manera que su coordenada x permanece constante. Por consiguiente, la velocidad transversal (no debe ser confundida con la velocidad de onda) y la aceleración transversal son: V y  ACos (kx  t )

a y   2 ASen(kx  t )

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ENERGIA TRANSMITIDA POR ONDAS SENOIDALES EN CUERDAS.

A medida que las ondas se propagan a través de un medio, transportan energía.

Vamos a analizar primeramente la energía transportada por una cuerda por una onda senoidal unidimensional, después se extenderán estas ideas a ondas tridimensionales.

Consideremos el caso de la onda senoidal que viaja en una cuerda del caso anterior como ustedes recordaran la fuente de energía, es la varilla que se encuentra en el extremo izquierdo, el cual realiza trabajo al producir el tren de pulsos de onda. Enfoquemos nuestra atención en un pequeño segmento de la cuerda de longitud  y masa m . Este segmento y todos los demás que forman la cuerda se mueven verticalmente con movimiento armónico simple con la misma frecuencia angular y la misma amplitud, como ya vimos anteriormente la energía total asociada a una partícula que efectúa un movimiento armónico simple es:

E

1 kA2 2

que a su vez es igual a la energía cinética máxima cuya formula es la siguiente: K 

1 m 2 A 2 2

Si aplicamos esto a un elemento de longitud Δx vemos que la energía total de este elemento es:

 

1 (m) 2 A 2 2

Si µ es la masa por unidad de longitud de la cuerda, entonces el elemento de longitud  tiene una masa manera:

m  x

y la ecuación anterior la podemos expresar ahora de esta

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 

1 ( x) 2 A 2 2

La energía transferida por unidad de tiempo (Potencia) es d / dt y si en la ecuación anterior hacemos que  se aproxime a cero, la ecuación nos queda:

Potencia 

Y puesto que

dE 1 dx 2 2  ( ) A dt 2 dt

dx es igual a la velocidad de onda v, tenemos entonces: dt

Potencia 

1  2 A 2 v 2

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FENOMENOS ONDULATORIOS. SUPERPOSICION DE ONDAS. Muchos fenómenos ondulatorios en la naturaleza no pueden describirse mediante un solo pulso en movimiento, en lugar de ello es necesario analizar las formas de ondas complejas en función de una combinación de muchas ondas viajeras. Para analizar dichas combinaciones de ondas, podemos utilizar el principio de superposición.

Si dos o mas ondas se mueven a través de un medio, la función de onda resultante en cualquier punto es la suma algebraica de las funciones de onda de las ondas individuales. Las ondas que obedecen este principio son conocidas como ondas lineales y su característica principal es que por lo general tienen amplitudes de ondas pequeñas. Las ondas que no obedecen este principio se denominan ondas no lineales y se caracterizan por sus grandes amplitudes. Nosotros trataremos solo ondas lineales. Una consecuencia del principio de superposición es que dos ondas viajeras pueden pasar una a través de otra sin destruirse o ni siquiera alterarse. Es importante advertir que el principio de superposición se aplica incluso si los dos pulsos no son simétricos y aun cuando viajen a velocidades diferentes.

La combinación de ondas independientes en la misma región del espacio para producir una onda resultante se denomina INTERFERENCIA.

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Se llama interferencia constructiva cuando los desplazamientos de los dos pulsos están en la misma dirección.

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Se llama interferencia destructiva cuando los desplazamientos de los dos pulsos están en direcciones opuestas.

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REFLEXION DE ONDAS

Cada vez que una onda viajera alcanza una frontera, parte o toda la onda se refleja.

Por ejemplo, considere un pulso que viaja sobre una cuerda fija en un extremo. Cuando el pulso alcanza la pared, se refleja. Debido a que el soporte unido a la cuerda es rígido, el pulso no transmite ninguna parte de la perturbación a la pared y su amplitud no cambia.

Advierta que el pulso reflejado se invierte. Esto puede explicarse del modo siguiente. Cuando el pulso llega al extremo fijo de la cuerda, esto produce una fuerza hacia arriba sobre el soporte. De acuerdo con la tercera ley de Newton, el soporte debe ejercer entonces una fuerza de reacción igual y opuesta (hacia arriba). Esta fuerza hacia abajo es la causa de que el pulso se invierta en la reflexión.

La reflexión de un pulso de onda viajera en el extremo fijo de una cuerda alargada. El pulso reflejado se invierte, Pero su forma permanece igual.

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Consideremos ahora otro caso. Esta vez el pulso llega al extremo de una cuerda que esta libre para moverse en la dirección vertical, como en la figura. La tensión en el extremo libre se mantiene al amarrar la cuerda a un anillo de masa despreciable que se puede deslizar verticalmente sobre un poste liso.

También en este caso el pulso se refleja, pero esta vez no se invierte. A medida que el pulso llega al poste ejerce una fuerza sobre el extremo libre de la cuerda, ocasionando que el anillo se acelere hacia arriba. En el proceso, el anillo superaría la altura del pulso que llega pero es jalado por la componente hacia debajo de la fuerza de tensión. Este movimiento del anillo produce un pulso reflejado que no esta invertido y cuya amplitud es la misma que la del pulso que llega. La reflexión de un pulso de onda viajera en el extremo libre de una cuerda alargada. El punto reflejado no se invierte.

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Por ultimo, es posible tener una situación en la que la frontera esta entre estos dos casos extremos, es decir, uno en el cual la frontera no es rígida ni libre. En este caso, parte del pulso incidente y parte se refleja.

Por ejemplo, suponga que una cuerda ligera se une a una cuerda mas pesada, como muestra la figura. Cuando un pulso que viaja sobre la cuerda ligera llega a la frontera entre las dos, parte del pulso se refleja e invierte y parte se transmite a la cuerda mas pesada. Como uno esperaría, la amplitud del pulso reflejado es mas pequeña.

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Veamos ahora que sucede si la onda viaja en una cuerda pesada, e incide en la frontera entre esa cuerda y una más ligera, como se muestra en la figura.

En este caso también una parte se refleja y una parte se transmite. Sin embargo, en esta situación el pulso reflejado no se invierte.

En cualquier caso, las alturas relativas de los pulsos reflejado y transmitido dependen de las densidades relativas de las dos cuerdas.

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Como ya vimos anteriormente, un importante aspecto de las ondas es el efecto combinado de dos o mas de ellas viajando en el mismo medio. por ejemplo, ¿Qué ocurre con una cuerda cuando una onda que viaja hacia su extremo fijo se refleja sobre ella misma?. En un medio lineal, es decir, uno en el cual la fuerza restauradora del medio es proporcional al desplazamiento de este, el principio de superposición puede aplicarse para obtener la perturbación resultante. El termino interferencia se utilizo para describir el efecto producido por la combinación de dos pulsos de onda que se mueven simultáneamente a través de un medio. Este tema trata del principio de superposición cuando este se aplica a ondas senoidales.

Si las ondas senoidales que se combinan en un medio determinado tienen la misma frecuencia y longitud de onda, uno encuentra que un patrón estacionario, conocido, como onda estacionaria, puede producirse a ciertas frecuencias bajo determinadas circunstancias. Por ejemplo, una cuerda tensada fija en ambos extremos tiene un conjunto discreto de patrones de oscilación, denominados modos de vibración, que dependen de la tensión y la masa por unidad de longitud de la cuerda.

Estos modos de vibración se encuentran en instrumentos musicales de cuerdas.

Otros instrumentos musicales, como el organo y la flauta, aprovechan las frecuencias naturales de ondas sonoras en tubos huecos. Dichas frecuencias dependen de la longitud del tubo, de su forma y de si el tubo esta abierto en ambos extremos o solo abierto en un extremo y cerrado en el otro.

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SUPERPOSICION E INTERFERENCIA DE ONDAS SENOIDALES. El principio de superposición nos indica que cuando dos o mas ondas se mueven en el mismo medio lineal, el desplazamiento neto del medio (la onda resultante) en cualquier punto es igual a la suma algebraica de los desplazamientos causados por cada una de las ondas. Apliquemos este principio a dos ondas senoidales que viajan en la misma dirección en un medio. si las dos ondas viajan hacia la derecha y tienen la misma frecuencia, longitud de onda y amplitud, pero difieren en fase, podemos expresar sus funciones de onda individuales como: y 2  A0 Sen(kx  t   )

y1  A0 Sen(kx  t )

La función de la onda resultante es:

y  y1  y 2  A0 Sen(kx  t )  Sen(kx  t   )

Utilizando la identidad trigonometrica de:

Sena  Senb  2 cos

( a  b) ( a  b) sen 2 2

Si hacemos que a  kx  t y b  kx  t   Encontramos que la función de onda resultante y se reduce a:

y  2 A0 cos( ) sen (kx  t   ) 2 2

Sobresalen algunas características importantes en este resultado. La función de onda resultante y también es armónica y tiene la misma frecuencia y longitud de onda que las ondas individuales.

La amplitud de la onda resultante es de

2 A0 cos( 2)

y su fase es igual a

 2.

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Si la constante de fase  es igual a cero, entonces cos( 2)  cos 0  1 y la amplitud de la onda resultante es de 2 A0 . En este caso, se dice que las ondas estarán en todos lados en fase, por lo que interferirán constructivamente. Figura (a)

Por otra parte, si  es igual a  rad, o cualquier múltiplo impar de  , entonces cos( 2)  0 y la onda resultante tiene amplitud cero en todos lados. En este caso, las dos interferiran destructivamente. Es decir, la cresta de una onda coincide con el valle de la segunda y sus desplazamientos se cancelan en cualquier punto. Figura (b)

Por ultimo, cuando la constante de fase tiene un valor arbitrario entre 0 y  rad, como en la Figura (c) la onda resultante tiene una amplitud cuyo valor esta entre 0 y 2 A0 .

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ONDAS ESTACIONARIAS. Si una cuerda tensada se sujeta en ambos extremos, las ondas viajeras se reflejan desde los extremos fijos, creando ondas que viajan en ambas direcciones. Las ondas incidente y reflejada se combinan de acuerdo con el principio de superposición. Considere dos ondas senoidales en el mismo medio con la misma amplitud, frecuencia y longitud de onda pero viajando en direcciones opuestas. Sus funciones de onda pueden escribirse. y1  A0 Sen(kx  t )

y 2  A0 Sen(kx  t )

Donde y 1 representa una onda que viaja hacia la derecha y y 2 representa una onda que viaja hacia la izquierda. La suma de estas dos funciones produce la función de ondas resultante y : y  y1  y 2  A0 sen(kx  t )  A0 Sen(kx  t )

Donde k  2   y   2f , como es usual. Cuando usamos la identidad trigonometrica sen(a  b)  sena cos b  cos asenb , esta expresión se reduce a:

y  (2 A0 senkx) cos t

Que es la función de onda de una onda estacionaria. Una onda de este tipo es un patrón de vibración estacionario formado por la superposición de dos ondas de la misma frecuencia que viajan en direcciones opuestas.

De la ecuación, vemos que una onda estacionaria tiene una frecuencia angular  y una amplitud (2 A0 senkx). Esto significa que toda partícula de la cuerda vibra en un movimiento armónico simple con la misma frecuencia. Sin embargo, la amplitud del movimiento de una partícula determinada depende de x . Esto esta en contraste con la situación que incluye una onda senoidal viajera, en la cual todas las partículas oscilan tanto con la misma amplitud como con la misma frecuencia.

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Debido a que la amplitud de onda estacionaria en cualquier valor de x es igual a 2 A0 senkx , vemos que la amplitud máxima tiene el valor 2 A0 . dicho máximo ocurre cuando la coordenada x satisface la condición senkx  1 , o cuando

kx   2 , 3 2 , 5 2...

Puesto que k  2  , las posiciones de amplitud máxima, llamadas antinodos, son:

x   4 , 3 4 , 5 4 , … n 4

n  1, 3, 5 …

Advierta que los antinodos adyacentes están separados por  2 .

Del mismo modo, la onda estacionaria tiene una amplitud mínima cero cuando x satisface la condición Senkx  0 , o cuando:

kx   , 2 , 3 , …

Lo que produce:

x   2 ,  , 3 2 , 2 , … = n 2

n  0 , 1, 2 , 3 , …

Estos puntos de amplitud cero, denominados nodos, también están espaciados a una dist...