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Aquí se explica cómo las normas son equivalentes en Rn....

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Cap´ıtulo 2

Normas Equivalentes. Espacios Normados de Dimensi´ on Finita Dos son los resultados m´as importantes que, sobre la equivalencia de normas, veremos en este cap´ıtulo. El primero de ellos establece que, en el marco de los espacios normados, la equivalencia de normas es siempre lipschitziana. El segundo que sobre un espacio de dimensi´on finita, todas las normas son equivalentes. Incluiremos tambi´en en este cap´ıtulo la caracterizaci´on topol´ogica, dada por F. Riesz, de los espacios normados de dimensi´on finita. Para terminar desarrollaremos algunas t´ecnicas de ´ındole pr´actico para la existencia de l´ımite (continuidad) de funciones de varias variables.

Equivalencia de normas Definici´ on 2.1 Dos normas sobre un mismo espacio vectorial E se dicen equivalentes, cuando inducen la misma topolog´ıa sobre E . La proposici´on que veremos a continuaci´on determinar´a que no tengamos necesidad de distinguir, como pasaba en los espacios m´etricos, entre distintas formas de equivalencia de normas. Proposici´ on 2.2 Dos normas k · k y k · k∗ sobre E son equivalentes si y s´olo si existen dos constantes a, b > 0 tales que (2.1)

akxk ≤ kxk∗ ≤ bkxk , 15

∀x ∈ E.

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2.2

Demostraci´ on. En efecto, si ambas normas son equivalentes, las bolas abiertas relativas a ellas, {B(x, r) : x ∈ E, r > 0} y {B ∗ (x, r) : x ∈ E, r > 0} constituyen dos bases de una misma topolog´ıa. Entonces, puesto que B(0, 1) es un conjunto abierto debe existir r > 0 tal que B ∗ (0, r) ⊂ B (0, 1). Lo que significa que kxk∗ < r ⇒ kxk < 1.

Sea a un n´umero real tal que 0 < a < r, y un vector cualquiera. Si y 6= 0 es claro que el vector u = a(y/kyk∗ ) verifica que kuk∗ = a < r, y por tanto que kuk < 1. Se deduce pues que para y 6= 0, akyk < kyk∗ . En todo caso akyk ≤ kyk∗ . Intercambiando los papeles de ambas normas, se obtiene la otra desigualdad. Rec´ıprocamente, si para todo x ∈ E se tiene que akyk ≤ kyk∗ ≤ bkxk, es f´acil deducir entonces que la aplicaci´on Identidad: Id : (E, k · k) → (E, k · k∗ ) es un homeomorfismo lipschitziano. En particular, las topolog´ıas que inducen estas normas sobre E coinciden, luego k · k y k · k∗ son equivalentes.

En la proposici´on anterior hemos demostrado que si dos normas sobre un mismo espacio vectorial E son equivalentes, los espacios normados (E, k · k) y (E, k · k∗ ) no s´olo tienen las mismas propiedades topol´ogicas, sino tambi´en las mismas propiedades uniformes y lipschitzianas. Puede resumirse este hecho diciendo que en los espacios normados, la equivalencia de normas es siempre lipschitziana. Antes de pasar al estudio de los espacios normados de dimensi´on finita, es conveniente establecer algunas cuestiones referentes al producto de espacios normados. Definici´ on 2.3 (Norma producto) Sean (Ei , k · ki ), i = 1, 2, . . . , n, un n´ umero finito de espacios normados. Llamaremos norma producto de las normas k · ki a la norma sobre E = E1 × . . . × En , k(x1 , . . . , xn )k∞ = max(kx1 k1 , . . . , kxn kn ). Adem´as de la norma producto, se puede probar que tambi´en definen normas sobre E las expresiones à p !1/p X p . k(x1 , . . . , xn )kp = kxi k i i=1

2.6

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Obviamente, si los espacios Ei = R para todo i y k · ki = | · |, entonces las normas anteriores son las ya estudiadas k · k∞ y k · kp de Rn . Proposici´ on 2.4 Todas las normas anteriores son equivalentes e inducen en E la topolog´ıa producto de los espacios (Ei , k · ki ). Demostraci´ on. Es f´acil ver que kxk∞ ≤ kxkp ≤ n1/pkxk∞ , lo que demuestra que todas estas normas son equivalentes. Asimismo constituye un sencillo ejercicio comprobar que la topolog´ıa que ´estas inducen sobre E es la producto de los espacios (Ei , k · ki ). Como indicaci´on, observar que, con respecto a la norma producto k · k∞ , las bolas en E son productos de bolas en Ei , es decir: B(a, r) =

n Y

B(ai , r) ;

a = (a1 , . . . , an ).

i=1

Espacios de dimensi´ on finita Como establece el teorema de Riesz, los espacios normados de dimensi´on finita son, bajo el punto de vista topol´ogico, esencialmente diferente a los de dimensi´on infinita. Antes de enunciar este teorema, observemos que el modelo matem´atico en el que se representan los espacios normados de dimensi´on finita es Rn , en el sentido de que: Proposici´ on 2.5 Si E es un espacio normado de dimensi´on finita n, entonces existe alguna norma sobre Rn , tal que E es isom´etrico a Rn con esa norma. Demostraci´ on. Sea T : x → (xi ) el isomorfismo de espacio vectoriales que asocia a cada vector x de E sus coordenadas xi ∈ R en una base dada. Obviamente kyk∗ = kT −1 (y)k define una norma sobre Rn , para la que T es una isometr´ıa. La propiedad m´as importante de Rn como espacio normado, se establece en la proposici´on siguiente Proposici´ on 2.6 En Rn todas las normas son equivalentes.

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2.6

Demostraci´ on. Vamos a probar que cada norma k ·k sobre Rn es equivalente a la norma k · k1 (k(x1 , . . . , xn )k1 = |x1 | + · · · + |xn |). Consideremos para ello la aplicaci´on k · k : (Rn , k · k1 ) → R. Esta aplicaci´on es continua pues, si denotamos por ei = (0, . . . , 1, . . . , 0) y M = max(ke1 k, . . . , ken k) , entonces n ¯ ¯ X ¯kxk − kyk¯ ≤ |xi − yi |kei k ≤ M kx − yk1 . i=1

Adem´as, si en la desigualdad anterior se toma y = 0, se tiene (2.2)

kxk ≤ M kxk1 .

Sea ahora S = {x : kxk1 = 1}. Este conjunto es compacto ya que es un cerrado que es subconjunto de un compacto. Concretamente, S ⊂ [−1, 1]n . (N´otese que seg´ un 2.4 la topolog´ıa del espacio normado (Rn , k · k1 ) es la topolog´ıa producto). Se deduce entonces que la aplicaci´on k·k : (Rn , k·k1 ) → R alcanza un m´ınimo sobre S, es decir existe un punto u0 ∈ S tal que ku0 k ≤ kuk cualquiera que sea u ∈ S. Sea m = ku0 k y x 6= 0, cualquiera (m > 0 pues u0 6= 0). Puesto que x/kxk1 es un punto de S, se tiene: ° ° ° x ° ° ° (2.3) m ≤° ⇒ mkxk1 ≤ kxk. k xk 1 ° De 2.2 y 2.3, se deduce que ambas normas son equivalentes.

2.7 De lo anterior se pueden extraer las siguientes consecuencias 1. En Rn un conjunto es compacto si y s´olo si es cerrado y acotado (respecto de cualquier norma). Sabemos que en todo espacio m´etrico cada compacto es un conjunto cerrado y acotado. Para probar que en Rn el rec´ıproco tambi´en es cierto, basta observar que si un conjunto es acotado respecto de una norma es tambi´en acotado respecto de cualquier norma equivalente. As´ı, si K es cerrado y acotado, entonces es acotado respecto a la norma producto, luego existe alguna constante r > 0 tal que, para todo x = (x1 , . . . , xn ) ∈ K |xi | ≤ r, (i = 1, 2, . . . , n)

⇒

De esto se sigue pues que K es compacto.

K ⊂ [−r, r]n .

2.9

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2. Rn es un espacio de Banach respecto de cualquier norma. Es f´acil ver que esto es cierto para la norma producto (una sucesi´on de puntos de Rn es de Cauchy si y s´olo si las sucesiones coordenadas son de Cauchy etc.) Adem´as, si k · k es otra norma cualquiera, Rn tiene las mismas propiedades topol´ogicas, uniformes y lipschitzianas para ambas normas, ya que seg´ un la proposici´on anterior, son equivalentes. n En particular (R , k · k) es completo (propiedad uniforme).

3. Todo subespacio vectorial de dimensi´ on finita de un espacio normado es cerrado.

En efecto, si F es un subespacio vectorial de dimensi´on n del espacio normado (E, k · k), entonces (F, k · k) es isom´etrico a Rn (proposici´on 2.5), luego es completo. Como todo conjunto completo de un espacio m´etrico es cerrado, se deduce ya que F es cerrado. Vamos a terminar esta secci´ on con la caracterizaci´on topol´ogica de los espacios normadas de dimensi´on finita, dada por F.Riesz. Usaremos para ello el siguiente lema Lema 2.8 Sea E un espacio normado y F un subespacio vectorial propio y cerrado en E. Entonces para cada 0 < ε < 1 existe un vector x ∈ E tal que ε < d(x, F ) < 1.

Demostraci´ on. Puesto que F es un conjunto cerrado distinto de E, existe alg´ un vector y tal que d(y, F ) > 0. Entonces alg´ un proporcional de y, λy , debe verificar que ε < d(λy, F ) < 1. Tomemos ahora un vector u ∈ F tal que kλy − uk < 1, y sea x = λy − u. Es claro entonces que ε < d(λy, F ) = d(x, F ) ≤ kxk < 1. Teorema 2.9 (T. de Riesz) Si E es un espacio normado, son equivalentes: (a) E es de dimensi´on finita. (b) La bola cerrada unidad es compacta.

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(c) Los conjuntos compactos de E son, justamente, los cerrados y acotados. (d) E es localmente compacto. Demostraci´ on. En primer lugar veamos que las condiciones (b), (c) y (d) son equivalentes: Supongamos que se verifica (b), y sea K un conjunto cerrado y acotado. Entonces K es subconjunto de una bola cerrada, por ejemplo K ⊂ B[a, r ]. Por la proposici´on 1.4, sabemos que B[0, 1] y cualquier otra bola cerrada resultan simult´aneamente compactas o no compactas. Se deduce pues que K es un subconjunto cerrado de un compacto, y por lo tanto K tambi´en es compacto. Trivialmente (c) implica (d). Y aplicando de nuevo la proposici´on 1.4, se demuestra que (d) implica (b). (a) implica todas las dem´as condiciones. Por u ´ltimo, veamos que los espacios normados de dimensi´on finita son los u ´nicos en los que la bola cerrada unidad es compacta: En efecto, supongamos que E tiene dimensi´on infinita. Vamos a aplicar el lema 2.8 para encontrar una sucesi´on en la bola unidad que no tiene ninguna subsucesi´on convergente: Sea x1 un vector no nulo de E y sea F1 = lin {x1 }, el subespacio generado por x1 . Como dim(F1 )=1, F1 es cerrado. Existe por tanto un punto x2 tal que kx2 k < 1,

k x1 − x2 k >

1 . 2

Procediendo igual con el subespacio cerrado (y propio) generado por los vectores x1 , x2 , encontramos un punto x3 tal que kx3 k < 1,

1 k x1 − x3 k > , 2

kx2 − x3 k >

1 . 2

Es evidente que, de este modo, se construye una sucesi´ on {xn } de puntos de la bola unidad, que no admite subsucesiones de Cauchy, pues cada dos t´erminos de la misma distan entre s´ı m´ as de 1/2. Por lo tanto tampoco admite subsucesiones convergentes, luego la bola cerrada unidad no es compacta, como se trataba de probar.

2.11

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L´ımites y continuidad El contenido de este par´agrafo es eminentemente pr´actico. En ´el se exponen algunas t´ecnicas para el estudio de la continuidad (existencia de l´ımite) para una funci´on de varias variables reales, f : A ⊂ Rn → Rp . Si p = 1, es decir si f toma sus valores en R, se dir´a que f es una funci´on escalar. Cuando p > 1, una funci´on de este tipo se dir´a que es una funci´on vectorial. En ese caso escribiremos f = (f1 , f2 , . . . , fp ), donde fi (x) es la coordenada i-´esima de f(x), es decir las funciones f1 , f2 , . . . , fp son las funciones coordenadas de f. Definici´ on 2.10 Sea f : A ⊂ Rn → Rp y a un punto de acumulaci´ on de A. Diremos que el punto l ∈ Rp es l´ımite de la funci´on en el punto a, lo que denotaremos como lim f(x) = l, x→a

si para ε > 0, existe δ > 0 tal que 0 < kx − ak < δ ⇒ kf(x) − lk < ε. Es claro que la funci´on f es continua en a si y s´ olo si lim f (x) = f (a).

x→a

N´otese que en la definici´on anterior, de acuerdo con la proposici´on 2.6, pueden utilizarse las normas que se quieran, es decir: “Si l es l´ımite de la funci´on f en el punto a con respecto a dos normas en Rn y Rp , l es tambi´en l´ımite de f en a respecto a cualquier otro par de normas”. Proposici´ on 2.11 Sea f = (f1 , f2 , . . . , fp ) una funci´on de A ⊂ Rn → Rp y a un punto de acumulaci´ on de A. Entonces lim f(x) = l = (l1 , . . . , lp ) x→a

⇔

lim fi (x) = li

x→a

Demostraci´ on. Si en Rp utilizamos la norma producto, es evidente que la definici´on de l´ımite para f en a puede expresarse en los siguientes t´erminos: para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que 0 < kx − ak < δ

⇒

|fi (x) − li | < ε ,

∀i

lo que equivale a decir que li es el l´ımite de fi en a, para todo i.

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2.12

2.12 Para estudiar la existencia de l´ımite y/o la continuidad para funciones de varias variables se tendr´ a en cuenta, en primer lugar, las propiedades generales de las funciones continuas entre espacios topol´ogicos (la composici´on de continuas es continuas, las aplicaciones constantes, la identidad, las proyecciones,... son continuas), o las que hacen referencia a la estructura vectorial de los espacios normados (el conjunto de las aplicaciones que toman sus valores en un espacio normado y que son continuas en un punto es tambi´en un espacio vectorial, ver ejercicios 2A,2B). Adem´as, despu´es de la proposici´on anterior, dicho estudio bastar´ a hacerse para funciones escalares. Para ellas podemos establecer sin dificultad que 1. El producto de funciones continuas en un punto es una funci´ on continua en ese punto. 2. Si f, g son funciones continuas en un punto a y g(a) 6= 0, entonces f /g es continua en a. An´alogos resultados y consideraciones se pueden obtener sobre la existencia de l´ımites en un punto. Ejemplo 2.13 Las funciones polin´omicas son continuas: En efecto, toda funci´on polin´omica es suma de monomios, es decir de aplicaciones de la forma (x1 , ..., xn ) → ax1k1 . . . xknn , que son continuas por ser el producto de aplicaciones del tipo (x1 , ..., xn ) → a ,

(x1 , ..., xn ) → xi .

2.14 En lo que sigue trataremos de buscar criterios que nos permitan estudiar la existencia de l´ımite (continuidad), en aquellos casos en que las reglas generales para el c´alculo de l´ımites (2.12) no sean aplicables, es decir cuando aparezcan indeterminaciones. Cuando tales criterios sean aplicables, se evitar´a tener que usar, para resolver esas indeterminaciones, el engorroso m´etodo ε − δ que proporciona la definici´on de l´ımite. Para simplificar trabajaremos con funciones escalares de dos variables. Si f : A ⊂ R2 → R y (x0 , y0 ) un punto de acumulaci´on de A, entonces, de acuerdo con la definici´on 2.10, l=

lim

(x,y )→(x0 ,y0 )

f(x, y),

2.16

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si para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que  |x − x0 | < δ, |y − y0 | < δ       |x − x0 | + |y − y0 | < δ 0 < k(x − x0 , y − y0 )k < δ p   (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < δ     ......................

23

            

⇓

|f(x, y) − l| < ε, 2.15 (Condici´ on suficiente para existencia de l´ımite) Con las notaciones anteriores, si existen dos constantes positivas M y α tales que, para (x, y) en alg´ un entorno de (x0 , y0 ), se verifica que |f(x, y) − l| ≤ M k(x − x0 , y − y0 )kα entonces l = lim(x,y )→(x0 ,y0 ) f(x, y).

Ejemplo 2.16 Consideremos la funci´on f(x, y) =

(1 − y)(x − 1)2 + y2 si (x, y) 6= (1, 0) ; f(1, 0) = 1. (x − 1)2 + y2

Esta funci´on es continua en el punto (1,0), pues ¯ ¯ ¯ ¯ (1 − y)(x − 1)2 + y2 ¯ − 1¯ |f(x, y) − 1| = ¯¯ (x − 1)2 + y2 |y|(x − 1)2 = ≤ |y| ≤ k(x, y) − (1, 0)k∞ . (x − 1)2 + y2 Hay que hacer notar que la condici´on de la proposici´on anterior no es necesaria, es decir una funci´on puede tener l´ımite y no satisfacer ninguna desigualdad de ese tipo. (Compru´ebense, por ejemplo, con la funci´on f(x, y) = en el punto (0,0)).

1 + y2 )

ln(x2

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2.17

Definici´ on 2.17 (L´ımites iterados) Con las notaciones anteriores, a cada uno de los l´ımites lim ( lim f(x, y)),

x→x0 y→y0

lim ( lim f(x, y))

y→y0 x→x0

se les denomina l´ımites iterados. Proposici´ on 2.18 Si existe el l´ımite de una funci´ on en un punto (x0 , y0 ) es decir, l = lim(x,y )→(x0 ,y0 ) f(x, y), entonces tambi´en existen y son iguales a “l”los l´ımites iterados. (Se supone que para cada y 6= y0 y x 6= x0 existen los l´ımites limx→x0 f(x, y) y limy→y0 f (x, y)). Demostraci´ on. Resulta directamente de aplicar la definici´ on de l´ımite. Definici´ on 2.19 (L´ımites direccionales) Llamaremos l´ımites direccionales de la funci´on f en el punto (x0 , y0 ) a los l´ımites siguiendo rectas que pasen por el punto, es decir limx→x0 f(x, y0 +m(x−x0 )). (An´aloga definici´on para l´ımite siguiendo curvas que pasan por el punto). Nota. La condici´on 2.15 as´ı como la definici´ on 2.17 se generalizan de manera natural al caso de funciones de 3 o m´ as variables. Para generalizar tambi´en la noci´on de l´ımites direccionales de una funci´ on en un punto, deberemos escribir en forma param´etrica las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto. As´ı si a = (a1 , . . . , an ), entonces x1 = a1 + th1 , x2 = a2 + th2 , . . . , xn = an + thn es la ecuaci´on de la recta que tiene como vector director h = (h1 , . . . , hn ) y que pasa por a. El l´ımite siguiendo esta recta ser´ a entonces lim f(a1 + th1 , . . . , an + thn ). t→0

Para n = 2 el l´ımite anterior coincide con el l´ımite direccional en el sentido de la definici´on 2.19, siguiendo la recta de pendiente m = h2 /h1 . Como en el caso de los l´ımites iterados, es evidente que la existencia de l´ımite implica la de los l´ımites direccionales y siguiendo curvas. Se deduce, pues, que la existencia de los l´ımites iterados, direccionales y siguiendo curvas son condiciones necesarias para la existencia del l´ımite. Por lo tanto: NO existe l´ımite cuando 1. No existe alguno de los l´ımites iterados o existen pero son distintos.

2.23

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Ejemplo 2.20 Consideremos la funci´on x2 + y si (x, y) 6= (0, 0); f(x, y) = p x2 + y 2

f(0, 0) = 0.

Esta funci´on no es continua en (0, 0) ya que uno de los l´ımites iterados no existe: y x2 + y = ±1. lim ( lim p ) = lim y→0 2 2 |y| y→0 x→0 x +y Ejemplo 2.21 Este es un ejemplo de una funci´ on para la que los l´ımites iterados existen pero son diferentes (luego el l´ımite no existe) (x + y − 1) ln(x2 + 2y2 ) , (x − 1)2 + y2

f(x, y) =

si (x, y) 6= (1, 0).

Se tiene que 2(x − 1) ln x =2 x→1 (x − 1)2 4y y ln(1 + 2y2 ) = lim = 0. lim ( lim f(x, y)) = lim 2 y y→0 x→1 y→0 y→0 1 + 2y 2 lim (lim f(x, y)) = lim

x→1 y→0

2. No existe alguno de los l´ımites direccionales o existen, pero no son iguales. Ejemplo 2.22 Sea f(x, y) =

xy si (x, y) 6= (0, 0). x2 + y 2

Los l´ımites direccionales de esta funci´ on no son todos iguales. En efecto: m mx2 = 2 x→0 (m2 + 1)x2 m +1

lim f(x, mx) = lim

x→0

que depende de m. Se deduce pues que el l´ımite no existe. Ejemplo 2.23 Sea f(x, y) =

x2 y si (x, y) 6= (0, 0); x4 + (y − x)2

f(0, 0) = 0.

Es inmediato comprobar que limx→0 f(x, mx) = 0 para m 6= 1. En cambio para m = 1 el l´ımite anterior no existe, es decir la funci´on no tiene l´ımite en (0,0) siguiendo la recta y = x y por lo tanto no admite l´ımite en ese punto (no es continua en (0,0)).

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2.23

3. No existe el l´ımite siguiendo alguna curva que pasa por el punto o el l´ımite var´ıa dependiendo de la curva que se tome. Ejemplo 2.24 Consideremos la funci´on f(x, y) =

xy 2 si (x, y) 6= (0, 0). x2 + y 4

Tanto los l´ımite iterados como los l´ımites direccionales en el punto (0,0) existen y valen 0, sin embargo esta funci´ on no tiene l´ımite en ese punto, ya √ que si tomamos las curvas y = m x, se tiene: √ lim f(x, m x) = lim

x→0

x→0

m2 m 2 x2 . = m4 + 1 x2 + m 4 x2

Es decir los l´ımites siguiendo esa familia de curvas existen todos pero son diferentes entre s´ı, luego el l´ımite no existe. Ejemplo 2.25 Sea f(x, y) =