Guia de Problemas Oscilaciones Amortiguadas y Forzadas PDF

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Universidad de Chile Departamento de F´ısica FI1002-2 - Sistemas Newtonianos

Gu´ıa de Problemas: Oscilaciones Amortiguadas y Forzadas RECORDATORIO: • Movimento Armonico Simple: Imaginemos que tenemos un una masa unido a un resorte o un pendulo que oscilan. Este movimiento se puede expresar haciendo diagramas de cuerpo libre de cada uno. Suponiendo que no hay roce se tiene: x ¨ + ω o2 x = 0

o

θ¨ + ωo2θ = 0

La solucion de esta ecuacion es del tipo (las 3 son equivalentes)   Acos(ωo t + ϕo ) x(t) = Bsen(ωo t + ψo )   Csen(ωo t) + Dcos(ωo t) Por lo general se utiliza mas la priemera solucion, la que tiene un coseno (de esta se basan para sacar las soluciones de las amortiguadas y forzadas en este curso). Las constantes A,B,C,D y los desfaces ϕo , ψo se pueden sacar a partir de las condiciones iniciales x(0) y x(0) ˙ • Oscilaciones Amortiguadas: Despues de entender el movimento armonico simple, notamos que pueden existir fuerzas que influyen sobre una oscilacion. Es el caso del roce viscoso por ejemplo. Este se puede expresar de la forma Fr.viscoso = −bx. ˙ Esta fuerza est´a completamente ligado a la velocidad del sistema. Entre mas rapido va, mas lo frena. Entonces una osilacion amortiguada sera del tipo: 1 x ¨ + x˙ + ωo2x = 0 τ Cuya solucion sera: t x(t) = Ae− 2τ cos(Ωt + φ0 ) con Ω2 = ωo2 −

1 (Esta es la nueva frecuencia del sistema) 4τ 2

• Oscilaciones Forzadas: Ahora imaginemos que no solo existe algun tipo de frenado. Supongamos que existe una fuerza externa que vaya ”forzando” nuestra osilacion. Este se vera de la forma: F (t) 1 x ¨ + x˙ + ωo2x = M τ

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** F(t) tendra que ser de la forma F (t) = Fo sin(ωt) para simplificar nuestros calculos. ω es completamente independiente de ωo y Ω, esta nos dice la frecuencia en la que ”oscila nuestra fuerza externa” Como nuestra EDO ya es un poco mas complicada, la solucion sera de igual manera un poco mas larga. La solucion de un osilacion forzada toma la forma: Fo sin(ωt − δ) ω 2 )2 + ( ωτ )2

t

x(t) = Ae− 2τ cos(Ωt + φ0 ) +

M

p

(ωo2 −

ω − ω2) Finalmente existe algo que se llama frecuencia de resonancia que es cuando se producen valores maximos en nuestra solucion y la amplitud aumenta considerablemente.

donde Ω es la misma que en las amortiguadas y con tan(δ) =

ωr2 = ω 2o −

τ (ωo2

1 2τ 2

No olvidarse del periodo del sistema, este es el tiempo en que se demora la oscilacion en dar una vuelta completa. Si se pide el periodo de un movimiento armonico simple T = 2πωo , o (La frecuencia que se utiliza es la que acompa˜na al t de una osiclacion amortiguada T = 2π Ω dentro del seno o coseno ya que esa es la frecuencia de oscilacion del sistema) PROBLEMAS: P1. Un nino de masa M esta sentado en un columpio de masa m y largo L. El coeficiente de roce viscoso del columpio y el nino con el aire es b. Si el columpio se empuja con una fuerza ~F = F sin(ωt) ˆθ donde theta es la direccion tangencial al movimiento del columpio (es decir, perpendicular siempre a la cuerda, y en direccion creciente), se le pide detallar (a) La ecuacion de movimiento del columpio (b) El periodo de pequenas oscilaciones (c) La frecuencia de resonancia del columpio

Figure 1: Columpio

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P2. Considere una partıcula de masa m que esta apoyada sobre un resorte de constante k y largo natural lo , bajo la accion de gravedad. El punto B de donde se sostiene el resorte se encuentra en t = 0 al nivel de la mesa. (a) Encuentre la altura de equilibrio de la masa (b) En t = 0, cuando la masa esta quieta y en la posicion de equilibrio, el punto B comienza a oscilar verticalmente. El movimiento de B puede ser descrito como r~B (t) = A0sin(ωt)ˆj. Encuentre la ecuacion que describe el movimiento de la masa. (c) Resuelva la ecuacion de movimiento para las condiciones iniciales dadas (d) Manteniendo la amplitud A0 fija, considere que la frecuencia ω es menor que la frecuencia de resonancia. ¿Cual es la frecuencia maxima para que la masa nunca choque con la mesa?

Figure 2: Resorte

P3. Considere un disco de radio Ry masa M al cual se conecta un resorte de constante k y largo natural lo , como se muestra en la figura. El disco puede rodar sin resbalar sobre una superficie rugosa cuyo coeficiente de roce estatico es µ . Suponga que el movimiento es de peque˜ na amplitud de modo que el resorte es´a dispuesto siempre en forma horizontal. (a) Calcule la frecuencia de peque˜ nas oscilaciones del sistema (b) Determine la fuerza de roce como funcion del tiempo Fr (t) (c) Encuentre la condicion que asegure que el disco no resbale sobre la superficie rugosa.

Figure 3: P3

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P4. Considere una masa m = 0, 5[Kg], la cual cae desde una altura h = 5[m], se adosa a un resorte de constante k = 2. El sistema resultante viene gobernado por la ecuaci´on de movimiento: z”(t) + (2w)z ′ (t) + w2 z (t) = 0 La magnitud z(t) mide la posici´on de la masa m, con respecto al punto de equilibrio y w = (k/m)1/2. La soluci´on general del problema viene dada por la relaci´on: z(t) = (A + Bt)exp(−wt), donde A y B son constantes que se ajustan con las condiciones iniciales. (a) Determine A y B, usando las condiciones iniciales del problema (b) Determine el instante t∗, en el cual el resorte llega a su m´axima compresi´on. Para ello, elija el cero temporal en el instante en que la masa colisiona con el resorte (c) ¿Cu´ al ser´a la energ´ıa total disipada por el amortiguador?

Figure 5: P5

Figure 4: P4

P5. Se superponen dos masas en presencia de dos resortes de largo natural L, como se indica en la figura. Calcule la amplitud maaxima de oscilacion de modo que ambas masas no se separen, gracias a la presencia de una fuerza de roce estatico (de constante µe ). P6. Considere un objeto de masa M que puede oscilar alrededor de un eje que lo atraviesa. Sea I el momento de inercia para rotaciones alrededor de ese eje y L la distancia entre el eje y el centro de masas del objeto (a) Encuentre el periodo T para peque˜ nas oscilaciones alrededor de su posicion de equilibrio. (b) Demuestre que un pendulo simple equivalente (igual periodo) tiene un largo Lo =

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I mL

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P7. La figura representa un modelo de un automovil, de masa M , y suspension de constante el´aastica total k y largo natural lo . Supondremos que los resortes que componen las suspensi´ on son tan r´ıgidos que se desprecia el efecto de la gravedad. Se modelar´a la disipacion como un roce viscoso lineal, de constante b. En equilibrio, la distancia entre el piso y el autom´ ovil es d = l2o Un terremoto ejerce una fuerza Fo sen(ωt)sobre el vehiculo, en direcci´on vertical. Se observa que ´este alcanza un estado estacionario cuya amplitud es tal que el auto toca justo el piso. ¿Cu´ al es la frecuencia ω de forzaje del temblor?

Figure 6: P7 P8. La figura muestra un disco de radio R y masa M homogeneamente distribuida, que rueda sin resbalar sobre una superficie rugosa. El disco est´a unido por su centro al extremo de un resorte de constante elastica k y largo natural lo . El otro extremo est´a unido a un piston que realiza un movimiento oscilatorio, dado por xp = Asen(ωt). El sistema se encuentra sumergido en un fluido viscoso, de manera que el disco siente una fuerza de roce viscoso dado por Frv = −b~v , donde ~v es la velocidad de su centro de masa con respecto a la superficie. (a) Encuentre la ecuacion de movimiento del disco (b) Escriba la expresion de la trayectyoria del centro de masa del disco para tiempos largos (c) Bosqueje la amplitud de las oscilaciones del centro de masa del disco en funcion de ω . Explique cualitativamente su bosquejo.

Figure 7: P8

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P1

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P2

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P3

P4 ´ ´ CAPITULO 13. OSCILADOR ARM ONICO

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Soluci´ on al problema 22 a) Sea x0 la magnitud que el resorte se comprimir´a respecto a su largo natural una vez que llegue al equilibrio. Se tiene que kx0 = mg o sea,

mg 0.5 · 10 m = 2.5 m. = 2 k La velocidad v0 de la masa cuando choca con el resorte viene dada por x0 =

v0 =

p

2gh =

√ 2 · 10 · 5

m m = 10 . s s

Por consiguiente, las condiciones iniciales son x(0) = x0 = 2.5 m y

x(0) ˙ = −v0 = −10

La frecuencia angular natural del sistema es ω0 = expresi´on z(t) = (A + Bt)e−ω0 t

m . s

p k/m = 2 1s . Derivando la

se obtiene z(t ˙ ) = (B − Aω0 − Bω0 t)e−ω0 t . Evaluando estas expresiones en t = 0 se obtiene z(0) = A

y

z(0) ˙ = B − Aω0 .

Usando las condiciones iniciales se encuentra para A y B los valores A = x0 = 2.5 m y B = Aω0 + z(0) ˙ = (2.5 · 2 − 10)

m m = −5 . s s

b) La velocidad z(t) ˙ es nula cuando (B − Aω0 − Bω0 t) = 0. De esta relaci´ on se deduce que ello ocurre en el instante   1 1 A 2.5 s=1s . − = − to = ω0 B 2 (−5) c) La figura 13.31 muestra el gr´afico de la posici´ on z(t) en funci´ on del tiempo.

´ ´ CAPITULO 13. OSCILADOR ARM ONICO

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0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

t z(t)

0

1

2

−0.1

3

4

−0.2 −0.3 −0.4

Figura 13.31

d) Del cambio de energ´ıa potencial ∆U = mg(h + x0 ), 1 2 kx 2 o queda como energ´ıa potencial del resorte; el resto se disipa. Por lo tanto, la energ´ıa disipada es

Q = mgh + mgx0 −

1 2 kx 2 0

1 = mgh + kx20 2   1 1 · 10 · 5 + · 2 · (2.5)2 Joule = 31.25 Joule = 2 2

P5

2 Resoluci´on de problemas P1. Situamos un eje horizontal con x = 0 en el centro del sistema (coincidente con el largo natural de ambos resortes). Se impone una direcci´on arbitraria para Fr y opuesto para cada masa y, para conservar generalidad, se considera que no necesariamente es positivo. La fuerza el´ astica se dibuja ”alej´andose del resorte” y se utilizar´a la f´ormula Fe = −k△x. DCL asociados:

7

Es claro que:

m2 a2x

N 1 − m1 g = 0 → N 1 = m1 g m1 a1x = Fr + Fe1 = Fr + (−k1 △x) = Fr − k1 x N2 − m2 g − N1 = 0 → N2 = m2 g + N1 = (m1 + m2 )g = −Fe2 − Fr = −(−k2 △x) − Fr = +k2 (−x) − Fr = −k2 x − Fr

Es claro que, como las masas no se separan, la aceleraci´on en el eje x de ambos cuerpos coincide (a1x = a2x = a) m1 a = Fr − k1 x m2 a = −k2 x − Fr Uniendo las ecuaciones: Fr − k1 x −k2 x − Fr = m1 m2 Fr m2 − k1 m2 x = −k2 m1 x − Fr m1 Fr (m1 + m2 ) x= k1 m 2 − k2 m 1 Los casos l´ımite son cuando Fr = ±µe N1 = ±µe m1 g xmax = ±

µe m1 (m1 + m2 )g m 2 k1 − m 1 k2

Y como la amplitud se define como positiva: Amax =

µe m1 (m1 + m2 )g |m2 k1 − m1 k2 |

Podemos tambi´en calcular la frecuencia natural de oscilaciones, sabemos que: m1 a = Fr − k1 x m2 a = −k2 x − Fr Despejamos:

8

m1 a + k1 x = −k2 x − m2 a 2 a + mk11+k x=0 +m2 k1 +k2 x = 0 x ¨ + m1 +m2 Lo que representa un MAS con: ω02 =

k1 + k2 m1 + m2

P6

P16. Dibujamos un objeto cualquiera. DCL:

Es claro que solo el peso ejerce torque. Luego τ = −M g Lsin(θ). Como conocemos la inercia: Iθ¨ = −M gLsin(θ) Para peque˜ nas oscilaciones: 0 = θ¨ + Entonces T =

2π ω0

= 2π

q

M gL θ I

I . M gL

Ahora consideramos el caso de un p´endulo simple de masa M y largo

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I . ML

DCL:

El momento de inercia es I = (M asa)(Largo)2 = M

I2 M 2 L2

=

I2 . M L2

Luego

sin(θ) I θ¨ = −M g (Largo)sin(θ) = −M g MIL sin(θ) = − gI L gI I2 θ ¨ = − sin(θ) L M L2 I θ ¨ = −gsin(θ) ML Para peque˜ nas oscilaciones: 0 = θ¨ +

gM L θ I

En efecto, ambas tienen igual ecuaci´ on de movimiento y, por lo tanto, per´ıodo de peque˜ nas oscilaciones.

P7

P8

Pauta Control 2 Pregunta 2 P3: La figura muestra un disco, de radio R y masa M homogeneamente distribuida, que rueda sin resbalar sobre una superficie rugosa. El disco esta unido por su centro al extremo de un resorte de constante el´ astica k y largo natural l0 . El otro extremo del resorte esta unido a un pist´on que realiza un movimiento oscilatorio, dado por xp (t) = A sin [(!t). El sistema se encuentra sumergido en un fluido viscoso, de manera que el disco siente una fuerza de roce viscoso dado por F~rv = −b~v , donde ~v es la velocidad de su centro de masa con respecto a la superficie. 1. (3 pts.) Encuentre la ecuaci´ on de movimiento del disco. 2. (1.5 pts.) Escriba la expresion de la trayectoria del centro de masa del disco para tiempos largos. 3. (1.5 pts.) Bosqueje la amplitud de las oscilaciones del centro de masa del disco en funci´ oon de !. Explique cualitativamente su bosquejo.

FIG. 1: Figura Problema 2 Control 2

Soluci´ on: 1.- La ecuaci´ on de movimiento del disco se puede encontrar planteando la ecuaci´ on de movimiento del centro de masa y de rotaci´ on con respecto al CIR (Centro instant´aneo de rotaci´ on) que llamaremos O. Tomando como referencia la posici´ on de la pared en reposo (cuando A = 0), la ecuaci´ on que describe como se mueve el centro de masa y(t) es

M

dy(t) d2 y(t) = −k(y(t) − xp (t) − l0 ) − b + fr (t) dt2 dt

(1)

donde fr (t) es la fuerza de roce est´ atico que permite que el disco ruede sin resbalar. La ecuaci´ on de torque con respecto a O es IO d2 y(t) dy(t) = −k(y(t) − xp (t) − l0 )R − b )R dt R dt2

(2)

donde hemos usado la condici´ on geom´etrica dy(t) = Rd(t) con (t) el a´ngulo que describe el disco al girar. Sabiendo que el momento de inercia con respecto a O de un disco, usando Steiner es IO = M R 2 + M R2 /2 = 3M R2 /2, la ecuaci´ on para el centro de masa del disco es 2k d2 y(t) 2b dy(t) 2k 2k l0 A sin (!t) − + + y(t) = 3M 3M 3M dt dt2 3M Adem´ as encontramos que la fuerza de roce fr (t) = − M2

(3)

d 2 y(t) dt2

2.- Para tiempos largos, luego de dejar pasar el transiente encontramos primero que la posici´on de equilibrio de y(t) es l0 (lo que es esperable ya que ese es el largo natural del resorte). Sobre esta posici´ on de equilibrio se encuentra

2

Curva de resonancia para ω τ = 10 o

10 9 8

6

0

(y(t)−l )/A

7

5 4 3 2 1 0 0

0.5

1

1.5

ω/ω

2

2.5

3

o

FIG. 2: Curva de resonancia

la oscilaci´ on a tiempos largos. De la ecuaci´on (3) notamos que ⌧ =

3M 2b

, !o =

q

2k 3M

y fo = A! 2o .

3.- La curva de resonancia tiene la forma mostrada en la Figura 2. Utilizamos las variables normalizadas !/!o y (y(t) − l0 )/A por simplicidad. As´ı la curva tiene un m´aximo en 1 y su valor es !o ⌧ ....