Oscilaciones Amortiguadas PDF

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Informe de oscilaciones amortiguadas física de ondas y física moderna...

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OSCILACIONES AMORTIGUADAS ANGELA VILLEGAS DIEGO DIMAS CAMILO GONZALEZ DANIELA AYALA UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE INGENIERÍAS exponencial), haciéndose cada vez más 1. RESUMEN pequeña hasta llegar a cero. Es decir, el Mediante esta práctica de laboratorio se sistema (la partícula, el péndulo, la cuerda buscó hallar el parámetro de de la guitarra) se detiene finalmente en su amortiguación γ , que mide la magnitud posición de reposo. [ 1 ] de la fricción, siendo mayor cuanto más intensa sea esta. Esto se hizo con ayuda La fuerza de rozamiento que experimenta de dos resortes de diferente longitud, de el resorte se opone siempre a la velocidad los cuales se colgó un soporte junto con de éste (si la masa va hacia la derecha, la discos de masas conocidas y se grabó su fuerza apunta hacia la izquierda y comportamiento al efectuar una fuerza viceversa). En primera aproximación es para producir un movimiento oscilante proporcional a la velocidad (en reposo no mientras éste se encontraba dentro del hay fuerza de rozamiento), por lo que se agua. Usando como apoyo programas puede escribir informáticos se tomó los datos encontrados y se graficó la amplitud en F=−γ v función del tiempo, donde encontramos (1) que γ =¿ para el primer resorte, lo que nos indica que hubo un movimiento Ecuaciones del oscilador amortiguado: La subamortiguado segunda ley de Newton para un oscilador 2. MARCO TEÓRICO En el caso en que un sistema reciba una única fuerza y oscile libremente hasta detenerse por causa de la amortiguación, recibe el nombre de oscilación libre. Éste es por ejemplo el caso cuando pulsamos la cuerda de una guitarra. Si en el caso de una oscilación libre nada perturbara al sistema en oscilación, éste seguiría vibrando indefinidamente. En la naturaleza existe lo que se conoce como fuerza de fricción (o rozamiento), que es el producto del choque de las partículas (moléculas) y la consecuente transformación de determinadas cantidades de energía en calor. Ello resta cada vez más energía al movimiento (el sistema oscilando), produciendo finalmente que el movimiento se detenga. Esto es lo que se conoce como oscilación amortiguada. En la oscilación amortiguada la amplitud de la misma varía en el tiempo (según una curva

armónico con amortiguamiento viscoso (en una dimensión) se escribe entonces

ma=− kx =− γ v

(2)

Pasando todo al primer miembro

ma + kx +γ v=0

(3)

Aplicando que la velocidad y la aceleración son las primera y segunda derivadas respecto al tiempo de la elongación nos queda la ecuación diferencial

mx ' ' + γ x ' +kx=0

(4)

Dividiendo por la masa de la partícula podemos escribirla como 2

x ' ' + 2 β x ' +ω0 x=0

(5)

Esta es la ecuación diferencial del oscilador armónico amortiguado. La constante

ω 0= √❑

(6)

es la frecuencia propia del oscilador. Equivale a la frecuencia natural con la que oscilaría el resorte si no tuviera rozamiento. Como veremos, la presencia de rozamiento reduce la frecuencia de las oscilaciones. La segunda constante

β=

anularse

γ 2m

(7)

que

Esta ya no es una ecuación diferencial. Es una ecuación de segundo grado cuyas soluciones nos dan los valores posibles de λ. Puesto que existen dos valores, la solución de la ecuación diferencial se escribe como la combinación x (t)=c1 e λ t +c 2 e λ t donde c1 y c2 son dos constantes cuyos valores se calculan a partir de las condiciones iniciales. 1

2

λ1=−β+ √ ❑ y

Solución matemática: La ecuación diferencial tiene las siguientes condiciones iniciales:

x (t=0)=x 0

x ' (t=0)=v 0

Esta ecuación diferencial es de las llamadas lineales (la elongación y sus derivadas no están elevadas a ninguna potencia). Para buscar una solución de una ecuación de este tipo proponemos una solución exponencial x =e λ t Derivando esta función λt

2

x ' ' =λ e

λt

y sustituyendo en la ecuación diferencial 2

λt

(λ +2 β λ +ω 0)e =0 Puesto que la exponencial nunca puede

λ2=−β− √ ❑

Vemos que, como se dijo antes, dependiendo del valor de β hay tres posibilidades, dependiendo del signo de lo que hay dentro de la raíz cuadrada ● ● ●

2

cumplirse

2

Resolviendo la ecuación de segundo grado nos quedan las soluciones

es la constante de amortiguamiento. Mide la magnitud de la fricción, siendo mayor cuanto más intensa sea ésta. Tanto la frecuencia propia ω0 como la constante de amortiguamiento β tienen dimensiones de inversa de un tiempo y se miden en s −1 en el SI.

x '=λ e

debe

2

λ +2 β λ +ω0 =0

Si β > ω0 las dos soluciones son reales y diferentes (caso sobreamortiguado). Si β = ω0 existe una solución real doble (amortiguamiento crítico). Si β < ω0 las dos soluciones son complejas conjugadas (caso subamortiguado).

Cada uno de estos casos merece un estudio por separado. [ 2 ]

3. MONTAJE Y PROCEDIMIENTO Para el montaje se utilizó un soporte universal, dos resortes de diferente grosor, un vaso con agua y diferentes pesos. Teniendo en cuenta que lo que se quería analizar eran oscilaciones amortiguadas se utiliza como agente amortiguador el agua. De los resortes se colgaron varios pesos (como podemos ver en la figura 1 se utilizó un resorte grueso que requiere poco peso, aquí se utilizaron masas de; 90gr, 100gr y 110gr mientras en la figura 2

se usa un resorte más delgado y compacto que requiere mayores pesos, para este usamos masas de 120g, 150g 170g) con estos pesos suspendidos de los resortes se buscaba que estuvieran totalmente sumergidos en el vaso con agua, y se hacían las respectivas observaciones. Para este análisis en particular, -ya que los resortes pierden fuerza por efecto del agua y al poco tiempo quedan quietos- las medidas se tomaron a partir de unos videos para posteriormente sacar los datos en un programa especializado para esto. Para efectos de conversión de unidades en el programa se tomó como base de medida un borrador.

4. RESULTADOS Y ANÁLISIS Las siguientes son las gráficas proporcionadas por el programa “Kinovea”, las cuales fueron diseñadas en base a videos tomados en el laboratorio para cada perturbación. Adicional a ello, también se muestra su respectiva regresión potencial de la amplitud de oscilación, al tomar todos los valores máximos de las gráficas dadas por el programa. Sistema 1: Resorte 1 masa 90 g A continuación se muestra la gráfica del sistema número 1 (gráfica 1), junto a su respectiva regresión exponencial (gráfica 2), se puede evidenciar que la disipación total se da aproximadamente a los 7,2 s o 7200 ms.

Figura 1: montaje con un resorte grueso y poca masa suspendida. Gráfica 1. Movimiento subamortiguado masa 90g resorte 1

Figura 2: montaje con resorte delgado.

Gráfica 2. Regresión exponencial de amplitud de movimiento subamortiguado primer resorte y masa 90 g

−0,35 t

Ecuación: A=6,6143 e Sistema 2: Resorte 1 masa 100 g Posteriormente se utilizó el mismo resorte con una masa de 100g, se muestra el la gráfica del sistema número 2 (gráfica 3) y su respectiva regresión exponencial (gráfica 4). Se empieza a evidenciar que el resorte tardó un tiempo mayor en detenerse. Para este sistema tardó 14.4s o 14400 ms en detenerse.

Gráfica 4. Regresión exponencial de amplitud de movimiento subamortiguado primer resorte y masa 100 g.

Ecuación: A=2,708 e−0,3t Sistema 3: Resorte 1 masa 110 g Finalmente se tomó un último registro para el resorte número 1 con una masa de 110 g, se muestra su comportamiento (gráfica 5) y su respectiva regresión exponencial (gráfica 6).Tardó 7.2 s en detenerse.

Gráfica 5. Movimiento subamortiguado masa 110 g resorte 1.

Gráfica 3. Movimiento subamortiguado masa 100 g resorte 1.

Gráfica 6. Regresión exponencial de amplitud de movimiento subamortiguado primer resorte y masa 110 g. Ecuación: A=4,6759

−0,35 t

e

Sistema 4: Resorte 2 masa 120 g Se utiliza el resorte número 2 para una masa de 120 g y se muestra su comportamiento a continuación(gráfica 7) y su respectiva regresión exponencial (gráfica 8). Tardó 4.8 s en detenerse.

Gráfica 7. Movimiento subamortiguado masa 120 g resorte 2

amplitud de movimiento subamortiguado segundo resorte y masa 150 g.

Ecuación: A=1,5121 e−0,43 Sistema 6: Resorte 2 masa 170 g Finalmente para el resorte 2 se tomó una masa de 170 g y su comportamiento se muestra a continuación (gráfica 11) con su respectiva regresión exponencial (gráfica 12). Tardó un tiempo de 4.5 s en detenerse.

Gráfica 8. Regresión exponencial de amplitud de movimiento subamortiguado segundo resorte y masa 120 g.

Ecuación: A=0,9204 e−0,35 t Sistema 5: Resorte 2 masa 150 g Posteriormente se utilizó el mismo resorte y una masa de 150 g, su comportamiento se muestra (gráfica 9) y su respectiva regresión exponencial (gráfica 10). Para esta nueva masa tarda 6.3 s o 6300 ms su tiempo aumenta respecto a la primera masa. Gráfica 9. Movimiento subamortiguado masa 150 g resorte 2.

Gráfica 10. Regresión exponencial de

siguiente: A = 6,6143 e-0,358t Donde Ao= 6.6143

(

−b )=−0.358 2m

de esta ecuación se puede despejar b:

b=0.358∗2∗0.09 kg kg b=0.0644 s se hace el mismo procedimiento para los diferentes sistemas, y se ilustra en la siguiente tabla:

Gráfica 11. Movimiento subamortiguado masa 170 g resorte 2.

Sistema

b (kg/s)

1

0.0644

2

0.026

3

0.077

4

0.089

5

0.012

6

n/a

Tabla 1.Valores encontrados de coeficiente de amortiguamiento del agua para cada uno de los sistemas

Gráfica 12. Regresión exponencial de amplitud de movimiento subamortiguado segundo resorte y masa 170 g.

Para esta última regresión no se pudo hallar una ecuación ya que se presentaron problemas en la toma de datos. Al analizar la función encontrada de amplitud (más exactamente de la gráfica 2), y conociendo la siguiente ecuación: (

A= A0 e

−b )t 2m

, se puede identificar lo

Al realizar un promedio de los b hallados en los diferentes sistemas el valor es b=0.053 kg/s, este valor se compara con el teórico de 0.05 kg/s y se obtiene un error del 10%. Con este valor obtenido para b , es posible conocer el tiempo característico, que viene dado por la masa 1, 2 y 3, dependiendo el caso y utilizando el valor de coeficiente de amortiguamiento encontrado, con apoyo de la ecuación:

T=

m , realizamos el periodo para los b

diferentes sistemas: Sistema

T

1

1.80 s

2

1.88 s

3

2.07s

4

2.26s

5

2.83s

6

3.20s

Tabla 2. Valores obtenidos del tiempo característico de cada sistema.

En los casos estudiados, se debe hacer la comparación del tiempo que transcurrió para la disipación total de cada uno de los sistemas, para identificar si se cumple que cuando se registran más de 5T, la energía es casi cero. Dicho tiempo se puede deducir de las gráficas presentadas anteriormente, en especial, las de las regresiones potenciales. De este modo: Sistema

T

5T

1

6.6s

9s

2

13,8s

9.4s

3

6.6s

10.35s

4

4.2s

11.3s

5

6.3s

14.15s

6

3.9s

16s

Tabla 3. Tiempo de disipación del movimiento subamortiguado de cada sistema.

Podemos analizar que solo el sistema 2 sobrepasa la condición de 5T, por lo que se puede decir que los resultados están en un buen rango de exactitud. Sistema

ɣ (1/s)

1

0.58

2

0.53

3

0.48

4

0.44

5

0.35

6

0.31

Tabla 4. Variable gama para los diferentes sistemas

En la anterior tabla se muestra el valor de gama para los diferentes sistemas, cabe recordar que dicha variable tiene unidad de (1/s) y se calcula mediante la ecuación ɣ=b/m.

A partir de los resultados obtenidos es posible ver cómo este fenómeno arroja el mismo comportamiento en todos los sistemas analizados. El uso de programas y medios electrónicos facilitó bastante el respectivo análisis y toma de datos. Aunque el comportamiento gráfico fue el esperado el margen de error fue bastante, hay que tener en cuenta aquí que estas desviaciones o márgenes de error se pudieron dar debido a la imprecisión a la hora de poner a oscilar los resortes, se pudo ver en algunas ocasiones que la masa no tenía un movimiento constante sino que empezaba a rotar sin embargo cuando se vio esto, la se repitió la muestra y toma de datos. Sin embargo otro factor que pudo influir aquí fue la resolución de la cámara y como el programa tomó estos datos. Sin ayuda de elementos actuales habría sido muy difícil apreciar los datos experimentales con precisión. 5.

CONCLUSIONES

La constante de amortiguamiento será quien defina el tipo de movimiento, en este caso sólo se trabajó con agua, un fluido cuya b es bastante baja. Se puede identificar que los sistemas superan 5t. El movimiento armónico simple estudiado superó el 10% de error 6. BIBLIOGRAFÍA

[ 1 ] Oscilaciones amortiguadas. Física Cuántica. Tomado de: https://edbar01.wordpress.com/about/eve ntos-ondulatorios/oscilacionesamortiguadas/

[ 2 ] Oscilaciones amortiguadas (GIE). Departamento de Física Aplicada III, Universidad de Sevilla. Tomado de: http://laplace.us.es/wiki/index.php/Oscilaci ones_amortiguadas_(GIE)...