Oscilaciones 20 12 2020 PRIMER CORTE FISICA 3 PDF

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OSCILACIONESLuis F. García23 de diciembre de 2020Índice general1 Gráfica de la expresión funcionalνν 0 −e 1 Movimiento Armónico Simple Índice general v 1 Ecuación diferencial. 1 Sistemas que describen un Movimiento Armónico Simple Péndulo simple. Propiedades del oscilador armónico: 1 Sistema masa-r...

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OSCILACIONES Luis F. García 23 de diciembre de 2020

Al Dios vivo y Poderoso. Al Padre Glorioso que todo lo ve, todo lo oye, todo lo sabe, todo lo dirige. Al Incomparable, al Maravilloso, al Prodigioso Ser que nos dio la vida y la sostiene. Al Todopoderoso que nos da el alimento y concilia nuestro sueño. Al Omnipotente que esparce su bálsamo amoroso prodigándonos paz, alegría y felicidad. Al Soberano Dios de infinita misericordia, que siempre escucha nuestro clamor. -Luis F. García

Índice general Índice general 1

v

Movimiento Armónico Simple 1.1 Ecuación diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Sistemas que describen un Movimiento Armónico Simple . . . . . . . . . Péndulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propiedades del oscilador armónico: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Sistema masa-resorte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Péndulo Físico o péndulo compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Péndulo de torsión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Energía promedio de un oscilador armónico simple . . . . . . . . . . . . . 1.7 Potencia de un oscilador armónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Analogía eléctrica de un oscilador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Análisis del rozamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fuerza de fricción vizcosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9 Analogía eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 4 5 5 5 14 18 20 21 22 23 25 25 27

2 Movimiento armónico amortiguado libre (M.A.A.L.) 2.1 Caso sobreamortiguado . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Caso subamortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Decremento logarítmico . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Caso críticamente amortiguado . . . . . . . . . . 2.5 Energía promedio y potencia promedio disapada 2.6 Factor de calidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Analogía eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . Caso sobreamortiguado . . . . . . . . . . . . . . . Caso sobreamortiguado . . . . . . . . . . . . . . .

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29 31 32 36 37 44 48 51 54 55

3 Movimiento Armónico Amortiguado Forzado 3.1 Resonancia en la amplitud . . . . . . . . . Resonancia en la energía . . . . . . . . . . Potencia suministrada . . . . . . . . . . . . Analogía eléctrica . . . . . . . . . . . . . .

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56 62 64 66 70

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4 Superposición de dos movimientos armónicos simples 72 4.1 Superposición de dos M.A.S. de igual dirección e igual frecuencia . . . . . 72 4.2 Superposición de dos M.A.S. de igual dirección y diferente frecuencia: . . 76

4.3 4.4

Superposición de dos M.A.S. mutuamente perpendiculares de igual frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Superposición de dos M.A.S mutuamente perpenduculares de diferente frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5 Ejercicios resueltos 88 5.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 6 Cuestionario y modelos de exámenes 6.1 Cuestionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Modelos de exámenes . . . . . . . . . . . . . . . Primer modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solución primer modelo . . . . . . . . . . . . . . Segundo modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solución segundo modelo . . . . . . . . . . . . . Tercer modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solución del tercer modelo . . . . . . . . . . . . Cuarto modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solución cuarto modelo . . . . . . . . . . . . . . Quinto modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solución quinto modelo . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Problemas de selección múltiple . . . . . . . . . 6.4 Solución de los problemas de selección múltiple 7

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140 140 144 144 144 151 151 155 156 159 160 163 164 169 174

Apéndices 7.1 Abreviaturas utilizadas . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Alfabeto griego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Identidades trigonométricas . . . . . . . . . . . . Ley de los senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ley de los cosenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Desarrollo en serie de Taylor . . . . . . . . . . . . 7.5 Desarrollo en serie del binomio de Newton . . . . 7.6 Desarrollo en serie de Taylor de algunas funciones

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183 183 183 183 184 184 184 185 185

Índice de figuras 1.1 Vector rotante de magnitud A que determina el desplazamiento en el M.A.S. . 1.2 Vectores rotantes del desplazamiento, la velocidad y la aceleración en el M.A.S 1.3 Curvas de desplazamiento (x), velocidad ( V ) y aceleración ( a) en función del tiempo en el M.A.S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Representación de la suma de un número complejo y su complejo conjugado . 1.5 Representación de la suma de un número complejo y su complejo conjugado . 1.6 Representación de la suma de un número complejo y su complejo conjugado . 1.7 Oscilador Armónico Simple eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Tipos de osciladores armónicos: péndulo simple, sistema masa-resorte y péndulo de torsión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9 Tipos de osciladores armónicos: péndulo simple, sistema masa-resorte y péndulo de torsión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10 Tipos de osciladores armónicos: péndulo simple, sistema masa-resorte y péndulo de torsión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11 Péndulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12 Péndulo simple oscilante en el plano y z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.13 Péndulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.15 Péndulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.14 Elongación de un M.A.S en función del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.16 Representación del número complejo e jθ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.17 Sistema masa-resorte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.18 Péndulo Físico o péndulo compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.19 Péndulo de torsión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.20 Circuito LC en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . t 1.21 Gráfica de la expresión funcional ν  ν0 − eτ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.22 Circuito RL en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i 1.23 Grafica de la expresión funcional i  I0 e −τ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Oscilador armónico amortiguado libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gráfica de x vs t para el caso sobre-amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . Fórmula de Euler ilustrada en el plano complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . Gráfica de x vs t para el caso subamortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gráfica de la elongación contra el tiempo correspondiente a un Oscilador Críticamente Amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Circuíto eléctrico RLC en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Oscilaciones amortiguadas de la corriente en un circuito RLC en serie. La fase de la ecuación (2.216) se tomó igual a π/2, de tal manera que para t  0, i  0. 3.1 Oscilador armónico amortiguado forzado. F ⇒ F(t)  F0 s e n ωt . . . . . . . . . 2.2 2.3 2.4 2.5

3.2 Triángulo rectángulo que permite determinar las funciones s e nφ y cos φ . . . 3.3 Elongación en función del tiempo de un Oscilador Armónico Amortiguado Forzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Factor de ampliación µ contra el factor de frecuencia r . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Amplitud de la solución particular de un O.A.A.F. en función de la frecuencia impulsora ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Variación de φ en función de ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 3

4 4 4 4 5 5 5 6 6 7 8 11 11 14 14 18 20 23 26 27 28 29 31 33 35 38 51 55 56 58 61 62 63 63

3.7 Relación entre la impedancia, la resistencia y la reactancia de un O.A.A.F. . . . 65 3.8 Representación gráfica de la función de Lorentz. . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.9 Oscilador eléctrico Armónico Amortiguado Forzado . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.1 Combinación de dos M.A.S de igual dirección e igual frecuencia . . . . . . . . 4.2 Composición de dos M.A.S. en fase, de igual dirección e igual frecuencia . . . 4.4 Composición de dos M.A.S. en oposición, de igual dirección e igual frecuencia con diferencia de fase π/2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Composición de dos M.A.S. en oposición, de igual dirección e igual frecuencia. 4.5 Composición de dos M.A.S. de igual dirección, diferente frecuencia y diferente amplitud. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Variación de la amplitud en función del tiempo para el caso de la composición de dos M.A.S de igual dirección y diferente frecuencia. . . . . . . . . . . . . . 4.7 Superposición de dos movimientos armónicos de períodos conmensurables   1 1 1 s , T2  100 s , T  50 T1  450 s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8 Pulsación o batido para el caso de amplitudes iguales . . . . . . . . . . . . . . 4.9 Combinación de dos movimientos armónicos simples mutuamente perpendiculares de igual frecuencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10 Trayectorias obtenidas de la superposición de dos movimiento armónicos simples mutuamente perpendiculares de igual amplitud e igual frecuencia, para distintas diferencias de fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.11 Figuras de Lissajous para ω2  2ω1 con distintas diferencias de fase inciales. . 4.12 Figura explicativa sobre la relación de frecuencia de acuerdo al criterio del cociente de los puntos de tangencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.13 Relación de frecuencias a partir de la observación del número de cortes que hace la figura con los ejes x y y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.14 Posición de los vectores rotantes para t  0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.15 Figura de Lissajous para ωω21  2 y δ  2π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.16 Figuras de Lissajous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Conexión de resortes en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73 74 75 75 76 77 78 79 80

82 82 83 83 84 85 87 88

Masa m conectada a dos resortes de diferente constante elástica . . . . . . . . 90 Masa m atada a un resorte de masa M que oscila libremente . . . . . . . . . . 91 Placa homogénea de lado L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Disco de radio R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Péndulo simple que describe un movimiento armónioo simple . . . . . . . . . 95 Bloque de madera flotando en el agua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Bloque de madera describiendo un movimiento armónico simple . . . . . . . 96 Péndulo físico constituido por una barra de masa m que tiene atada en su extremo una masa puntual m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 5.10 (a)Tabla atada a un resorte que le permite describir un movimiento armónico simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 5.11 (b)Tabla atada a un resorte en su posición de equilibrio. . . . . . . . . . . . . . 99 5.12 Varilla suspendida de un alambre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 5.13 Disco acoplado a dos resorte de diferente constante elástica . . . . . . . . . . . 101 5.14 Cilíndro de masa m suspendido por un resorte y una cuerda inextensible . . . 102 5.15 Disco de masa M conectado mediante una cuerda a un bloque de masa m y a un resorte de constante elástica k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.16 Cilindro sobre un plano inclinado atado a un resorte de constante elástica k . 105 5.17 Oscilación de una masa m atada al extremo de una varilla horizontal acoplada a un resorte vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9

5.18 Pistón sometido a una fuerza impulsora y soportado por un resorte de constante elástica k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 5.19 Oscilador armónico amortiguado forzado constituído por una masa m atada a un amortiguador de coeficiente de amortiguamiento b y a un resorte de constante elástica k sometido a una fuerza impulsora x 1  Xs e nωt . . . . . . . 110 5.20Oscilador Armónico Amortiguado Forzado, constituído por una masa m a un resorte de constante elástica k y atada a un amortiguador de coeficiente de amortiguamiento b y sometido a una fuerza impulsora x 1  Xs e nωt . . . . . . 112 5.21 Disco que gira con una masa m acoplada entre dos resortes . . . . . . . . . . . 114 5.22Cilindro macizo de radio r que rueda sobre una superficie cilíndrica de radio R 115 5.23 Amortiguador y resorte conectados en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.24 Circuito RLC conectado en paralelo a una fuente de corriente alterna . . . . . 118 5.25Potencia promedio absorbida por una oscilador armónico amortiguado forzado 119 5.26 Potencia media de entrada Pm en función de la frecuencia angular impulsora ω 120 5.27 Potencia media de entrada Pm en función de la frecuenia angular impulsora ω 121 5.28 Resorte y amortiguador conectados en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5.29 Oscilador amootigado forzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 5.30 Oscilador armónico amortiguado forzado, con y  y 0 se nωt . . . . . . . . . . . 127 5.31 Oscilador armónico amortiguado forzado, con y  y 0 se nωt . . . . . . . . . . . 127 5.32 Oscilador armónico amortiguado libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 5.33Péndulo simple de longitud L y masa puntual m, acoplado a un resorte de de constante de rigidez k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 5.34Péndulo simple de longitud L y masa puntual m, acoplado a un amortiguador de coeficiente de amortiguaiento b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.35 Péndulo invertido acoplado a dos resortes de igual constante elástica k . . . . . 132 5.36 Péndulo invertido acoplado a dos resortes de constantes elásticas k iguales. . . 132 5.37Trayectoria resultante de la superposición de dos movimientos armónicos simples mutuamente perpendiculares con diferencia de fase α  0. . . . . . . 134 5.38Trayectoria resultante de la superposición de dos movimiento armónios simples mutuamente perpendiculares con diferencia de fase π/2. . . . . . . . . . . . . 134 5.39Trayectoria resultante de la superposición de dos movimientos armónicos simples mutuamente perpendiculares con diferencia de fase α  π. . . . . . . 135 5.40Trayectoria resultante de la superposición de dos movimentos armónicos simples mutuamente perpendiculares con la relación de frecuenciasω1 /ω2  1/2 y δ  0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 5.41 Trayectoria resultante de la superposición de dos movimientos armónicos simples con la relación de frecuencias ω1 /ω2  1/2 y δ  π/3. . . . . . . . . . 137 5.42Trayectoria resultante de la serposición de dos movimientos armónicos simples mutuamente perpendiculares con la relación de frecuencias ω1 /ω2  1/2 y δ  π/2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8

Manómetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Elongación caso subamortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Péndulo físico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 Bloque de madera fotando en un fluido de desnidad ρ F . . . . . . . . . . . . . . 156 Bloque de madera de masa m flotando en el agua . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Bloque de madera después de haber sido empujado una distancia x . . . . . . . 157 Cilindro macizo de radio r que rueda sobre una superficie cilíndrica de radio R 164 Cilindro macizo de radio r que rueda sobre una superficie cilíndrica de radio R 167

7.1 Triángulo de lados a, b y c, donde sus ángulos se denotan por las letras de sus vértices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

Índice de cuadros 2.1 Casos patículares del Movimiento Amortiguado Libre, donde 1 (A) significa aperiódico, 2 (O.A) oscilatorio amortiguado y 1 (A.C) aperiódico crítico.text . . 43 2.2 Orden de magnitud de los valores de Q de algunos sistemas importantes, f0 es la frecuencia de resonancia aproximada del oscilador. a Obtenido del impacto del módulo lunar Apolo 12, b Cavidad de cobre, c De material superconductor, d Osciladores atómicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.3 Analogía fuerza-tensión de un oscilador mecánico amortiguado libre. . . . . . 52 3.1 Analogía Fuerza-tensión, de un oscilador mecanico armónico amortiguado forzado, siendo:a coeficiente de amortiguamiento,b Anchura de resonancia, c Energía potencial eléctrica, d Energía carga estática, eEnergía cinética elástica, f Energía de carga movil, g Energía absorbida en resonanciat . . . . . . . . . .

71

Introducción

Debido a que las estructuras y las máquinas experimentan cierto grado de vibración, se hace indispensable para su diseño, considerar el comportamiento oscilatorio. Generalmente se clasifica en sistemas lineales y no lineales, así; cuando la amplitud de la oscilación crece, los sistemas lineales tienden a volverse no lineales. Los cuerpos que poseen masa y elasticidad son capaces de vibrar. Sus vibraciones pueden ser libres o forzadas; la primera se presenta cuando el siste...