Memoria 3 - \"Ondas estacionarias\" PDF

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Memoria prácticas: "Ondas estacionarias"
Profesora: MARIA DEL CARMEN LEMOS FERNANDEZ...

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Memoria de la tercera tanda de prácticas de “Técnicas Experimentales Básicas” Práctica 19. Ondas estacionarias

Carmen Gil López

1º Grado en Física Realizado el 16/05/16

Grupo 1 a

Entregado el 06 /06/16

Curso 2015-16

Índice • Objetivos …………………………………………….. 3 • Introducción ……………………………………….. 3 • Fundamento teórico ……………………………. 4 • Material ………………….…………………..………. 9 • Método experimental ……………………..….. 9 • Resultados ………………………………………….. 10 • Cuestiones …………………………………….……. 14 • Conclusiones ………………………………………. 16 • Bibliografía …………………………………………. 17 pág. 2

• Objetivos Esta práctica fue realizada en el laboratorio de la asignatura de Técnicas Experimentales Básicas, ubicado en la entreplanta de la Facultad de Física de la Universidad de Sevilla. El objetivo de la misma fue el estudio de manera experimental del comportamiento de las ondas estacionarias, sus características en una cuerda tensa y en un tubo con un extremo cerrado. Así pues, diferenciamos dos partes: En la primera experiencia de la cuerda junto con un dispositivo de vibración, se determinó la velocidad de propagación de una onda en varias cuerdas, con una densidad lineal conocida y una tensión de tracción medida. A partir de la longitud de la cuerda y el número de vientres o antinodos calculamos las longitudes de ondas. En cuanto a la segunda experiencia, en función de diferentes frecuencias emitidas por un altavoz, se midió las longitudes de ondas en aquellos puntos donde se produjese el efecto de resonancia, para finalmente determinar la velocidad de propagación de las ondas en el aire.

• Introducción Gran parte del conocimiento actual del movimiento ondulatorio proviene del estudio acústico. Los antiguos filósofos griegos, muchos de los cuales estaban interesados en la música, tenían la hipótesis de que había una conexión entre ondas y sonidos, y que las vibraciones o alteraciones, debían ser las responsables de los sonidos. Pitágoras observó, que cuando los hilos vibraban producían sonido, y determinó la relación matemática entre las longitudes de los hilos que creaban tonos armoniosos. Las teorías científicas de la propagación de las ondas cobraron gran importancia en el siglo XVII, cuando Galileo Galilei afirmó la conexión entre los cuerpos que vibran y los sonidos. Con sus experimentos, Galileo descubrió los principios básicos del MAS. Robert Boyle, probó que el sonido no puede viajar a través del vacío, por lo que este necesariamente deberá propagarse por un medio (el aire) y en forma de onda. Isaac Newton publicó una descripción matemática sobre cómo viaja el sonido en su recorrido y en el siglo XVIII, el matemático y científico Francés Jean Le Rond d’Alembert derivó la ecuación de la onda; ecuación que constituyó la base para las siguientes generaciones de científicos que estudiaron y describieron los fenómenos de las ondas.

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El físico holandés Christian Huygens elaboró una teoría ondulatoria acerca de la naturaleza de la luz, que con el tiempo vendría a ser el fundamento de la teoría corpuscular de Newton. En un comienzo se pensaba que para que fuera posible la propagación de la onda, debía existir un medio material. Así, el aire era el soporte de las ondas sonoras y el agua el de las ondas producidas en la superficie de un lago, estas serían las actualmente conocidas como ondas mecánicas. Más tarde, Huygens supuso que todo objeto luminoso produce perturbaciones en el éter (sustancia que se creía que ocupaba todo el espacio como un fluido), este descubrimiento seria la base para la definición actual de onda electromagnética como la forma de propagación de la radiación electromagnética a través del espacio.

• Fundamento teórico Una onda estacionaria es el resultado de la superposición de dos movimientos ondulatorios armónicos de igual amplitud, y frecuencia (o longitud de onda) que se propagan en sentidos opuestos a través de un medio. Las ondas estacionarias permanecen confinadas en un espacio (cuerda, tubo con aire, membrana, etc.). La amplitud de la oscilación para cada punto depende de su posición, la frecuencia es la misma para todos y coincide con la de las ondas que interfieren. Por otro lado, son caracterizadas por tener ciertos puntos de la onda llamados nodos que permanecen inmóviles (no vibran), mientras que otros (vientres o antinodos) lo hacen con una amplitud de vibración máxima, igual al doble de la de las ondas que interfieren, y con una energía máxima. El nombre de onda estacionaria proviene de la aparente inmovilidad de los nodos y señalamos que la distancia que separa dos nodos o dos antinodos consecutivos es media longitud de onda. Existen distintos tipos de ondas. Dependiendo el criterio que se tome, encontramos las siguientes. 

Según su dirección:

1) Ondas transversales: Las partículas por las que se transporta la onda se desplazan de manera perpendicular a la dirección en que la onda se propaga. 2) Ondas longitudinales: Las partículas se desplazan paralelamente a la dirección en que la onda viaja.

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

Según el medio en que se propagan:

1) Ondas electromagnéticas: Estas ondas no necesitan de un medio para propagarse en el espacio, lo que les permite hacerlo en el vacío a velocidad constante, ya que son producto de oscilaciones de un campo eléctrico que se relaciona con uno magnético asociado. Las ondas electromagnéticas son transversales ya que el campo eléctrico y magnético son perpendiculares entre sí y a la dirección de propagación. Ambos campos están en fase ya que alcanzan valores máximos y nulos a la vez. Estas ondas pueden manifestarse de diversas maneras como calor radiado, luz visible, rayos X o rayos gamma. 𝐸󰇍 = 𝐶𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑒𝑙é𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜 𝐵󰇍 = 𝐶𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑚𝑎𝑔𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑜 2) Ondas mecánicas: A diferencia de las anteriores, necesitan un medio material para propagarse, ya sea elástico o deformable. Este puede ser sólido, líquido o gaseoso y es perturbado de forma temporal. El sonido es el ejemplo más conocido de onda mecánica. Otros ejemplos serían las ondas sísmicas, ondas en el agua o en una cuerda. 3) Ondas gravitacionales: Estas ondas son perturbaciones que afectan la geometría espacio-temporal que viaja a través del vacío, producida por un cuerpo masivo acelerado. Su velocidad es equivalente a la de la luz. La existencia de ese tipo de onda fue predicha por Einstein en su teoría de la relatividad general. La primera observación directa de las ondas gravitatorias se logró en 2015. Los autores de esta detección, tras un análisis minucioso, fueron los que anunciaron el descubrimiento al público el 11 de febrero de 2016; cien años después de que Einstein predijera la existencia de estas ondas. La detección de ondas gravitatorias constituye una nueva e importante validación de la teoría de la relatividad general. Fue en 1924, el físico francés, Louis-Victor de Broglie, quien formuló una hipótesis en la que afirmaba que toda la materia presenta características tanto ondulatorias como corpusculares, comportándose de uno u otro modo dependiendo del experimento específico. Propuso que a cada partícula material se le asocia una onda, de tal manera que la frecuencia y la longitud de onda de la misma estén determinadas por la energía y la cantidad de movimiento de la partícula. ℎ 𝜆= 𝑝

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Debido al pequeño valor de h, solamente podemos detectar el comportamiento ondulatorio en partículas muy pequeñas (electrones, protones, neutrones, etc); siendo despreciable en el mundo macroscópico. Concretamente, nos centraremos en las ondas mecánicas, donde la velocidad depende solamente de las características del medio. En el caso de una cuerda, la formación de ondas estacionarias se debe a la suma de infinitos modos de vibración, llamados modos normales. Un ejemplo cotidiano de onda mecánica son las ondas sonoras, generadas muchas de ellas por instrumentos musicales como el piano o la guitarra (ondas en una cuerda con dos puntos fijos). En la primera experiencia de nuestra práctica, observamos que si en un punto de una cuerda se produce un movimiento vibratorio, con desplazamientos perpendiculares a la cuerda, la perturbación se propaga a lo largo de la misma, a todos sus puntos, en forma de onda transversal. Cuando se refleja de un extremo de la cuerda estirada, las ondas incidente y reflejada se combinan para formar una onda estacionaria que contiene nodos y antinodos. La velocidad de propagación de la onda viene dada por:

𝑣=√

𝐹 𝜌

En el caso de una guitarra, si pulsamos de una manera que no es una de sus frecuencias de resonancia, se tiene un sonido que no suena bien. A esto se le llama armónico; originándose en el ámbito de la música, donde se observaba como había determinadas notas que no armonizaban. Estas notas correspondían justamente a frecuencias de resonancias y por eso, a estas frecuencias se les denominaron armónicos. 𝑓=𝑛

𝑣 2𝐿

Algunas de las características más importantes de las ondas son la elongación (distancia de cada partícula vibrante a su posición de equilibrio), amplitud (distancia máxima de una partícula a su posición de equilibrio), longitud de la onda (distancia mínima entre dos partículas que vibran en fase), periodo (tiempo en el que una partícula realiza una vibración completa) y frecuencia (número de oscilaciones de las partículas vibrantes por segundo).

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La velocidad de propagación de la onda, su frecuencia y longitud están relacionadas por la expresión: 𝑣 = 𝜆𝑓 Por lo que para un valor de la frecuencia impuesta por el vibrador, la longitud de onda dependerá de la velocidad de propagación y por tanto, de la tensión aplicada a la cuerda. Todo movimiento ondulatorio al incidir sobre la superficie que separa dos medios de distintas propiedades mecánicas, ópticas, etc., en cierta parte se refleja y se transmite. La reflexión se presenta cuando la onda colisiona contra un obstáculo haciendo que cambie la dirección de propagación de la onda. Cuando una onda de cualquier tipo llega a la separación de dos medios distintos, una parte de su energía se transmite al segundo medio, dando lugar en este último a otra onda de características semejantes de la onda incidente y que recibe el nombre de onda transmitida. Otra parte de la energía se emplea en generar otra onda que se propaga hacia atrás en el primer medio y que se llama onda reflejada. Este cambio de dirección se produce como consecuencia de la diferente velocidad de propagación que tiene dicha onda en ambos medios. Cuando las ondas mecánicas llegan a un medio menos denso que en el que se está propagando, se reflejan y no se invierten. Sin embargo, cuando llegan a un medio más rígido, se reflejan invertidas y en este momento empiezan a circular por un mismo medio ondas en un sentido y otro; produciéndose un patrón de ondas estacionarias. Para determinadas frecuencias, aparecen los modos normales de vibración o las frecuencias resonantes. En el caso de una cuerda tensa sujeta por sus extremos, al hacerla vibrar, la onda incidente se refleja en el otro extremo sufriendo un desfase de π radianes. La superposición de las ondas incidente y reflejada propagándose en el mismo medio produce ondas estacionarias; las cuales se rigen por la expresión: 𝑦 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝑘 𝑥 cos 𝑤 𝑡 𝑘=

2𝜋 𝜆

𝑇=

2𝜋 𝑤

La longitud de la cuerda y los posibles nodos están relacionados mediante: 𝜆=2

𝐿 𝑛

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Existen otros fenómenos característicos de las ondas; como el fenómeno de refracción, siendo el que produce el cambio de dirección que experimenta una onda al pasar de un medio material a otro. Solo se produce si la onda incide oblicuamente sobre la superficie de separación de los dos medios y si estos tienen índices de refracción distintos. Y la difracción, basada en el curvado y esparcido de las ondas cuando encuentran un obstáculo o cuando atraviesan una rendija. La difracción ocurre en todo tipo de ondas, desde ondas sonoras, ondas en la superficie de un fluido y ondas electromagnéticas como la luz y las ondas de radio. Cuando ondas longitudinales (de sonido) se propagan en un fluido dentro de un tubo con longitud finita, se reflejan en los extremos igual que las ondas transversales en una cuerda. La superposición de las ondas que viajan en direcciones opuestas forman también una onda estacionaria. Estas ondas sonoras creadas en el tubo pueden servir para crear ondas de sonido en el aire existente. Éste es el principio de la voz humana y de muchos instrumentos musicales, incluidos los de viento de madera y de metal, y los órganos (tubos abiertos por un extremo y por el otro cerrado en los que la columna de aire en su interior comienza a vibrar, existiendo una serie de modos normales posibles, igual que en una cuerda estirada). Nuestra segunda experiencia en el laboratorio se basa en el funcionamiento de éste. Utilizamos un tubo de resonancia en vertical, comunicado mediante un tubo de goma a un recipiente con agua. Al variar la altura del recipiente, varia el nivel del agua en el tubo vertical y por tanto la longitud de la columna de aire que queda en su interior. Mediante un altavoz en el que se puede regular las frecuencias impuestas, se coloca en el extremo abierto del tubo de forma que se emite una onda sonora y esta se propaga por el tubo hasta reflejarse en la superficie del agua. Estas ondas sufren un cambio de fase de π radianes, mientras que las reflexiones en el extremo superior del tubo no producen desfase. Como hemos señalado antes, la superposición de las ondas incidentes y reflejadas para determinadas longitudes de la columna de aire en el tubo y determinadas frecuencias, producen ondas sonoras estacionarias, con un nodo en el extremo cerrado y un antinodo en el extremo abierto del tubo. Al variar la columna de aire habrá un tramo donde el sonido sea más intenso; este efecto que podemos apreciar es llamado resonancia. La resonancia es un fenómeno que se produce cuando un cuerpo capaz de vibrar es sometido a una fuerza periódica, cuyo periodo de vibración se acerca al periodo característico de dicho cuerpo. Al aplicar una fuerza relativamente pequeña, hace que la amplitud del sistema oscilante se haga muy grande.

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Este efecto ocurre cuando la longitud de la columna de aire en el tubo es un múltiplo impar de un cuarto de longitud de onda: 𝜆 𝐿 = (2𝑛 + 1) 4

• Material El material utilizado es el siguiente:

• Método experimental Una vez montado el vibrador con la cuerda, siendo esta sujetada por sus extremos, medida su longitud y tensada, ponemos el dinamómetro en cero e iniciamos el movimiento. Al conectar el vibrador, se crea un movimiento armónico en el extremo de la cuerda, propagándose a través de ella hasta formarse una onda estacionaria

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entre dicho extremo y la polea. Bajamos la barra hasta conseguir el número de vientres o antinodos deseado y anotamos los valores que nos indica el dinamómetro.

En la segunda parte de nuestra práctica, elevamos el recipiente que contiene agua hasta que el nivel del agua en el interior del tubo esté próximo al extremo superior. Conectamos el altavoz con diferentes frecuencias y variamos la altura del recipiente con agua, llegando a escuchar un sonido cada vez más intenso; es decir, hasta que alcance la resonancia. Al localizar la posición del primer nodo, lo marcamos en el tubo con una señal. Bajamos el nivel del agua hasta determinar el segundo nodo y medimos la separación entre los dos nodos con la regla graduada. Repetimos el proceso para diferentes frecuencias y medimos en cada caso la longitud de onda.

• Resultados En la primera parte de la práctica hemos medido la longitud de la onda y las correspondientes fuerzas (tensión de tracción) para cada antinodo, para poder calcular las longitudes de onda y velocidad de propagación. Estos valores se han obtenido mediante: 𝐹 𝑣=√ 𝜌

𝑣2 =

𝐹 𝜌

2𝑣 𝑑𝑣 = ∆𝑣 =

𝑑𝐹 𝜌

𝜆=

2𝐿 𝑛

∆𝐿 ∆𝜆 = 𝜆 [ ] 𝐿

∆𝐹 2𝑣 𝜌

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La siguiente tabla muestra los valores medidos en el laboratorio y los calculados posteriormente.

Al representar gráficamente en el programa informático Excel la velocidad de propagación frente a la longitud de onda obtenemos:

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Las pendientes de las rectas (recta de regresión) que mejor se ajustan a los puntos experimentales corresponden a las frecuencias de las ondas. -Cuerda blanca:

𝑚 𝑦 = (0,54 ± 0,17) · 102 (𝑠 −1 ) 𝑥 + (−0,08 ± 0,11) · 102 ( ) 𝑠

-Cuerda marrón:

𝑚 𝑦 = (0,43 ± 0,22) · 102 (𝑠 −1 ) 𝑥 + (0,02 ± 0,14) · 102 ( ) 𝑠

Como vemos en ambas rectas, el error de la ordenada en el origen es mayor que el propio valor, por lo que prácticamente pasa por el origen. Determinamos el valor medio de la frecuencia a partir de las dos gráficas. 𝜈=

𝜈1 + 𝜈2 2

∆𝜈 =

𝜈1 − 𝜈2 2

En la segunda parte de la experiencia, medimos en el laboratorio la mitad de la longitud de onda; por lo que multiplicaremos por 2 dicho valor para obtener la longitud. También disponíamos de las distintas frecuencias para posteriormente

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calcular la inversa. Estos valores con sus correspondientes errores se obtienen de la forma: 𝜆=2

𝜆

2

𝝀 ∆𝝀 = 𝟐 (∆ ( )) 𝟐

1 ∆𝜈 ∆ () = 𝜈 2 𝜈

Representamos en Excel la longitud de la onda frente al inverso de la frecuencia para obtener la recta que mejor se ajuste a los puntos; correspondiente a la velocidad de las ondas sonoras en el aire a temperatura ambiente.

La recta que obtenemos es:

𝑚 𝑦 = (3,09 ± 0,33) · 102 ( ) 𝑥 + (0,038 ± 0,089)(𝑚) 𝑠

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• Cuestiones

1.- Deduzca la ecuación (3) de la onda estacionaria. Supongamos dos ondas armónicas que se propagan en sentidos contrarios. Una onda transversal moviéndose hacia la derecha y de ecuación 𝑦1 = 𝐴𝑠𝑒𝑛 (𝑘𝑥 − 𝑤𝑡) y una onda que se propaga hacia la izquierda y que tiene por ecuación 𝑦2 = 𝐴𝑠𝑒𝑛 (𝑘𝑥 + 𝑤𝑡) . El desplazamiento en cualquier punto de la cuerda es el resultado de la interferencia o superposición de estas dos ondas:

Si hacemos :

𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2 = 𝐴[𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝑤𝑡) + 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 + 𝑤𝑡)] 𝛼 = 𝑘𝑥 − 𝑤𝑡

𝛽 = 𝑘𝑥 + 𝑤𝑡

Y teniendo en cuenta que:

𝑠𝑒𝑛 𝛼 + 𝑠𝑒𝑛 𝛽 = 2𝑠𝑒𝑛 Tenemos:

= 2 𝑠𝑒𝑛

𝛼+𝛽 𝛼−𝛽 𝑐𝑜𝑠 2 2

𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝑤𝑡) + 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 + 𝑤𝑡) =

𝑘𝑥 − 𝑤𝑡 + 𝑘𝑥 + 𝑤𝑡 𝑘𝑥 − 𝑤𝑡 − 𝑘𝑥 − 𝑤𝑡 𝑐𝑜𝑠 = 2 2 = 2 𝑠𝑒𝑛

2𝑘𝑥 −2𝑤𝑡 = 𝑐𝑜𝑠 2 2

= 2 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥)cos(−𝑤𝑡)

Si tenemos en cuenta que : cos(𝛼) = cos(−𝛼) 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝑤𝑡) + 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 + 𝑤𝑡) = 2 𝑠𝑒𝑛 (𝑘𝑥)cos(𝑤𝑡) Finalmente:

𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2 = 2 𝐴 𝑠𝑒𝑛 (𝑘𝑥) cos(𝑤𝑡)

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2.- Razone si, al aumentar la tensión en la cuerda, aumenta o disminuye el número de nodos de la onda estacionaria que se forma. En el caso de que la frecuencia permanezca constante a partir de la fórmula: 𝑓=

𝑛 𝑇 √ 2𝐿 𝜌

(2𝐿𝑓) 𝜌 𝑇= 𝑛2 2

Vemos que existe una relación inversa entre la tensión y el cuadrado del número de nodos. Es decir, al aumentar la tensión de la cuerda disminuye el número de nodos.

3.- Si para un valor de la tensión aplicada a la cuerda, aumentáramos la frecuencia del vibrador, ¿aumentaría o disminuiría el número de nodos de la onda estacionaria? Según la expresión anterior:

𝑓=

𝑛

2𝐿

𝑇

√𝜌

Existe una relación directa entre el número de nodos y la frecuencia de vibración de la cuerda. Si la frecuencia aumenta, el número de nodos también aumenta siempre que la tensión permanezca constante.

4.- Al utilizar como fuente sonora un diapasón de frecuencia 440 Hz en un tubo de resonancia se produce la primera resonancia para una longitud de la columna de aire de 19,3 cm. Si se mantiene constante el nivel del agua en el tubo, ¿para qué otro valor de la frecuencia se produciría resonanci...