Números Complejos, ejemplos, practicas, y explicacion PDF

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Números Complejos, ejemplos, practicas, y explicacion del tema...

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NÚMEROS COMPLEJOS INTRODUCCIÓN Los números complejos se introducen para dar sentido a la raíz cuadrada de números negativos. Así se abre la puerta a un curioso y sorprendente mundo en el que todas las operaciones (salvo dividir entre 0) son posibles. En esta Unidad se presenta este mundo: expresión de los números complejos, su representación gráfica, operaciones y su forma polar. El enfoque es muy geométrico para facilitar la comprensión. La importancia de los números complejos está marcada por sus múltiples aplicaciones en diversas Áreas (Matemáticas, Física, Ingeniería, Tecnología, ...)

OBJETIVOS  Entender la necesidad de ampliar los números reales.  Relacionar el signo del discriminante de una ecuación de 2º grado con el número de soluciones de la ecuación.

 Conocer los conceptos: unidad imaginaria, nº complejo, parte real y parte imaginaria.

 Representar gráficamente números complejos.  Conocer el concepto de afijo de un complejo.  Hallar el opuesto y el conjugado de un complejo e interpretarlos gráficamente.

 Hallar potencias de i (unidad imaginaria).  Sumar y restar complejos en forma binómica y gráficamente  Multiplicar y dividir complejos en forma binómica.  Expresar un complejo en forma polar.  Representar un complejo dado en forma polar.  Pasar de forma binómica a forma polar y viceversa.  Operar con complejos en forma polar (multiplicación, potenciación y división) e interpretarlo gráficamente.

 Conocer la fórmula de Moivre.  Hallar todas las raíces n-ésimas de un complejo e interpretarlas gráficamente.

OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS 6.1. Suma y resta. La suma y la resta de números complejos se realizan siguiendo las reglas de las operaciones de los números reales. También son equivalentes a la suma y la resta con vectores, teniendo en cuenta que a cada número complejo se le hace corresponder un vector. Número complejo: a + bi

Þ

Vector: (a,b )

En esta escena tienes representados los números complejos: z1=a+bi y z2=c+di . Así como su SUMA z1+z2 y su RESTA z1-z2 (Recuerda el paralelogramo que se forma con dos vectores, cuyas diagonales son la suma y la resta de los mismos, fíjate bien en la escena) Puedes cambiar los valores de a, b, c y d, moviendo los AFIJOS de z1 y/o z2 con el ratón, o bien introduciendo sus valores en la parte inferior de la escena. Como es tan fácil, mirando la escena y sus movimientos, tienes que averiguar cómo se SUMAN y se RESTAN números complejos. EJERCICIO 4 Efectúa las siguientes operaciones en tu cuaderno y haz una comprobación posterior en la escena: a) (3+i) + (1-3i) b) (-5+3i) - (6+4i) c) (0.5-4i)+(-1.5-i) d) (-3.8+2.4i) - (1.3+0.5i) Te recuerdo que cuando una imagen se te sale de la escena, puedes cambiar la escala o mover los ejes, en la parte superior de la misma.

6.2. Multiplicación de números complejos La multiplicación se efectúa igual que si fuesen números reales, pero teniendo en cuenta que i2=-1 ¡ATENCIÓN! la multiplicación de complejos no es equivalente al producto escalar de vectores. Pero para comprobar resultados, podemos representar los complejos que se multiplican por sus vectores, y el resultado del producto por el vector correspondiente al complejo producto. En la escena adjunta se muestra la forma de realizar el producto de dos números complejos, z1·z2=(a+bi) (c+di) Moviendo los AFIJOS de z1 y z2, o introduciendo los valores de a, b, c y d, puedes ir viendo los resultados. EJERCICIO 5 Efectúa las siguientes multiplicaciones en tu cuaderno y haz una comprobación posterior en la escena: a) (-2-2i)(1+3i) b) (2+3i)(5-6i) c) (2+3i)(-2-3i) d) (-1-2i)(-1+2i) e) ¿Qué ocurre cuando se multiplica un complejo por su conjugado (apartado d)? Prueba con otros y explica qué tienen de común todos los resultados. f) ¿Qué ocurre cuando multiplicamos cualquier número complejo por i? Compara el número complejo con el resultado y deduce la relación entre ellos.

6.3. División de números complejos. Para dividir dos complejos, se multiplica el dividendo y el divisor por el conjugado

de éste, así el divisor pasará a ser un número real.

EJEMPLO

Como en la multiplicación, representaremos los complejos por vectores, para poder comprobar los resultados en la escena. Esta división de complejos es la que aparece en el inicio de esta escena. Puedes cambiar los valores de a, b, c y d, o mover los puntos z1 y z2 par a hallar otras divisiones.

EJERCICIO 6 Efectúa las siguientes divisiones en tu cuaderno y compruébalas en la escena:

a)

b)

c) d)...