Ondas estacionarias en una cuerda con extremos fijos 2 PDF

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práctica numero 3 de la asignatura sobre cuerdas con extremos fijos que crean ondas estacionarias y su estudio y evaluación y comparación de las medidas...

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Ondas estaci estacionarias onarias en una cuerda con ex extremos tremos fijo fijoss BIZKAIA CENTRO ASOCIADO GARAY, ALMUDENA

- DE SOLA

1. RESUMEN: En esta práctica vamos a estudiar las relaciones entre las magnitudes que caracterizan las ondas estacionarias en una cuerda con extremos fijos. Hemos utilizado dos cuerdas y varias pesas para ir midiendo y valorando el movimiento ondulatorio de estas vibraciones y las ondas que crean, así como para medir y comparar longitudes de onda y sus frecuencias.

2. INTRODUCCIÓN: Hay casos en los que la propagación se produce en medios cerrados, produciéndose reflexiones en los extremos del mismo que se superponen unas a otras. Estas superposiciones, que no son más que un caso particular de interferencias de ondas, pueden dar lugar a ondas estacionarias y tienen un perfil y unas características muy particulares. Llamamos onda estacionaria a un caso particular de interferencia que se produce cuando se superponen dos ondas de la misma dirección, amplitud y frecuencia, pero sentido contrario. En una onda estacionaria los distintos puntos que la conforman oscilan en torno a su posición de equilibrio a medida que transcurre el tiempo pero el patrón de la onda no se mueve. Una onda estacionaria es el conjunto de movimientos armónicos simples en la fase efectuados por todos los puntos del medio, con una amplitud variable modulada por una función sinusoidal. Las ondas estacionarias resultan de la interferencia y de la resonancia de ondas.

Fórmulas que describen la onda 1:

Las ondas estacionarias con los extremos fijos son las que se dan en instrumentos de cuerda. Estos instrumentos constan de una o más

cuerdas de longitud L, con una tensión determinada. Cuando se pulsa la cuerda sobre el mástil, disminuye la longitud de la cuerda y esto hace cambiar su frecuencia. En las ecuaciones mostradas tenemos que: -

-

v = rapidez de propagación de la onda en una cuerda mecánica. T= Es la tensión de la cuerda medida en Newton m= Es la masa de la cuerda medida en kilogramos L= es la longitud de la cuerda medido en metros f= es la frecuencia medida en Hz λ= La longitud de onda medida en metros

Fórmula ondas 2:

Suponemos que la longitud de la cuerda es L, y debe cumplirse que en los extremos límites x=0 y x= L. Tiene que haber un nodo, es decir, una zona de ausencia de vibraciones o de mínima energía y un antinodo o punto donde la energía es máxima. Consideramos una cuerda de longitud L. Al estar fijos ambos extremos, los puntos x=0 y x=L han de ser nodos de la onda estacionaria (tener elongación = 0). Y entonces, las condiciones de contorno serán: -

y (0, t) = 0 Y (L,t) = 0

Sabemos que los nodos se encuentran separados media longitud de onda y, por tanto, en la onda estacionaria que se genere debe haber un número entero de semilongitudes de onda que se ajuste a la longitud L de la cuerda según: n⋅λ2=L (n=1, 2, 3...) Si renombramos λ

como λn,y la despejamos de la expresión anterior, podemos escribir:

-

-

n: Es un número natural mayor o igual que uno λn: Es la longitud de la onda estacionaria asociada a n. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro L: Es la longitud de la cuerda, fija por ambos extremos

Por otro lado, la frecuencia de una onda y su longitud de onda se relacionan a través de la expresión de la velocidad de fase v y, dado que esta sólo depende del medio:

Esto nos genera la creación de nodos y antinodos (como hemos dicho antes), cuyas ecuaciones son: -

Los puntos donde interfieren de manera destructiva, Habrá puntos cuya elongación sea mínima (0). Llamaremos a estos puntos nodos,

puntos del medio material a los que les corresponde una amplitud nula, puntos que no se pueden mover En ellos se cumplirá que:

Entonces concluimos que Las ondas estacionarias que se generan en una cuerda fija por ambos extremos no pueden tener cualquier valor de longitud de onda sino sólo aquellos que satisfagan que:

NODOS:

ANTINODOS:

Habrá puntos de elongación máxima (2·A). Los llamaremos vientres o antinodos, puntos del medio material a los que les corresponde una amplitud máxima, siendo su valor 2·A el doble de la que tenían las ondas superpuestas. Se cumple que :

2. MATERIALES Y MÉTODOS: frecuencias del armónico fundamental para n = 1,2,3:

Como hemos apuntado, la elongación y de la ecuación de la onda estacionaria depende de la variable x y la posición, la cual se encuentra dentro de un seno.

2.1 MATERIALES: Para la posible realización del experimento, los materiales que hemos usado han sido los siguientes: 1. 2. 3. 4.

Cuerda elástica Cuerda rígida Portapesas Distintos tipos de pesas con varias medidas de pesaje 5. Metro o cinta métrica con medidor de hasta milímetros 6. Estroboscopio (regulador de la frecuencia de onda) 7. Balanza manual 2.2 MÉTODO OPERATO OPERATORIO: RIO: El método operatorio que hemos seguido para esta práctica:

1. Corroborar los datos de la teoría, el correcto funcionamiento de los aparatos y material a utilizar. 2. Para ir cogiendo confianza con los paratos a utilizar vamos a ir primero midiendo la longitud de ambas cuerdas e ir comparando las medidas obtenidas experimentalmente con las medidas dadas en la teoría. 3. También hemos realizado varias pruebas midiendo y comparando los valores nominales de cada una de las pesas usadas con los valores obtenidos en la práctica. Así como también hemos realizado ese proceso con la medida del portapesas. 4. Por otro lado no sólo hemos medido la longitud de la cuerda sino que también hemos pesado las cuerdas para obtemer su masa.y cuando tengamos la longitud y la masa podemos obtener las densiades lineales y su error asociado. 5. Previo a montar el circcuito hemos repasado las medidas de seguridad. 6. Empezamos preparando un “circuito”, enganchando la cuerda a un soporte rígido el cual va conectado a un vibrador mécanico que a su vez está conectado a un generador dee ondas. Y el otro extremo va sujeto a un palo conectado a la base, y de ese otro extremo es donde se coloca el portapesas y de donde cuelgan por tanto las pesas que vamos a ir colocando. Fijamos el valor de la longitu de la cuerda entre 1 < L < 2 m. 7. Una vez tengamos la cuerda bien atada y bastante tensa para que la onda se produzca correctament, vamos a ir enganchando varios pesos con diferentes medidas para

provocar su onda y así poder medir los resultados. 8. Al colocar cada medida de peso lo que vamos a hacer es ir moviendo la ruleta del vibrador ondulatorio para ir viendo si se genera o no una onda y en caso de que se genere, ver y anotar en que frecuiencia lo hace y que longitud de onda tiene.repetir este proceso tantas veces como sea necesario hasta que tengamos varias ondas que lleguen hasta los 4 ó 5 modos y obtener los patrones estacionarios de cuatro modos como mínimo. 9. Para algunos valores de tensión se pueden llegar a observar hasta 10 modos. 10. En cada caso, anotamos la frecuencia dada por el oscilador y mide la longitud de onda del patrón como hemos dicho antes. 11. Tabulación de datos: en una tabla he registrado los datos de las mediciones. En la tabla se incluye el 12. Todas las operaciones realizadas las he calculado tanto con Word Excel como con Callistolab para calcular las regresiones lineales así como su error asociado para luego poder graficar las figuras. 3. RESULTADOS: Los resultados de la medición de las pesas, y su comparación con los valores nominales referidas por el fabricante, son las mostradas en la tabla 1. Así como se muestra también las mediciones del portapesas y de las cuerdas y sus errores. Tabla 1: objeto

portapesas

Valor Valor (gr.) Ɛ gr. nominal experimenta experimentall (gr.) 10 10,5 0,005

Pesa 1

200

Pesa 2

100

Pesa 3

50

Pesa 4

10

Pesa 5

2,5

5,65 𝑔𝑟

Cuerda elástica: = 0,035 gr/ cm = 160 𝑐𝑚 3,5 gr/m Y calculando el error de 0,05 5,6

+

0.0095 Hemos usado 2 pesas de 2,5gr.; 7 pesas de 10 gr.; 2 pesas de 50 gr.; 1 pesa de 100 gr.; y 1 pesa de 200 gr.; y un solo portapesas de 10 gr. A continuación, mostramos los datos obtenidos de la medición de las cuerdas y de sus errores, en la tabla 2 comparamos los datos teóricos con los obtenidos experimentalmente en su pesaje, y en la tabla 3 compramos los datos de sus longitudes con sus errores asociados a cada una de las medidas. Tabla 2: objeto

Valor nom.(gr.)

Ɛ gr

5,5

Valor exp. (gr.) 5,65

Cuerda elástica Cuerda rígida

2,00

2,05

0,005

0,01

Tabla 3: objeto Cuerda elástica Cuerda rígida

Valor nom. (cm) 159

Valor exp. (cm) 160

Ɛ cm

136

136

0,00

0,01

A partir de estos valores de las cuerdas hemos calculado primeramente sus densidades lineales y sus respectivos errores asociados. La densidad de masa lineal de la cuerda puede medirse directamente pesando la cuerda. Es decir, la densidad lineal de la cuerda es la masa de la cuerda por unidad de longitud. 𝜇=

𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑

0,1 160

𝛿𝑥 𝑥

+

𝛿𝑦 𝑦

=

= 0,0095 → μ = 0,035 +/2,05 𝑔𝑟

Cuerda no elástica: 136,5 𝑐𝑚 = 0,015 y el error de

0,02507

𝛿𝑥 𝑥

+

𝛿𝑦 𝑦

= 0,025 + 0,000073 =

➔ μ = 0,014 +/- 0,002573 El dispositivo experimental permite la generación de ondas en una cuerda, mediante un vibrador mecánico alimentado por un generador en el que son variables la frecuencia y la amplitud. La longitud de onda es la distancia existente entre dos crestas o dos valles, y nos indica cuanto de larga es la onda. Su ecuación es: 𝜆 =

𝑐

𝑓

"c" es la velocidad de propagación de la onda, y "f" es la frecuencia. La longitud de onda y la frecuencia son inversamente proporcionales, es decir, a frecuencias altas longitudes de ondas pequeñas y viceversa. 4. DISCUSIÓN: En un primer paso del experimento hemos realizado la medición de varias pesas con la balanza. De la comparación de las mediciones obtenidas con los valores teóricos según los datos dados podemos considerar que se ajustan bastante bien al valor real, ya que nuestros datos se aproximan bien a los teóricos. En la primera parte hemos medido las distintas ondas creadas con la cuerda rígida. Los valores anotados de la longitud de onda

y su frecuencia están reflejados en la tabla 4:

225 gr

52,724 Hz

3º, 4 nodos

225 gr

72,401 Hz

4º, 5 nodos

PESO 275 gr

FRECUENCIA 21, 706 Hz

275 gr 275 gr 275 gr

39, 653 Hz 61, 698 Hz 82, 484 Hz

MODO Armónico fundamental 2º, 3 nodo 3º, 4 nodos 4º, 5 nodos

Tabla 4: medidas obtenidas de la cuerda rígida PESO 50 gr.

FRECUENCIA 9,652 Hz

50 gr.

18,558 Hz

λ (cm) 109 * 2 = 218 109

50 gr.

27,061 Hz

72,6

50 gr.

35,541 Hz

54,5

PESO

FRECUENCIA

MODO

λ

75 gr.

11,723 Hz (experimentalmen te) 21,435 Hz

Armónico fundament al

109 *2 cm

2º modo (3 nodo) 3º modo ( 4 nodos)

109 cm 109 2 *3 109/ 2

75 gr. 75 gr.

31,158 Hz

72,6 cm 54,5 cm

MODO 1º modo, 0 nodos 2º modo, 1 nodo 3º modo, 2 nodos 4º modo, 3 nodos

75 gr.

39,813 Hz

4º modo (5 nodos)

PESO 125

FRECUENCIA 13,693 Hz

λ 218

125

26,978 Hz

MODO Armónico fundamental 2º, 3 nodo

125

39, 562 Hz

3º, 4 nodos

72,6

125

53,97 Hz

4º, 5 nodos

54,5

Como V = √

𝑇 𝜇

λ 218 109 72,6 54,5

9.8∗ (275 +− 𝛥Ɛ= 2,12 )

;V=√

277,488 +/- 0,27913

0,035 +/− 0.0095

=

109

Para llegar a 50 gr. De contrapeso, se suman los 10 gr. del portapesos con 4 pesas de 10 gr.cada una. Es decir, el error de l peso sería ΔƐ = 0,17

0,17

0,17

+ 10 + 10 + 0,068 = 0,118 10

0,17 10

0,5

10

= 0,05 +

+

Por lo que el peso de 50 gr quedaría : 50 +/0,118 gr PESO 225 gr

FRECUENCIA 17,335 Hz

225 gr

34,079 Hz

MODO Armónico fundamental 2º, 3 nodo

λ 218 cm 109 cm

Cómo comprobamos de la teoría, la ecuación de onda en una dimensión es: 𝛿2 ∗ 𝜓 𝛿2 ∗ 𝜓 = 𝑣2 2 𝛿 ∗ 𝑥2 𝛿∗ 𝑡

Donde 𝑣 es la rapidez de propagación de las ondas transversales –o rapidez de faseen una cuerda. La cual viene dada por:

50 gr.

22,184 Hz

4º modo, 5 nodos

54,5

Calculamos el error de la cuerda elástica, que teóricamente mide 1.60 y 0.01

experimentalmente mide 1.59: 1.59 =

𝑇

𝑣 = √𝜇 𝑚/𝑠𝑒𝑔 T =tensión de la cuerda en N, μ = densidad lineal en kg/m, que en esta ocasión damos en gramos / centímetros.

0.0062 ∆𝜀

Sabiendo que la tensión es el producto del peso por la gravedad, es decir, T = p * g Para calcular el peso de la total cuerda se suma el peos de la cuerda más las pesa: 10,5 + 4,8 = 15,3 T = P*G = 15,3 * 9,8 = 149,94 N Calculando con el error:

PESO 75 gr.

FRECUENCIA 6,496 Hz

El peso quedaría p = 10 + 5 = 15

75 gr.

13,150 Hz

10 +/- 0,5 + 5 +/- 0,2 = 15 +/- 0,7

75 gr.

19,001 Hz

75 gr.

26, 560 Hz

Y la tensión quedaría T = p* g =

0,7 15

9,8 = 0,046 ∗ 9,8 = 0,4573 𝑁 149,94𝑁 ∗ 1,355 𝑀

V=√

2,05 𝑀

∗

V1 = 14.1612

V2 = 14. 333 ∆𝜀

= 9,991 m/s

√0,0201 + 0,25 = √0,2701 = 0,5197

Velocidad de propagación: (cuerda rígida) C = 9,991 m/s +/- 0,5197

Repetimos el mismo proceso para la cuerda elástica, y compilamos los datos obtenidos en la tabla 5: PESO 50 gr.

FRECUENCIA 6,037 Hz

50 gr.

11,879 Hz

50 gr.

16,792 Hz

MODO Armónico fundamental 2º modo, 3 nodos 3º modo, 4 nodos

∆𝜀 0.0402

λ 218 109 72,6

V3 = 13.797 ∆𝜀

V4 = 14.475 ∆𝜀

MODO Armónico fundamental 2º modo, 3 nodos 3º modo, 4 nodos 4º modo, 5 nodos

λ 218 109 72,6 54,5

0.0815

0.117

0.1646

PESO 125 gr.

FRECUENCIA 8,733 Hz

125 gr. 125 gr. 125 gr. 125 gr.

16,073 Hz 24,69 Hz 35,946 Hz 42,801 Hz

MODO Armónico fundamental 2º modo, 3 nodos 3º modo, 4 nodos 4º modo, 5 nodos 5º modo, 6 nodos

λ 218 109 72,6 54,5 43,6

PESO 225 gr.

FRECUENCIA 10,18 Hz

225 gr.

22.035 Hz

225 gr.

33,424 Hz

225 gr.

41,237 Hz

PESO 275 gr.

MODO Armónico fundamental 2º modo, 3 nodos 3º modo, 4 nodos 4º modo, 5 nodos

λ 218 109 72,6 54,5

V1= 22.192 ∆𝜀 0.0631 V2= 24.018 ∆𝜀0.1366 V3= 24.265 ∆𝜀 0.2072 V4= 22.474 ∆𝜀 0.255 FRECUENCIA 11,404 Hz

275 gr.

23,314 Hz

275 gr.

35,124 Hz

275 gr.

46,647 Hz

MODO Armónico fundamental 2º modo, 3 nodos 3º modo, 4 nodos 4º modo, 5 nodos

Gráfica 2: 𝑣 2 𝑣𝑠. 𝑇 para la cuerda rígida

λ 218 109 72,6 54,5

5. CONCLUSIÓN: La diferencia fundamental entre la cuerda elástica y la no elástica es que en la cuerda elástica el peso se contrae más, está mas concentrado en menos longitud de cuerda.

Representamos ahora las curvas de 𝑣 2 𝑣𝑠. 𝑇 para la cuerda elástica:

Lo primero que observamos con esto es que las densidades lineales de las dos cuerdas son distintas, la densidad lineal de la cuerda elástica es mayor que la densidad lineal de la cuerda no elástica. A partir de ahí podemos observar que: Se deforma la densidad lineal, es decir, a más peso mayor longitud de onda y menor densidad lineal. Dado que la densidad lineal mes D = m / L , esta debería de ir subiendo exponencialmente cada vez más. Con la cuerda rígida lo que sucede es que la densidad lineal permanece constante y por lo tanto es lógico que suba de manera lineal y constantemente.

6. REFERENCIAS:

1. https://www.ecured.cu/Longitud_ de_onda

2. Ondas Estacionarias - Resumen y explicación de ecuación de una onda estacionaria, nodos y vientres, ONDAS ESTACIONARIAS Ecuaci de una onda estacionaria Una - StuDocu 3. Ondas estacionarias - Física de nivel básico, nada complejo.. (fisic.ch)

4. Ondas Estacionarias (fisicalab.com) 5. Elastica - Mediawiki de Fisica (upm.es) 6. Dinámica de una partícula unida a dos cuerdas elásticas (ehu.es) 7. tema2.pdf

8. Autoevaluacion.pdf 9. oscilador_no_lineal.pdf 10. Cinta métrica - Wikipedia, la enciclopedia libre 11. Cinta Métrica - ¿Qué es, cómo funciona y para qué sirve? 🥇 (materialeslaboratorio.com) 12. Elasticidad en Física - Concepto, fórmula y ejemplos 13. http://esero.es/practicas-enabierto/decodifica-imagenesiss/longitud_de_onda_y_frecuenci a.html...