LAB 6 - Ondas Estacionarias en una Cuerda PDF

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ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA1. OBJETIVOS Estudiar el comportamiento de una onda estacionaria en una cuerda. Determinar la frecuencia de oscilaciones de la onda. 2. FUNDAMENTO TEORICO2. Movimiento ondulatorio####### Es el proceso por el que se propaga energía de un lugar a otro sin transferencia...

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ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA 1. OBJETIVOS - Estudiar el comportamiento de una onda estacionaria en una cuerda. - Determinar la frecuencia de oscilaciones de la onda.

2. FUNDAMENTO TEORICO 2.1. Movimiento ondulatorio Es el proceso por el que se propaga energía de un lugar a otro sin transferencia de materia, mediante ondas mecánicas o electromagnéticas. Las ondas son una perturbación periódica del medio en que se mueven. En cualquier punto de la trayectoria de propagación se produce un desplazamiento periódico, u oscilación, alrededor de una posición de equilibrio. Puede ser una oscilación de moléculas de aire, como en el caso del sonido que viaja por la atmósfera, de moléculas de agua (como en las olas que se forman en la superficie del mar) o de porciones de una cuerda o un resorte. En todos estos casos, las partículas oscilan en torno a su posición de equilibrio y sólo la energía avanza de forma continua. Estas ondas se denominan mecánicas porque la energía se transmite a través de un medio material, sin ningún movimiento global del propio medio. Las únicas ondas que no requieren un medio material para su propagación son las ondas electromagnéticas; en ese caso las oscilaciones corresponden a variaciones en la intensidad de campos magnéticos y eléctricos

2.2. Tipos de Ondas Las ondas se clasifican según la dirección de los desplazamientos de las partículas en relación a la dirección del movimiento de la propia onda. Si la vibración es paralela a la dirección de propagación de la onda, la onda se denomina longitudinal como sepuede er en la Figura 1.

Una onda longitudinal siempre es mecánica y se debe a las sucesivas compresiones (estados de máxima densidad y presión) y enrarecimientos (estados de mínima densidad y presión)

del medio. Las ondas sonoras son un ejemplo típico de esta forma de movimiento ondulatorio. Otro tipo de onda es la onda transversal, en la que las vibraciones son perpendiculares a la dirección de propagación de la onda. Las ondas transversales por ejemplo la de la Figura 2 pueden ser mecánicas, como las ondas que se propagan a lo largo de una cuerda tensa cuando se produce una perturbación en uno de sus extremos, o electromagnéticas, como la luz, los rayos X o las ondas de radio. En esos casos, las direcciones de los campos eléctrico y magnético son perpendiculares a la dirección de propagación.

Algunos movimientos ondulatorios mecánicos, como las olas superficiales de los líquidos, son combinaciones de movimientos longitudinales y transversales, con lo que las partículas de líquido se mueven de forma circular. En una onda transversal, la longitud de onda es la distancia entre dos crestas o valles sucesivos. En una onda longitudinal, corresponde a la distancia entre dos compresiones o entre dos enrarecimientos sucesivos. La frecuencia de una onda es el número de vibraciones por segundo. La velocidad de propagación de la onda es igual a su longitud de onda multiplicada por su frecuencia. En el caso de una onda mecánica, su amplitud es el máximo desplazamiento de las partículas que vibran. En una onda electromagnética, su amplitud es la intensidad máxima del campo eléctrico o del campo magnético.

2.3. Comportamiento de las Ondas La velocidad de una onda en la materia depende de la elasticidad y densidad del medio. En una onda transversal a lo largo de una cuerda tensa, por ejemplo, la velocidad depende de la tensión de la cuerda y de su densidad lineal o masa por unidad de longitud. La velocidad puede duplicarse cuadruplicando la tensión, o reducirse a la mitad cuadruplicando la densidad lineal. La velocidad de las ondas electromagnéticas en el vacío (entre ellas la luz) es constante y su valor es de aproximadamente 300000 [Km/s]. Al atravesar un medio material esta velocidad varía sin superar nunca su valor en el vacío. Cuando dos ondas se encuentran en un punto, el desplazamiento resultante en ese punto es la suma de los desplazamientos individuales producidos por cada una de las ondas. Si los desplazamientos van en el mismo sentido, ambas ondas se refuerzan; si van en sentido opuesto, se debilitan mutuamente. Este fenómeno se conoce como interferencia. Sí dos

pulsos que avanzan por una cuerda se encuentran, sus amplitudes se suman formando un pulso resultante. Si los pulsos son idénticos pero avanzan por lados opuestos de la cuerda, ver la Figura 2, la suma de las amplitudes es cero y la cuerda aparecerá plana durante un momento (A). Esto se conoce como interferencia destructiva. Cuando dos pulsos idénticos se desplazan por el mismo lado, la suma de amplitudes es el doble de la de un único pulso (B). Esto se llama interferencia constructiva.

2.4. Ondas Estacionarias Cuando dos ondas de igual amplitud, longitud de onda y velocidad avanzan en sentido opuesto a través de un medio se forman ondas estacionarias. Por ejemplo, si se ata a una pared el extremo de una cuerda y se agita el otro extremo hacia arriba y hacia abajo, las ondas se reflejan en la pared y vuelven en sentido inverso. Si suponemos que la reflexión es perfectamente eficiente, la onda reflejada estará media longitud de onda retrasada con respecto a la onda inicial. Se producirá interferencia entre ambas ondas y el desplazamiento resultante en cualquier punto y momento será la suma de los desplazamientos correspondientes a la onda incidente y la onda reflejada. En los puntos en los que una cresta de la onda incidente coincide con un valle de la reflejada, no existe movimiento; estos puntos se denominan nodos. A mitad de camino entre dos nodos, las dos ondas están en fase, es decir, las crestas coinciden con crestas y los valles con valles; en esos puntos, la amplitud de la onda resultante es dos veces mayor que la de la onda incidente; por tanto, la cuerda queda dividida por los nodos en secciones de una longitud de onda. Entre los nodos (que no avanzan a través de la cuerda), la cuerda vibra transversalmente.

Podemos resumirlo como la interferencia de dos movimientos armónicos de la misma amplitud y longitud de onda. La ecuación de la onda incidente que viaja hacia la derecha esta dada por:  i  A sin  kx   t 

1

Y la ecuación de la onda reflejada que viaja hacia la izquierda es:

 r A sin kx  t 

2 

La superposición de ambas ondas, se expresa como la suma de las ecuaciones (1) y (2), es decir:   i  r   A sin kx   t   sin kx   t   2 A sin kx  cos t 

3 

La ecuación (3) representa una onda estacionaria y no así una onda de propagación, en la cual cada punto de la cuerda vibra con una frecuencia ω y tiene una amplitud 2Asin(kx). En la onda estacionaria se llama nodos a los puntos en los cuales se tiene una amplitud mínima, es decir:    2 A sin kx 0 ; eso es para x n

2

4

Por otro lado, cualquier movimiento ondulatorio, satisface la siguiente ecuación: 2  2 2   v t 2 x 2

5 

Donde: - v es la velocidad de propagación de la onda. En el caso de ondas estacionarias en una cuerda la ecuación de movimiento ondulatorio, esta dada por: 2  2 T   6   x 2 t 2 Donde: - μ es la velocidad de propagación de la onda. - T es la tensión ejercida sobre la cuerda. Comparando la ecuación (5) y (6) se obtiene la velocidad de propagación de las ondas transversales en una cuerda como: v

T



7 

Además, si v = λƒ, la ecuación (7) se puede expresar como: 

1 f

T 

8 

Donde: - ƒ es la frecuencia de oscilación

3. EQUIPOS Y MATERIALES - Equipo de ondas estacionarias en una cuerda - Un trozo de cuerda ligera. - Regla graduada con pestañas - Dinamómetro

3.1. Procedimientos 1.- Enchufar el quipo de ondas estacionarias en una cuerda al tomacorriente de 220 V. 2.- Encender el equipo de ondas estacionarias 3.- Variar la tensión en la cuerda con la ayuda de la varilla deslizante, moviéndola lentamente de manera que se forme la onda fundamental, es decir que se pueda observar un solo antitodo. 4.- Una vez formada la onda fundamental ajusta el tornillo de sujeción de la varilla deslizante. 5.- Lee en el dinamómetro la tensión aplicada a la cuerda y mide la distancia entro nodo y nodo, evitando producir contacto entre las pestañas de la regla graduada y la cuerda en oscilación, para no causar la ruptura de la cuerda. 6.- Registra tres lecturas de longitud medida 7.- Repite el paso 4, 5 y 6 de manera que se pueda observar 2, 3, 4 y 5 antinodos.

3.2. Precauciones 1.- Por las características del dinamómetro, no aplicar tensiones mayores a 1 [N]. 2.- Tener cuidado en no tocar el alambre que conecta el motor y la cuerda, ya que se descalibraría el equipo.

4. TABLA DE DATOS Y RESULTADOS 4.1. Mediciones Directas 4.1.1. Longitud de la cuerda

L  3,51 0,01  m ; 0,3%

4.1.2. Masa de la cuerda 4.1.3. Datos de la Tensión en la M cuerda y distancias entre y Nodo  0,5593 0,0001 0,02%   g ;Nodo Tabla 1 Nº 1 2 3 4 5

Nº de Nodos 2 3 4 5 6

T [N] D1 [m] D2 [m] D3 [m] 0,760 0,190 0,075 0,040 0,020

0,747 0,377 0,248 0,183 0,158

0,746 0,378 0,263 0,190 0,154

0,748 0,377 0,247 0,194 0,158

4.2. Resultados 4.2.1. Parámetros de la Linealización A  0,21 0,03 ; 14% B  0,44  0,02 ; 4% r 0,99 %

4.2.2. Ecuación de ajuste λ = ƒ(T)  1,6 T 0, 44

4.2.3. Frecuencia de Oscilación

 

f  0,0 0,0 1 ; 0,0% s

5. GRAFICOS Y CALCULOS 5.1. Datos de la Tensión y Longitud de Onda Tabla 2 Nº de Nº D [m] T [N] λ = 2D [m] Nodos 1 2 0,747 0,760 1,494 2 3 0,37733333 0,190 0,75466667

3 4 5

4 5 6

0,25266667 0,075 0,50533333 0,189 0,040 0,378 0,15666667 0,020 0,31333333

5.2. Grafico de la Longitud de Onda VS Tensión

  m  1,5

1,0

0,5

T N  0 0,1

0,2

0,3

0, 4

0,5

0,6

0,7

De acuerdo a la ecuación teórica, se tiene: 

1 f 

T

1

2

Y de la grafica tenemos que el mejor ajuste pertenece a una potencial, entonces:  aT b

Donde: a

1 f



y

b

1 2

0,8

Entonces la linealización se realizara por el método de los logaritmos. log   A  B log T

De donde: A log a 5.3. Datos para la ecuación de ajuste

Nº 1 2 3 4 5

y

B b

Tabla 3 Log T Log λ - 0,11918641 0,17435060 - 0,72124640 - 0,12224483 - 1,12493874 - 0,29642205 - 1,39794001 - 0,42250820 - 1,69897000 - 0,49939765

5.5. Relación funcional Línealiada

n 5

 log  1,166222138  logT  5,062281556   logT log   1,839947818   logT   6,640624273   log   0,5611191551  di  0,0023312081823 2 2

2

A  0,20720729 B  0,4350328134

 A  0,0260976943 0,03  B  0,0248069466 0,02 r 0,99 % A  0,21 0,03 ; 14% B  0,44 0,02 ; 4%

  7,576426806532



2

 0,0007770694

log   0,21 0,44 log T

5.6. Relación funcional λ = ƒ(T) a 10 A 1,621810097 Calculando el error de " a" 2

  a  a    A  A     a 10 A ln 10  A  a 0,1120306726 0,1

a  1,6 0,1 ; 6% b  0,44 0,02 ; 4%

 1,6 T 0, 44

5.7. Densidad lineal de la masa Calculando el error de la Densidad Lineal 1   1,787949222 M L

L M   6,27570177



 M



L 11,2206361 M2

       L  L

  6,3 0,1  Kg m ; 2%  



2

       M   M 0,1122065034 0,1

  

2

5.8. Frecuencia de Oscilación Calculando el error de la Frecuencia de Oscilación

a

f 1  2 0,1556287252 a a 

1

 1 f  a  f

f 1  0, 0197623778 3 u 2a   f    f  f       a      a       f 0, 0156878461 0, 02 2

f  0,2490059603

 

f  0,25 0,02 1 s ; 8%

2

6. RESPUESTAS AL CUESTIONARIO 1.- ¿En qué factor se incrementa la tensión de la cuerda para triplicar la velocidad de propagación? ¿Y en que factor se disminuirá la tensión de la cuerda para reducir la velocidad de propagación a la misma? R.- De la ecuación: v

T



Tenemos: v2 

T



y

T v 2 

Sea entonces: v 1 3v

y

1 v2  v 2

Sustituyendo vx en la primera ecuación y utilizando la segunda ecuación para reemplazar lo encerrado entre paréntesis tenemos: 2

v1 

T1

 T 9v 2  1  T1 9 v 2   T1 9T

T 2 v2  2  1 2 T2 v   4



1 2 v  4 1 T2  T 4 T2 



De lo que concluimos que: - Para triplicar la velocidad de propagación se debe incrementar la tensión nueve veces - Para reducir la velocidad de propagación a la mitad se debe reducir la tensión cuatro veces

2.- ¿Existe transporte de energía en las ondas estacionarias? Explica. R.- Si, puesto que su ecuación se asemeja a la de un movimiento de oscilación armónica simple y además todo lo que presenta movimiento alguno significa que exista una energía de por medio....