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ESTUDIO DE LAS ONDAS ESTACIONARIAS EN CUERDAS Francisco Javier Pachón Santana – Ingeniería mecánica

Si buscas resultados distintos, no hagas siempre lo mismo. Albert Einstein

Resumen Las ondas son perturbaciones en el tiempo y en el espacio, que representan gran cantidad de fenómenos aplicables a diversos campos, por ejemplo, la música. Las ondas se pueden clasificar en mecánicas y electromagnéticas. Un caso particular en las ondas son las ondas estacionarias que no viajan en el espacio.

INTRODUCCIÓN En este informe se llevara a cabo el análisis de los datos obtenidos para la experiencia hecha en el laboratorio sobre las ondas estacionarias en cuerdas, Este tipo de ondas se caracterizan porque no viajan permanecen estáticas en el espacio y también por tener puntos constantes en el espacio los cuales son llamados nodos. En este laboratorio se pretende estudiar, cómo se comporta una onda estacionaria en cuerdas y como varían su longitud de onda según la tensión aplicada a la cuerda y la densidad de esta misma para cada medición. Este informe contiene 8 componentes fundamentales: objetivos, marco teórico, Metodología y Equipo, Tratamiento de datos, Análisis de resultados, Conclusiones y Referencias.

OBJETIVO GENERAL Estudiar las ondas estacionarias en cuerdas

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OBJETIVOS ESPECIFICOS • • • •

Hallar el valor de la frecuencia fundamental. Comprobar que los demás armónicos son múltiplos de la frecuencia fundamental. Obtener la velocidad de propagación de onda. Estudiar los valores de armónicos y frecuencia fundamental para diferentes tensiones y densidades de cuerda.

MARCO TEORICO El objeto de estudio es la formación de armónicos en una cuerda sujeta por ambos extremos, tensada y perturbada armónicamente. Las frecuencias naturales de vibración o frecuencias propias son aquellas para las que se forma en la cuerda una onda estacionaria. Para describir el movimiento de la onda es necesaria una función de dos variables: la posición y El tiempo. De esta manera, podemos conocer la posición y de cada punto o sección de la cuerda alrededor de su posición de equilibrio en función del tiempo t y del punto sobre la cuerda considerado.

Si a lo largo de la cuerda se desplaza una onda armónica, podemos caracterizar la misma mediante su frecuencia angular ω, frecuencia ν, longitud de onda λ, vector de ondas k y velocidad de propagación v. Se cumplen las siguientes relaciones:

El movimiento ondulatorio puede ser descrito mediante la siguiente ecuación:

Se emplea la función seno ya que la onda debe cumplir que en sus extremos la oscilación sea cero [ y(0,t)=y(L,t)=0 ]. En el caso de utilizar la función coseno, el argumento estaría desfasado en π/2 y las relaciones trigonométricas que se emplean después son algo diferentes.

Al reflejarse la onda yi en el extremo fijo habrá una superposición de ondas propagándose en direcciones opuestas. El signo de kx en el argumento cambiará. Además, la onda reflejada yr se habrá invertido (cambio en el signo de y debido a un desfase de π), y tras desarrollar mediante relaciones trigonométricas se obtiene:

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La función anterior se anula en x=0. Al estar ambos extremos fijos, debemos imponer que se anule también en x=L para todo t, donde L es la longitud de la cuerda entre los puntos fijos. Por tanto:

En consecuencia, se formarán ondas estacionarias para valores discretos de la frecuencia. El número natural n representa el orden del modo de vibración y coincide con el número de vientres que se observan en la onda estacionaria. Además, el cociente entre un armónico y la frecuencia fundamental dará un número entero.

Las ondas estacionarias se caracterizan por presentar puntos en reposo continuo, llamados nodos y regiones de cuerda donde la cuerda oscila alrededor del equilibrio (vientres), en cuyos centros se encuentran los puntos de máxima amplitud. Cuando n es 1, sólo hay un vientre, y la frecuencia se denomina fundamental. El número de vientres se corresponde con los múltiplos enteros de esta frecuencia. Cada punto de la onda estacionaria se puede describir como un movimiento vibratorio armónico simple (MVAS) con una amplitud alrededor del eje de equilibrio dependiente del punto de la cuerda que consideremos y con una frecuencia discreta.

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O bien observando en la gráfica que la distancia entre dos nodos es media longitud de onda o Analizando la ecuación se deduce que la longitud de onda se relaciona con n de la siguiente manera:

Por otra parte, podemos estudiar el efecto de la tensión en la cuerda y las características del material para relacionarlo con la velocidad de propagación. Haciendo un desarrollo teórico más general y empleando ecuaciones diferenciales se obtiene finalmente la ecuación de ondas:

Y la velocidad de propagación de la onda es:

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METODOLOGÍA Este laboratorio se encuentra dividido en tres fases metodológicas: Primera fase: en la primera fase de investigación se procedió a generar ondas estacionarias con un oscilador en búsqueda de los cinco primeros armónicos para diferentes densidades de cuerda aumentando la frecuencia hasta la aparición de cada uno de los armónicos manteniendo a su vez la tensión constante, llegando a un límite de 60 Hz de frecuencia finalmente se apuntan los datos obtenidos. Segunda fase: En esta fase se procedió al uso de la misma cuerda variando las distancias y encontrando a su vez los cinco primeros armónicos, tomando la fricción con la polea como despreciable para así encontrar la longitud de onda, finalmente se repitió el experimento para diferentes pesos y se apuntaron los datos obtenidos en la práctica. Tercera fase: se procede a la tabulación de datos, realización de cálculos, y análisis de datos para posteriores conclusiones.

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TRATAMIENTO DE DATOS. PARTE 1: DETERMINACIÓN DE LA DENSIDAD LINEAL DE DIFERENTES CUERDAS A TRAVÉS DE LA RELACIÓN DEL ESTUDIO DE ONDAS ESTACIONARIAS.

Cuerda Blanca Armónico

Cuerda Fucsia µ experimental [x10-4] [kg/m]

Armónico

5,32793436

2

Frecuencia [Hz] 13.7 29.76

3

1

Frecuencia [Hz] 8.32

14,44619083

4,516418083

2

15.66

16,31084557

42.61

4,95700596

3

27.7

11,72959377

4

N/A

N/A

4

42.17

5

N/A

N/A

5

N/A

8,997311997 N/A

1

µteó=4,82x10-4[kg/m]

µprom=4,93x10-4[kg/m]

µteo=12,74x10-4 [kg/m]

Cuerda Roja Armónico

µ experimental [x10-4] [kg/m] 6,170824465

Armónico

2 3

26.77 39.72

5,581658336 5,704584661

4 5

0 0

0 0

µteó=5,2x10-4[kg/m]

µteo=12,87x10-4 [kg/m]

Cuerda Verde

Frecuencia [Hz] 12.73

1

µ experimental [x10-4] [kg/m]

Frecuencia [Hz] 9.858

µ experimental [x10-4] [kg/m] 10,2901658

2 3

23.16

7,457321748 7,609886121

4 5

44.02

1

µprom=5,82x10-4[kg/m]

34.39 0

µteó=7,71x10-4[kg/m]

Cuerda Error Porcentual Blanca 2,28 Fucsia 1,02 Roja 11,9 Verde 8,95

6

8,256954781 0 µprom=8,4x10-4[kg/m]

Cálculo tipo para µ 𝑓=

𝑛

2𝐿

𝑇 ∗ √𝜇

Despejando µ 𝜇=

𝑛2 𝑇 4𝐿2 𝑓 2

Para cuerda blanca, µ1 T=0.02*9.8 T=0.196 [N] 𝜇1 =

12 ∗ 0.196 4 ∗ 0.72 ∗ 7

µ1=5,33x10-4 [kg/m] Cálculo tipo para error porcentual de µ 𝜀% = |

𝑇−𝐸 𝑇

| ∗ 100

Error cuerda blanca 𝜀% = |

4.82 − 4.93 | ∗ 100 4.82

𝜀% = 2,28%

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PARTE 2: DETERMINACIÓN DE LA VELOCIDAD EN CUERDAS A TRAVÉS DE LA RELACIÓN DE TENSIÓN Y LONGITUD DE ONDA.

L[m]

Armónico

0.240 0.515 0.732 0.980 1.120

1 2 3 4 5

Long. de Onda λ [m] 0.480 0.515 0.488 0.490 0.448 λprom=0.484

Tabla 2.1. Longitudes y modos normales de oscilación para una masa de 0.05 Kg.

L[m]

Armónico

0.325 0.628 0.870 1.294 1.567

1 2 3 4 5

L[m]

Armónico

0.290 0.570 0.820 1.220

1 2 3 4

1.540

5

Long. de Onda λ [m] 0.580 0.570 0.547 0.610 0.616 λPROM=0.585

Tabla 2.2. Longitudes y modos normales de oscilación para una masa de 0.07 Kg.

Long. de Onda λ [m] 0.65 0.628 0.580 0.647 0.627 λprom=0.626

L[m]

Armónico

0.342 0.663 0.923 1.350 1.607

1 2 3 4 5

Long. de Onda λ [m] 0.684 0.663 0.615 0.675 0.643 λprom=0.656

Tabla 2.4. Longitudes y modos normales de oscilación para una masa de 0.11 Kg.

Tabla 2.3. Longitudes y modos normales de oscilación para una masa de 0.09 Kg.

CÁLCULO TIPO 2𝐿

Dado que 𝜆 = , teniendo la longitud a la cual se presenta un n armónico, se puede calcular la longitud 𝑛 de onda. De la tabla 2.1 se tiene: L=0.24 ; n=1, entonces 𝜆 =

2∗(0.24) 1

= 0.480[𝑚].

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Relación entre la Tensión y la Longitud de onda λ 0,8

Long. Onda λ (m)

0,7 0,6

0,656

0,626

0,585 0,484

0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0,48

0,58

0,68

0,78

0,88

0,98

1,08

1,18

Tensión (N)

Grafico 2.1. Representación del cambio de longitud de onda λ respecto a la variación de la tensión CALCULO TIPO.

ሬԦ 𝑇

𝑻

Vteor=√ 𝝁 , para la masa de 0.05 (Kg), T=0.491 y μ=

෍𝐹 = 0

5,2*10-4(kg/m).

T=mg

Vteor=√

𝑚𝑔Ԧ

𝟎.𝟒𝟗

𝟓.𝟐∗𝟏𝟎−𝟒

= 30.7(m/s)

Vexp= λprom*f, donde f= 60(Hz) para todas las masas. Para la masa 0.05(kg), λprom=0.484*60=29.04(m/s)

Gráfico 2.1. Representación del análisis de fuerzas.

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Masa [kg] 0.05 0.07 0.09 0.11

Velocidad Teórica [m/s] 30,71268843 36,33974302 41,20539546 45,5542787

Tabla 2.5. Valores teóricos de la velocidad para las diferentes masas.

Masa [kg]

0.05 0.07 0.09 0.11

Velocidad experimental [m/s] 29,04 35,1 37,56 39,36

Tabla 2.6. Valores experimentales de la velocidad para las diferentes masas.

Cálculo de error porcentual para la velocidad. %error=

|𝑿𝒆𝒙𝒑 −𝑿𝒕𝒆𝒐𝒓 |

%error=

|𝟑𝟎,𝟕𝟐−𝟐𝟗,𝟎𝟒|

Masa [kg] 0.05 0.07 0.09 0.11

𝑿𝒕𝒆𝒐𝒓

𝟑𝟎.𝟕𝟐

*100 *100=5.44%

Error porcentual para la velocidad 5,446245569 3,411534923 8,846888674 13,59757826

Tabla 2.7. Errores porcentuales calculados para la velocidad en las diferentes masas.

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ANÁLISIS DE RESULTADOS. •

•

En la primera fase de la práctica, en la que se tenían diferentes cuerdas, las cuales se ubicaron con la misma longitud y tensión, pero cada una poseía una densidad lineal (μ diferente). En esta fase se midieron con diferentes armónicos su frecuencia, con el fin de obtener la densidad lineal experimental hallada de acuerdo a las ecuaciones previamente mencionadas. La cuerda roja fue la que presentó el mayor error debido a la sensibilidad del instrumento, el tratamiento matemático utilizado, ya que un error pequeño en la frecuencia representa un error mucho mayor en la densidad, y la determinación de los armónicos visualmente. En la segunda fase se halló la longitud de la cuerda para los diferentes armónicos, variando la masa, en donde se pudo hallar la longitud de onda (λ) y la tensión. Estos datos fueron necesarios para encontrar la velocidad. En la gráfica 2.1 se observa una relación directa, es decir, si una aumenta, aumenta la otra, válido esto para una frecuencia constante. El mayor error se presentó en la masa de 0.11 kg, debido a que hacer la longitud de onda más larga, se presenta una menor precisión en la medición.

CONCLUSIONES

•

Se puede inferir que la velocidad de onda guarda una relación directa con los parámetros de tensión, frecuencia y longitud de onda pues a medida que la velocidad aumenta estos también aumenta

•

La velocidad de onda presenta una relación inversa con el parámetro de 𝜇.

•

La velocidad de onda es directamente proporcional a la longitud de onda si la frecuencia es constante.

•

A medida que la masa o la tensión aumenta, la longitud de onda también crecerá proporcionalmente para ondas generadas en la misma cuerda y con la misma frecuencia.

•

Al encontrar la frecuencia fundamental se comprobó que los otros armónicos son sus múltiplos.

REFERENCIAS • • • •

Sears. (2013). Física universitaria. Bauer, W. (2014). Física para ingenierías y ciencias. http://lab.ciencias.uis.edu.co/app/components/research/fisica3/i2.pdf http://wwwpub.zih.tu-dresden.de/~fhgonz/carrera/2o/temo/Ondas_estacionarias_FHG.pdf

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ANEXOS Anexo 1. Tabla de datos

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