Op. finanziarie di attualizzazione e capitalizzazione PDF

Preview

Summary

Operazioni finanziarie di capitalizzazione e attualizzazione...

Description

Appunti di Matematica Finanziaria 1

Il problema base della Matematica Finanziaria

La Matematica Finanziaria si occupa dello studio delle operazioni 3nanziarie, ovvero di operazioni di scambio di somme di denaro (importi) disponibili in epoche diverse (scadenze). Possiamo distinguere fra operazioni 6nanziarie certe quelle in cui gli importi si rendono disponibili a determinate scadenze con certezza e operazioni 6nanziarie aleatorie quelle in cui gli importi si rendono disponibili solo se si veri3cano eventi aleatori. La Matematica Finanziaria classica ?e quella che si occupa delle operazioni 3nanziarie certe (che analizzeremo in questo corso), mentre la Matematica Finanziaria moderna ?e quella che si occupa delle operazioni 3nanziarie aleatorie. Nella vita reale sono molteplici i casi in cui possiamo avere a che fare con situazioni 3nanziarie, come per esempio: ! L'accensione di un conto corrente bancario con cui si scambia il versamento di una somma di denaro contro il prelevamento futuro di denaro e interessi ! La stipula di un contratto di mutuo con cui si scambia un certo capitale C ricevuto alla data di stipula del contratto con il versamento di rate ! La stipula di un contratto per il pagamento rateale di un bene, con cui si scambia una somma di denaro equivalente al valore del bene ricevuto con il pagamento delle rate future Ognuna di queste situazioni, che rappresentano esempi di operazioni 3nanziarie certe, implica delle valutazioni sulla base delle quali operare delle scelte. Per esempio nell'accensione di un conto corrente si tiene conto del tasso di interesse garantito, di eventuali spese annuali e ci si chiede quale sar?a il valore del conto a 3ne anno e come potr?a crescere nel corso del tempo. Se decidiamo di pagare un bene ratealmente teniamo conto della presenza di un eventuale tasso di interesse applicato o di eventuali spese accessorie, in maniera tale da capire quanto possa incidere tutto ci?o sul costo 3nale del bene e quanto convenga o meno pagarlo ratealmente. La matematica Finanziaria, nel limiti del possibile, fornisce degli strumenti per la formalizzazione matematica delle situazioni 3nanziarie che si possono incontrare nella vita reale e aiuta a dare delle risposte alle domande derivanti dalle stesse.

2 2.1

Le principali grandezze 6nanziarie Interesse e Montante

Diamo prima di tutto una de3nizione di operazione 3nanziaria De6nizione 2.1. Un'operazione +nanziaria ,e un insieme di pagamenti S 1 ; S2; ; : : : ; Sn in entrata o in uscita ognuno dei quali caratterizzato dalla data della propria esigibilit,a t1 ; t2 ; : : : ; t n : Una generica operazione 3nanziaria pu?o essere rappresentata come insieme di coppie importo/tempo

f(S1 ; t1 ) ; (S2 ; t2 ) ; : : : ; (S n ; tn )g Un'operazione 3nanziaria caratterizzata da due soli pagamenti S 1 ; S2 ?e detta operazione 3nanziaria semplice o elementare. Osserviamo che due elementi che caratterizzano le operazioni 3nanziarie sono gli importi e i tempi: in Matematica Finanziaria non si pu? o de3nire un criterio di scelta se non vengono speci3cati questi due elementi. Possiamo aJermare infatti che in molti preferirebbero 80000 euro subito invece di 800000 euro fra quaranta anni! De6nizione 2.2 Un'operazione di investimento semplice ,e un'operazione +nanziaria in cui un soggetto (creditore) rinuncia al tempo iniziale t 0 alla disponibilit, a di un capitale C e recupera in un tempo successivo t 1 una somma M, in genere diversa da C: M ,e detto montante al tempo t1 del capitale C impiegato al tempo t 0 . De6nizione 2.2'. Un'operazione di +nanziamento semplice ,e un'operazione +nanziaria in cui un soggetto (debitore) riceve al tempo iniziale t 0 un capitale C e rende in un tempo successivo t1 una somma M, in genere diversa da C: Le De3nizioni 2.2 e 2.2' sono speculari: infatti un'operazione di investimento, vista dal lato del debitore diventa un'operazione di 3nanziamento Possiamo rappresentare le operazioni 3nanziarie sull'asse importo/tempo

-C

M OPERAZIONE DI INVESTIMENTO

t0

t1

C

-M OPERAZIONE DI FINANZIAMENTO

t0

t1

o come coppie importo/tempo f($C; t 0 ) ; ($M; t1 )g. Le somme monetarie in uscita vengono indicate con il segno meno. De6nizione 2.3. Si de+nisce Interesse di un'O.F. (operazione +nanziaria) prodotto in un certo arco temporale, la di@erenza fra il montante ed il capitale. Posto I l'interesse abbiamo: I = M % C:

L'interesse I ?e l'incremento assoluto di capitale a seguito di un'O.F, e rappresenta per il debitore un costo e per il creditore un guadagno. Esempio 1 Investiamo oggi 5000 euro, ottenendo fra tre anni un montante di 6100 euro.

-5000

6100

0

3

I = 6100 % 5000 = 1100 Nel nostro caso I e? l'interesse maturato nel corso dei 3 anni. Osserviamo che: M > C () I > 0 M = C () I = 0 M < C () I < 0: Quando I < 0 diciamo che l'investimento ?e in perdita.

2.2

Fattore di Capitalizzazione r e Tasso di Interesse i

De6nizione 2.4. Si de+nisce Fattore di Capitalizzazione e si indica con r il rapporto fra il montante M ed il capitale iniziale C : r= Se r =

M C

M : C

allora M = C ( r:

r ha il signi3cato di montante per unit?a di capitale investita. Nel precedente esempio abbiamo: r=

6100 5000

= 1:22

dove r nel caso speci3co ?e fattore di capitalizzazione triennale (perch?e relativo ad un'O.F. che dura tre anni) e ci dice che ogni euro investito oggi produrr? a fra tre anni un montante di 1 euro e 22 centesimi. Il fattore di capitalizzazione r permette di eBettuare operazioni di capitalizzazione ovvero, dato un capitale C disponibile al tempo t 0 , r permette di determinare il suo valore futuro M al tempo t1 , con t1 > t0 : De6nizione 2.5. Si de+nisce Tasso di Interesse e si indica con i il rapporto fra l'interesse I e il capitale C :

i= Se i =

I C

I : C

allora: I = C ( i:

i ha il signi3cato di interesse per unit?a di capitale investita e si indica in termini percentuali. Nel precedente esempio abbiamo: i=

1100 5000

= 0:22

ovvero i = 22%. i ?e un tasso di interesse triennale e ci dice che ogni euro investito oggi produrr?a fra tre anni un interesse pari a 22 centesimi. 2.2.1

Relazione fra tasso di interesse e fattore di capitalizzazione

Sostituendo in I = M % C le relazioni M = C ( r e I = C ( i otteniamo C ( i = Cr % C () C ( i = C (r % 1) () i = (r % 1) : Inoltre: i = (r % 1) () r = i + 1:

2.3

Tasso di Sconto e Fattore di Attualizzazione

De6nizione 2.6 Un'operazione di sconto ,e un'O.F. in cui un soggetto rinuncia ad una parte di un capitale K, che gli ,e dovuto in un' epoca futura t 1 , pur di entrarne anticipatamente in possesso, e riceve in t 0 un capitale P . Un'operazione di sconto viene detta anche di anticipazione o di attualizzazione.

P

-K OPERAZIONE DI SCONTO

t0

t1

P ?e detto valore attuale, valore anticipato o valore scontato ed ?e la somma percepita anticipatamente in t 0 : De6nizione 2.7. Si de+nisce sconto D la di@erenza fra il capitale K disponibile a scadenza e la somma P il cui possesso immediato si scambia con quello futuro di K: D = K % P () K = D + P () P = K % D:

Esempio 2 Un anno fa abbiamo prestato ad un amico un capitale C, e lui si ?e impegnato a restituire dopo tre anni una somma pari a 2000 euro. Oggi decidiamo per?o di entrare anticipatamente in possesso di tale somma scontandola di 300 euro.

2000

-C

OPERAZIONE DI INVESTIMENTO 0

3 -2000

1 1700

OPERAZIONE DI SCONTO 1

3

Nell'operazione di sconto i 2000 euro hanno segno negativo perch?e rappresentano la somma futura a cui stiamo rinunciando, mentre 1700 euro rappresentano il valore anticipato (1700 ?e il valore attuale di 2000 euro esigibili fra 2 anni). De6nizione 2.8. Si de+nisce tasso di sconto e si denomina con d il rapporto fra lo sconto D e il capitale a scadenza K, cio,e: d= Se d =

D : K

D allora K D = K ( d:

d ha il signi3cato di sconto per unit? a di capitale e si indica in termini percentuali. De6nizione 2.9. Si de+nisce fattore di attualizzazione e si denomina con v il rapporto fra il valore attuale P e il capitale a scadenza K, cio, e: v= Se v =

P : K

P allora K P = K ( v:

v rappresenta il valore attuale al tempo t 0 di un'unit? a monetaria disponibile in un tempo futuro t1 : Il fattore di attualizzazione v permette di eBettuare operazioni di attualizzazione (o di anticipazione o di sconto), ovvero dato un capitale futuro K esigibile in un'epoca t 1 , v permette di determinare il suo valore attuale P al tempo t0 , con t1 > t0 : Nel precedente esempio abbiamo

d=

300 2000

= 15%

e ci dice che ogni euro disponibile fra 2 anni, viene scontato di 15 centesimi, mentre v=

1700 2000

= 0:85

e ci dice che ogni euro disponibile fra 2 anni oggi vale 85 centesimi. 2.3.1

Relazione fra tasso di sconto e fattore di attualizzazione

Sostituendo in D = K % P le relazioni D = Kd e P = Kv otteniamo: Kd = K % Kv () Kd = K (1 % v) () d = (1 % v) : Inoltre: d = (1 % v) () v = (1 % d) () 1 = v + d:

2.4

Relazione fra fattore di attualizzazione e fattore di capitalizzazione

Nell'operazione di sconto abbiamo de3nito v come v=

P K

ovvero come il rapporto fra la posta monetaria P relativa al tempo t 0 e la posta monetaria K relativa al tempo t 1 . Seguendo la stessa logica, e? possibile de3nire il fattore di attualizzazione di un'operazione di investimento come il rapporto fra il capitale C investito in t0 e il montante M riscuotibile in t 1 : v=

C !posta monetaria relativa all'epoca t 0 M !posta monetaria relativa all'epoca t 1

Se M ?e il valore che assumer?a in un'epoca futura t 1 un capitale C investito in t 0 , allora C ?e il valore attuale in t 0 di un capitale M esigibile in t 1 : Dalla relazione v=

C M

segue che C = M ( v: Osserviamo inoltre che se v =

M C allora: er= C M

1

1 () r = v r ovvero v e r sono l'uno il reciproco dell'altro. v=

Analogamente, nell'operazione di investimento abbiamo de3nito r come il rapporto fra il montante M relativo al tempo t 1 e il capitale C relativo al tempo t 0 . Con lo stesso criterio, e? possibile de3nire il fattore di capitalizzazione r relativo ad un'operazione di sconto: r=

K !posta monetaria relativa all'epoca t 1 : P !posta monetaria relativa all'epoca t 0

Se P ?e il valore attuale in t 0 di una somma K esigibile in un'epoca futura t 1 , allora K e? il valore che avrebbe assunto in t 1 un capitale che in t 0 vale P: Concludiamo che data una generica O.F. elementare, composta da due somme relative ad istanti temporali diversi, siamo in grado di individuare i corrispondenti fattori di capitalizzazione e di attualizzazione che determinano una relazione di equivalenza fra le due somme. Esempio 1 (operazione di investimento) Investiamo oggi 2000 euro, ottenendo fra 3 anni un montante di 2200. Determiniamo le corrispondenti grandezze 3nanziarie: I = 2200 % 2000 = 200, dove I ?e interesse triennale 200 i = 2000 = 10%, dove i ?e tasso di interesse triennale ! un euro investito oggi produrr?a fra tre anni un interesse di 10 centesimi. 2200 = 1:1 ! un euro investito oggi produrr?a fra tre anni un montante di un euro e r = 2000 10 centesimi. 2000 10 =* v = 2200 = 0:9 !investendo oggi 90 centesimi, fra tre anni otterremo un euro, = 11 o analogamente 90 centesimi investiti oggi fra tre anni varranno un euro, o ancora 90 centesimi ?e il valore attuale di un euro esigibile fra tre anni. Noto v e? possibile determinare il corrispondente tasso di sconto d dalla relazione d = 1 % v e quindi: 2000 * d = 1 % 2200 = 9% ! un euro esigibile fra tre anni oggi vale circa 9 centesimi in meno. Esempio 2(operazione di sconto) Decidiamo di entrare anticipatamente in possesso di 3000 euro, che avremmo dovuto riscuotere fra 2 anni, scontandoli di 150 euro. Determiniamo le corrispondenti grandezze 3nanziarie: D = 3000 % 2850 = 150, dove D ?e lo sconto biennale. 150 = 5%, dove d ?e tasso di sconto biennale ! un euro esigibile fra due anni oggi d = 3000 viene scontato di 5 centesimi. 2850 = 0:95 !un euro esigibile fra due anni oggi vale 95 centesimi v = 3000 3000 * r = 2850 = 1:053 ! un euro riscosso oggi, avrebbe avuto fra due anni un valore di un euro e 53 centesimi circa. Anche in questo caso, noto r possiamo ricavare i dalla relazione i = r % 1: 3000 * i = 1 % 2850 = 0:053...