Ondas Estacionarias - Resumen y explicación de ecuación de una onda estacionaria, nodos y vientres, PDF

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Resumen y explicación de ecuación de una onda estacionaria, nodos y vientres, energía en una onda estacionaria, las ondas estacionarias en los instrumentos de cuerda y viento. Frecuencias de resonancia......

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5. ONDAS ESTACIONARIAS 5.1

Ecuación de una onda estacionaria

Una onda estacionaria no es realmente una onda, si no el conjunto de de movimientos armónicos simples en la fase efectuados por todos los puntos del medio, con una amplitud variable modulada por una función sinusoidal. La ecuación de la onda de ida es: 𝑦 (𝑥, 𝑡) = 𝐴 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(𝜔 ⋅ 𝑡 − 𝑘 ⋅ 𝑥) La ecuación de la onda reflejada es: 𝑦 (𝑥, 𝑡) = 𝐴 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(𝜔 ⋅ 𝑡 + 𝑘 ⋅ 𝑥) El efecto resultante de la superposición de ambas ondas lo encontramos sumando sus elongaciones: 𝑦 = 𝑦 (𝑥, 𝑡) + 𝑦 (𝑥, 𝑡) = 𝐴 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(𝜔 ⋅ 𝑡 − 𝑘 ⋅ 𝑥) + 𝐴 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(𝜔 ⋅ 𝑡 + 𝑘 ⋅ 𝑥) 𝑦 = 𝐴[𝑠𝑒𝑛(𝜔 ⋅ 𝑡)cos ⋅ (𝑘 ⋅ 𝑥) − cos(𝜔 ⋅ 𝑡)𝑠𝑒𝑛(𝑘 ⋅ 𝑥)] + 𝐴[𝑠𝑒𝑛(𝜔 ⋅ 𝑡)cos ⋅ (𝑘 ⋅ 𝑥) + cos(𝜔 ⋅ 𝑡)𝑠𝑒𝑛(𝑘 ⋅ 𝑥)] y utilizando las funciones trigonométricas llegamos a: 𝑦 = 2 ⋅ 𝐴 ⋅ cos(𝑘 ⋅ 𝑥) ⋅ 𝑠𝑒𝑛(𝜔 ⋅ 𝑡)

5.2

Nodos y vientres

Si realizamos una representación gráfica, podemos observar que: a) Hay puntos del medio material a los que les corresponde una amplitud máxima, siendo su valor 2·A el doble de la que tenían las ondas superpuestas. A estos puntos los denominamos vientres. b) Hay puntos del medio material a los que les corresponde una amplitud nula, puntos que no se pueden mover, estos puntos reciben el nombre de nodos. c) El resto de los puntos del medio material oscilan con una amplitud con una amplitud comprendida entre 2·A y 0.

5.3

Energía en una onda estacionaria

En una onda estacionaria la energía queda estacionada (de ahí el nombre de la onda) entre nodo y nodo, sin transmitirse.

5.4 Las ondas estacionarias en los instrumentos de cuerda y viento. Frecuencias de resonancia. 5.4.1 Instrumentos de cuerda Los instrumentos de cuerda, como el piano o el violín disponen de una se- e de cuerdas fijas por sus extremos y de una longitud determinada. Al hacer oscilar estas cuerdas tensas, ya sea frotándolas o golpeándolas, se establecen en ellas ondas unidimensionales que se reflejan en los extremos fijos. Estas ondas estacionarias son las que producen los sonidos que los instrumentos emiten. Las ondas estacionarias producidas en estas cuerdas únicamente pueden tener unas determinadas frecuencias Esto supone que solo podrán emitir unos determinados sonidos, los correspondientes a sus diferentes modos de vibración. Las frecuencias de las sonidos que puede emitir una cuerda de estos instrumentos se llaman frecuencias propias o de resonancia. Para calcular estas frecuencias, comenzamos por determinar las longitudes de onda de las ondas estacionarias que pueden establecerse en una cuerda de longitud L determinada Esta longitud L tiene que cumplir la condición de que su valor sea un multiplo entero de λ/2 ya que comienzan y terminan en nodo (extremos fijos). 𝜆 𝐿 𝐿 = 𝑛 ⋅ =>𝜆 = 2 ⋅ (𝑛 = 1,2,3. . . ) 𝑛 2 Las frecuencias que les corresponden son : 𝑓=

𝑢 𝑛⋅𝑢 (𝑛 = 1,2,3. . . ) = 𝜆 2⋅𝐿

donde u es la velocidad de las ondas en la cuerda, para diferenciarla de la velocidad v del sonido en el aire. Las frecuencias para n=1, 2, 3 son:  a) n=1. Frecuencia fundamental o del primer armónico: 𝑓 = b) n=2. Frecuencia fundamental o del primer armónico: 𝑓 = c) n=3. Frecuencia fundamental o del primer armónico:𝑓 =

⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅



=

5.4.2 Variación de la longitud y de la tensión de las cuerdas Para que una cuerda de un instrumento pueda emitir diferentes notas y no solo una y sus armónicos, se puede variar la longitud de la cuerda o la tensión a la que está sometida: a) La variación de longitud de las cuerdas se consigue pulsando la cuerda made sobre la madera o sobre un traste (tiras metálicas que cruzan la ra), en un punto diferente de esta cada vez que se quiere variar do que produce b) La modificación de la tensión de las cuerdas se consigue apretando aflojando las clavijas que las sujetan Esto es lo que vemos hacer a los intérpretes de guitarra, violín, etc., para afinar sus instrumentos En el caso de los pianos de afinación es más complicada debido a su gran número de cuerdas y su alta tensión.

5.4.3 Instrumentos de viento Los instrumentos de viento como la flauta o la trompeta consisten basicamente en un tubo que contiene una columna de aire a cuyas moléculas se les hace oscilar soplando por una boquilla situada en uno de los extremos. En el interior del tubo se generan ondas estacionarias.

Para calcular las frecuencias propias de los instrumentos de viento, debemos distinguir entre los de tubo abierto y los de tubo cerrado, y tener en cuenta que en este caso sí debemos trabajar con la velocidad del sonido en el aire. a) Tubo abierto. En estos instrumentos el tubo tiene los dos extremos y las ondas estacionarias que en él se establezcan han de comenzar abiertos en máximo y terminar en máximo. 𝜆 𝑣 𝑣⋅𝑛 𝐿 = 𝑛 ⋅ =>𝑓 = = (𝑛 = 1,2,3. . . ) 2 𝜆 2⋅𝐿   ⋅ ⋅ 𝑓 = ;𝑓 = =  ;𝑓 = ⋅ ⋅

⋅

b) Tubo cerrado. En estos instrumentos el tubo tiene un extremo abierto y el otro cerrado, las ondas estacionarias han de comenzar en máximo y acabar en mínimo (nodo en el extremo cerrado) 𝜆 𝜆 𝜆 𝑣 2⋅𝑛+1 𝐿 = + 𝑛 ⋅ = (2 ⋅ 𝑛 + 1) ⋅ =>𝑓 = = 𝑣 ⋅ (𝑛 = 0,1,2,3. . . ) 4⋅𝐿 4 2 4 𝜆 ⋅ ⋅  𝑓 = ;𝑓 = ;𝑓 = ⋅

⋅

⋅

5.4.3 Variación de la longitud los tubos sonoros Los instrumentos de viento tienen, generalmente, una longitud determinada y varios agujeros. Para emitir diferentes notas se debe variar la longitud del tubo tapando y abriendo diferentes agujeros. En el caso del trombón, la longitud del tubo se varia alargando o acortando el tubo directamente con la mano....