Informe de laboratorio Ondas estacionarias en una cuerda tensa - ciclo 1 PDF

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Summary

En esta practica de laboratorio se pretende
estudiar las ondas estacionarias que se transmiten o resuenan
en medios como una cuerda tensa. Se tuvieron en cuenta
factores como el comportamiento de las ondas, la relación
entre frecuencia y tención, la longitud de la cuerda ...

Description

Ondas estacionarias de una cuerda tensa Standing waves of a tense string Diana Marcela López García, Esteban Preciado Salazar, William Leonardo Restrepo Gonzales Departamento de Física, Universidad Tecnológica de Pereira, Pereira – Colombia [email protected] [email protected] [email protected]

Resumen – En esta practica de laboratorio se pretende estudiar las ondas estacionarias que se transmiten o resuenan en medios como una cuerda tensa. Se tuvieron en cuenta factores como el comportamiento de las ondas, la relación entre frecuencia y tención, la longitud de la cuerda y la frecuencia, además de otros aspectos importantes en el estudio del movimiento de una onda que nos permite comprender mejor fenómenos cotidianos asociados.

Palabras clave –. Numero de segmentos, onda estacionaria, tensión, frecuencia longitud de onda, velocidad de onda.

En una cuerda fija en ambos extremos, se pueden formar ondas estacionarias de modo que siempre los puntos extremos son nodos. La cuerda puede oscilar con distintas formas denominadas modos de vibración, con nodos entre sus extremos, de tal manera que las longitudes de onda  correspondientes a las ondas estacionarias cumplen con la relación:

Abstract- This laboratory practice aims to study the standing waves that are transmitted or resonate in media such as a taut string. Factors such as wave behavior, the relationship between frequency and tension, string length and frequency were taken into account, as well as other important aspects in the study of the movement of a wave that allows us to better understand associated everyday phenomena. Key Word-. Number of segments, standing wave, voltage, frequency, wavelength, wave speed.

I. INTRODUCCIÓN

Las ondas estacionarias no son ondas de propagación sino los distintos modos de vibración de una cuerda, una membrana, etc. Cuando dos trenes de onda de la misma frecuencia, velocidad y amplitud, viajan en sentidos opuestos, la superposición de ellos da lugar a ondas estacionarias. Una de las características más importantes de estas ondas es el hecho de que la amplitud de la oscilación no es la misma para diferentes puntos, sino que varía con la posición de ellos. Hay puntos que no oscilan, es decir, tienen amplitud cero; dichas posiciones se llaman nodos.

donde L es el largo de la cuerda y n = 1, 2, 3,... son los armónicos Sabemos que la velocidad de propagación de una onda en un medio homogéneo, esta dado por:

con gran amplitud, fenómeno que recibe el nombre de resonancia.

Siendo f la frecuencia de la vibración. Por otra parte, la velocidad de propagación de una onda transversal en una cuerda, está dada por:

Donde T es la tensión de la cuerda y  su densidad lineal. De las expresiones (1), (2) y (3) Ud. puede deducir que:

II. MARCO CONCEPTUAL

Las ondas estacionarias en una cuerda son el resultado de la superposición de ondas armónicas propagándose por una cuerda en la que ambos extremos están fijos. Si se hace vibrar uno de los extremos siguiendo un Movimiento Armónico Simple (MAS) perpendicular a la cuerda, éste se propaga en forma de onda armónica por la cuerda. Al llegar a los extremos fijos, la onda se refleja de forma que al final en la cuerda tendrá lugar la superposición de las ondas que da lugar a la onda estacionaria. Suponiendo inicialmente una cuerda fija en su extremo izquierdo, que hacemos coincidir con el origen de coordenadas, podemos representar las ondas incidente (que viaja hacia la izquierda) y reflejada (que viaja hacia la derecha) respectivamente como :

la cuerda. Esta expresión da todas las frecuencias naturales de oscilación de la cuerda, o dicho de otra forma, las frecuencias correspondientes a los distintos modos de vibración de Para n =1, se obtiene

siendo el primer armónico o frecuencia fundamental de la cuerda. Y para n = 2,3,... se obtienen f2, f3,,....., llamados armónicos. Cuando una cuerda se pone en vibración, las oscilaciones se amortiguan y se reducen gradualmente a cero. Trate Ud. de explicar las principales causas de este amortiguamiento investigando las posibles disipaciones de energía. Es posible superar los efectos del amortiguamiento comunicando energía al sistema mediante una fuerza propulsora externa. Si la frecuencia de ésta es muy parecida a una de las frecuencias naturales de vibración de la cuerda (dada por la expresión (4)), entonces ella vibrará con esa frecuencia y

donde y0 es la amplitud del MAS, f es la frecuencia del MAS y λ es el Longitud de Onda. f y λ se relacionan a través de la velocidad de propagación de la onda v = λ f = TL / m , donde T es la tensión a la que está sometida la cuerda, y m y L son su masa y longitud. De la superposición de ambas ondas resulta una onda estacionaria, descrita por la ecuación:

Modo fundamental

la cual explica la aparición de nodos (N), donde la cuerda está siempre en reposo, y antinodos, o valles, (A), donde las oscilaciones de la cuerda alcanzan su máxima amplitud (2y0). La posición de dichos nodos xN se puede obtener a partir de la ecuación anterior (ver más abajo). Así mismo, al imponer en dicha ecuación que el extremo derecho de la cuerda también sea fijo, se obtiene el conjunto de frecuencias discretas fn (o armónicos) para las cuales la cuerda soporta ondas estacionarias:

Masa: 0,26248 kg Armónico Frecuencia (Hz) Fuerza (N) Longitud (m) 24,782

1,29

33,985

0,96

37,764

0,88

44,282 2

50,226

0,79 2,572

0,7

Tabla 3. Oscilaciones de una cuerda tensa con longitud variable.

a)

Con los datos del numeral 3 del procedimiento: • Construya una gráfica de frecuencias f en función del número de vientres n. ¿Qué clase de curva obtiene? ¿Cómo varía la frecuencia en función de los vientres?

III. ANALISIS Y RESULTADOS Para realizar el análisis de la practica la profesora facilitó los datos obtenidos de una practica anterior, estos datos fueron consignados en las tablas 1, 2 y 3. m arandela= 0,02367 kg m porta masa= 0,04945 kg m total= 0,26248 kg # arandelas = 9

Gráfica 1. Frecuencia vs No. Armónicos

L cuerda = 1,613 m Fuerza = 2,572 N Armónico

Frecuencia (Hz)

1

14,838

2

30,648

3

46,077

4

62,371

5

80,379

•

Tabla 1. Oscilaciones de una cuerda tensa para 5 armónicos.

Modo fundamental L= 1,058 m Armónico Frecuencia (Hz) Fuerza (N) 29,967 2,34

2

En el gráfico no se obtiene una curva, por el contrario, tiene un comportamiento lineal, esto quiere decir que las frecuencias propias de oscilación de la cuerda son proporcionales al número de armónicos.

27,429

2,108

26,652

1,876

24,709

1,644

23,396

1,412

Tabla 2. Oscilaciones de una cuerda tensa con longitud fija.

Si la gráfica en el numeral anterior es una línea recta, haga el análisis correspondiente para obtener el valor de la densidad de masa µ (valor experimental) con su correspondiente incertidumbre.

La ecuación de la recta es 𝑦 = 𝐴𝑥 + 𝐵, por lo tanto, la ecuación resultante es: 𝑦 = 16,3 𝑥 + −1,98 𝐴= 𝜇= 𝜇=

1 𝑇 √ 2𝐿 𝜇

𝑇 (2𝐿𝐴)2

2,572 = 0,9302 𝑥 10−3 𝑘𝑔/𝑚 (2 ∙ 1,613 ∙ 16,3)2

Para hallar la incertidumbre de µ realizamos la regresión lineal correspondiente, estos datos se consignaron en la tabla 4. Posterior a esto se halla el valor de A y su incertidumbre, como B = 0, no es necesario hallar la incertidumbre de esta.

𝝁 = 𝟎, 𝟗𝟑𝟎𝟐 𝒙 𝟏𝟎−𝟑 ± 𝟎, 𝟎𝟏𝟕𝟓 𝒌𝒈/𝒎 •

ℓ𝑇

L cuerda = 1,613 m

longitud de la cuerda .

Fuerza = 2,572 N Armónico Frecuencia (x) (Hz) (y)

⅀

Determine la densidad teórica de la cuerda (con su respectiva incertidumbre) mediante la expresión: 𝑚 𝜇 = , donde m, es la masa de la cuerda y ℓ 𝑇 , la

x²

x*y

1

14,838

1

14,838

2

30,648

4

61,296

3

46,077

9

138,231

4

62,371

16

249,484

5 15

80,379 234,313

25 55

401,895 865,744

𝝁=

𝑚 0,26248 = = 𝟎, 𝟏𝟔𝟐𝟑 𝒌𝒈⁄𝒎 ℓ𝑇 1,613 •

Considere este valor como teórico y compare en términos de porcentaje el valor de µ obtenido en el paso anterior.

Comparando el valor experimental de µ con el teórico vemos que hay una diferencia de un 99,43%, siendo el valor experimental mucho mas pequeño que el valor teórico.

Tabla 4. Regresión lineal de gráfica 1.

b) Con los datos del numeral 4 del procedimiento: • Construya un gráfico de frecuencia en función de la raíz cuadrada de la tensión. ¿Es su grafica una línea recta?¿Por qué?

𝐴=

(5)(865,744) − ( 15)(234,313) = 16,2805 (5)(55) − (15)2

𝑆𝑦 = √

2,4384 = 0,9016 5−2

𝑆𝐴 = 0,9016√ 𝑆𝜇 = √( 𝑆𝜇 = √(

5

(5)(55) − (15)2

𝑆𝐴 2 𝑆𝑇 𝑆𝐿 ) + ( )2 + ( ) 2 𝐿 𝐴 𝑇 0,2851

Modo fundamental L= 1,058 m Armónico

2

√𝑭𝒖𝒆𝒓𝒛𝒂

Frecuencia (Hz) 29,967

Fuerza (N) 2,34

27,429

2,108

1,4519

26,652

1,876

1,3697

24,709

1,644

1,2822

23,396

1,412

1,1883

1,5297

Tabla 5. Oscilaciones de una cuerda tensa, longitud fija y raíz cuadrada de la tensión.

= 0,2851

0,001 0,001 2 ) + ( )2 + ( )2 = 0,0175 2,572 16,2805 1,613

Gráfico 2. Frecuencia vs Fuerza²

Se puede observar que la gráfica obtenida tiene un comportamiento lineal, es debido a que la frecuencia es directamente proporcional a la tensión.

A partir de su gráfico obtenga la ecuación que relaciona la frecuencia con la tensión y de esta ecuación obtenga un nuevo valor para µ con su respectiva incertidumbre. Compare este valor con el teórico.

•

La ecuación de la recta es 𝑦 = 𝐴𝑥 + 𝐵, por lo tanto, la ecuación resultante es: 𝑦 = 18,5 𝑥 + 1,14

517,0267 𝑆𝑦 = √ 5 − 2 = 13,1279

1 𝑇 √ 𝐴= 2𝐿 𝜇

𝑆𝐴 = 13,1279√

𝜇=

𝑆𝜇 = √(

𝜇=

𝑇 (2𝐿𝐴)2

2,572 = 0,7221 𝑥 10−3 𝑘𝑔/𝑚 (2 ∙ 1,613 ∙ 18,5)2

Para hallar la incertidumbre de µ realizamos la regresión lineal correspondiente, estos datos se consignaron en la tabla 6. Posterior a esto se halla el valor de A y su incertidumbre, como B = 0, no es necesario hallar la incertidumbre de esta. Modo fundamental L= 1,058 m

⅀

Frecuencia (Hz)(y) 29,967

√𝑭𝒖𝒆𝒓𝒛𝒂 (x) 1,5297

x²

x*y

2,34

70,1228

27,429

1,4519

2,108

57,8203

26,652

1,3697

1,876

49,9991

24,709

1,2822

1,644

40,6216

23,396

1,1883

1,412

33,0351

132,153

6,8217

9,38

251,599

Tabla 6. Regresión lineal de gráfica 2.

𝑆𝜇 = √(

(5)(251,599) − (6,8217)(132,153) = 978,26 (5)(9,38) − (6,8217)2

(5)(9,38) − (6,8217)2

= 48,628

𝑆𝐴 2 𝑆𝐿 𝑆𝑇 ) + ( )2 + ( ) 2 𝐿 𝑇 𝐴

48,628 0,001 0,001 2 ) + ( )2 + ( )2 = 0,0497 2,572 978,26 1,613

𝝁 = 𝟎, 𝟎𝟕𝟐𝟐𝟏 𝒙 𝟏𝟎−𝟑 ± 𝟎, 𝟎𝟒𝟗𝟕 𝒌𝒈/𝒎 Comparando el valor experimental de µ hallado con el teórico vemos que hay una diferencia de un 99,95%, siendo el valor experimental mucho más pequeño que el valor teórico. c)

Con los datos del numeral 5 del procedimiento: •

Construya un gráfico de frecuencia en función de 1/L. ¿Es el gráfico una línea recta?¿Por qué? Modo fundamental

Masa: 0,26248 kg Fuerza: 2,572 N Armónico

2 𝐴=

5

Frecuencia (Hz) 24,782

Longitud (m) 1,29

1/Longitud 0,7751937984

33,985

0,96

1,041666667

37,764

0,88

1,136363636

44,282

0,79

1,265822785

50,226

0,7

1,428571429

Tabla 7. Oscilaciones de una cuerda tensa con longitud variable e inversa.

𝐴=

(5)(225,33) − (5,6476)(191,039) = 39,5637 (5)(6,6204) − (5,6476)2

Gráfica 3. Frecuencia vs 1/Longitud

Se puede observar que la gráfica obtenida tiene un comportamiento lineal, es debido a que la frecuencia es directamente proporcional a la longitud. A partir de su gráfico obtenga la ecuación que relaciona la frecuencia con la longitud de la cuerda y de esta ecuación obtenga un nuevo valor para µ con su respectiva incertidumbre. Compare este valor con el teórico.

•

La ecuación de la recta es 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, por lo tanto, la ecuación resultante es: 𝑦 = 39,6 𝑥 + −6,48 𝑚= 𝜇= 𝜇=

1 𝑇 √ 2𝐿 𝜇

𝑆𝑦 = √

1,928 = 0,80 5−2

𝑆𝐴 = 0,80√ 𝑆𝜇 = √(

𝑇

(2𝐿𝑚) 2

2,572 = 0,1576𝑥10−3 𝑘𝑔/𝑚 (2 ∙ 1,613 ∙ 39,6)2

𝑆𝜇 = √(

Para hallar la incertidumbre de µ realizamos la regresión lineal correspondiente, estos datos se consignaron en la tabla 8. Posterior a esto se halla el valor de A y su incertidumbre, como B = 0, no es necesario hallar la incertidumbre de esta. Modo fundamental

5 = 1,6285 (5)(6,6204) − (5,6476)2

𝑆𝐴 2 𝑆𝑇 𝑆𝐿 ) + ( )2 + ( ) 2 𝐿 𝐴 𝑇

1,6285 0,001 0,001 2 ) + ( )2 + ( )2 = 0,0159 2,572 39,5637 1,613

𝝁 = 𝟎, 𝟏𝟓𝟕𝟔 𝒙 𝟏𝟎−𝟑 ± 𝟎, 𝟎𝟏𝟓𝟗 𝒌𝒈/𝒎 Comparando el valor experimental de µ hallado con el teórico vemos que hay una diferencia de un 99,90%, siendo el valor experimental mucho más pequeño que el valor teórico.

Fuerza: 2,572 N

⅀

Frecuencia (Hz)(y) 24,782

1/Longitud (x) 0,7752

x²

x*y

0,6009

19,2108

33,985 37,764

1,0417

1,085

35,4010

1,1364

1,2913

42,9136

44,282

1,2658

1,6023

56,0532

50,226

1,4286

2,0408

71,7514

191,039

5,6476

6,6204

225,33

Tabla 8. Regresión lineal de gráfica 3.

d) De los resultados obtenidos, determine cuál de los valores de µ es el más cercano al valor real. Justifique este resultado. De los tres valores obtenidos el resultado más cercano al valor teórico es 0,9302 𝑥 10−3 , el obtenido cuando se realizó la gráfica de frecuencias en función del número de vientres.

IV. CONCLUSIONES 1.

2.

3.

La relación entre la frecuencia y el número de armónicos es directamente proporcional, pues al aumentar el número de armónicos aumenta la frecuencia. El número de armónicos y la frecuencia también aumentan proporcionalmente al aumentar la tensión de la cuerda. Por otro lado, la frecuencia es inversamente proporcional a la longitud de la cuerda. La frecuencia fundamental es igual al primer modo de resonancia de la cuerda; los modos siguientes con múltiplos de la frecuencia fundamental. V. REFERENCIAS

[1] Generación de ondas estacionarias en una cuerda tensa - PUCP [En lnea]. Available: https://www.youtube.com/watch?v=D3QDX_O-poM [Último acceso: 04 septiembre 2021]. [2] Ondas Estacionarias en una Cuerda (Fiz 109C) [En lnea]. Available: http://srv2.fis.puc.cl/mediawiki/index.php/Ondas_Est acionarias_en_una_Cuerda_(Fiz_109C) [Último acceso: 04 septiembre 2021].

[3] Ondas estacionarias en una cuerda [En lnea]. Available: https://fisquiweb.es/Videos/OndasEstacionarias/index .htm [Último acceso: 05 septiembre 2021]....