Resumen y formulario Oscilaciones PDF

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Exámen....

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OSCILADORES

ÍNDICE NOTACIÓN GENERAL......................................................................................................................................................... 2 MOVIMIENTO OSCILATORIO: IDEAS BÁSICAS ................................................................................................................... 2 MOVIMIENTO OSCILATORIO ARMÓNICO SIMPLE (OAS) .................................................................................................. 3 FORMULARIO DEL OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLE ....................................................................................................... 9 MOVIMIENTO OSCILATORIO AMORTIGUADO (MOA) .................................................................................................... 10 MOA SOBREAMORTIGUADO....................................................................................................................................... 14 MOA CRÍTICO .............................................................................................................................................................. 16 MOA DÉBILMENTE AMORTIGUADO ........................................................................................................................... 18 CASO SIMPLIFICADO DEL MOA DÉBILMENTE AMORTIGUADO .................................................................................. 22 FORMULARIO DEL OSCILADOR AMORTIGUADO ........................................................................................................... 24 MOVIMIENTO ARMÓNICO FORZADO (MAF) .................................................................................................................. 25 RESONANCIA (EN VELOCIDAD O EN ENERGÍA) EN EL MAF CON FUERZA PERIÓDICA ................................................32 RESONANCIA EN AMPLITUD EN EL MAF CON FUERZA PERIÓDICA ............................................................................ 34 FORMULARIO DEL OSCILADOR ARMÓNICO FORZADO ................................................................................................. 35

NOTACIÓN GENERAL

𝑥𝑒 − Variable 𝑥 con subíndice e (de equilibrio) indica posición o longitud de equilibrio.

𝑥, 𝑥󰇗 , 𝑥󰇘 − Una variable cualquiera 𝑥 con uno o dos puntos sobre sí misma indica derivada primera o segunda de la 𝑑𝑥 𝑑2𝑥 variable con respecto al tiempo, es decir: 𝑥󰇗 = o 𝑥󰇘 = 𝑑𝑡 2 . En este caso, dado que 𝑥 es el desplazamiento, 𝑥󰇗 , 𝑥󰇘 son 𝑑𝑡 Aunque velocidad y aceleración, respectivamente. Nota: trabajemos con valores concretos para la velocidad y la aceleración, las expresaremos siempre con esta notación para no ir variando de una fórmula a otra.

TEMA 1 – MOVIMIENTO OSCILATORIO LEY DE ELASTICIDAD DE HOOKE (para muelles o resortes ideales): FUERZA DEL MUELLE SOBRE UNA MASA ADHERIDA ( 𝑵 )

𝐹(𝑥) = −𝑘(𝑥 − 𝑥𝑒 )

�

𝑘 (𝑁 �𝑚 ) 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑢𝑒𝑙𝑙𝑒 (𝑥 − 𝑥𝑒 ) 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑠𝑒 𝑒𝑗𝑒𝑟𝑐𝑒 𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜

ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA DEL MUELLE ( 𝑱 ) 𝑥

𝑥

𝑈(𝑥) = � |𝐹|𝑑𝑥 = 𝑘 � |𝑥 − 𝑥𝑒 | 𝑑𝑥 = 𝑥𝑒

𝑥𝑒

𝑘 (𝑥 − 𝑥𝑒 )2 = 𝑈(𝑥) 2

Nota: La expresión para la energía potencial elástica del muelle es la misma que la del trabajo realizado para desplazar la masa adherida al muelle con respecto a la posición de equilibrio del sistema, es decir: 𝑊(𝑥) = 𝑈(𝑥) =

𝑘 (𝑥 − 𝑥𝑒 )2 2

MOVIMIENTO OSCILATORIO ARMÓNICO SIMPLE o MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (𝑶𝑨𝑺) FÓRMULA GENERAL Y SOLUCIÓN Para hallar la fórmula general del 𝑂𝐴𝑆 combinamos la ley de Hooke con la 2ª ley de Newton: 𝐿𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝐻𝑜𝑜𝑘𝑒: 𝐹 = −𝑘(𝑥 − 𝑥𝑒 )

⟹ −𝑘(𝑥 − 𝑥𝑒 ) = 𝑚 · 𝑥󰇘 2ª 𝑙𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛: 𝐹 = 𝑚 · 𝑥󰇘 Tomando 𝑥𝑒 = 0 y reordenando los términos nos queda una importante ecuación diferencial: �

𝑥󰇘 𝑚 + 𝑘𝑥 = 0 ⟹

𝑥󰇘 𝑚 𝑘𝑥 0 𝑘 = ⟹ 𝑥󰇘 + 𝑥 = 0 + 𝑚 𝑚 𝑚 𝑚

Ahora definimos, por convención y conveniencia, el cuadrado de la frecuencia angular, para osciladores simples, como: 𝓌𝑜2 ≝

𝑘 𝑚

Lo cual nos permite re-expresar la EDO de forma más sencilla:

𝑥󰇘 + 𝓌𝑜2 𝑥 = 0

Se trata de una EDO lineal de segundo orden, cuya solución 𝑥(𝑡) en este caso es una suma de funciones sinusoidales del tipo:

𝐵 · sin(𝓌𝑜 𝑡) + 𝐶 · 𝑐𝑜𝑠(𝓌𝑜 𝑡)

Por el teorema de la suma de armónicos se sabe que la combinación lineal de funciones sinusoidales con una misma frecuencia angular (un mismo periodo) resulta en otra función sinusoidal (seno o coseno), cuya amplitud y fase inicial se puede calcular a partir de las dos primeras, por ejemplo:

𝐵 · cos(𝓌𝑜 𝑡) + 𝐶 · 𝑠𝑖𝑛(𝓌𝑜 𝑡) = 𝐴 · cos(𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼)

2 2 ⎧ 𝐴 = �𝐵 + 𝐶

⎨ 𝛼 = 𝑡𝑔 �𝐶 � ⎩ 𝐵

Como trataremos con movimientos arbitrarios, bastará recordar que nuestra solución a la EDO lineal de segundo orden puede expresarse en forma de función seno o coseno y tendrá una amplitud (A) y una fase (α). 𝜋 𝑥(𝑡) = 𝐴 · cos(𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼) = 𝐴 · sin �𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼 + � 2

𝜋 𝑥(𝑡) = 𝐴 · sin(𝓌𝑜 𝑡 + 𝛽) = 𝐴 · cos �𝓌𝑜 𝑡 + 𝛽 + � 2

Para simplificar usaremos sólo la función coseno a partir de ahora. Así pues, la solución y sus dos primeras derivadas nos dan respectivamente la expresión del desplazamiento, velocidad y aceleración del 𝑂𝐴𝑆, a saber: 𝑥(𝑡) = 𝐴 · cos(𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼) 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 (𝑚)

𝑚 𝑥󰇗 (𝑡) = −𝐴 · 𝓌𝑜 · sin(𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼) 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 � � 𝑠

𝑥󰇘 (𝑡) = −𝐴 · 𝓌𝑜2 · cos(𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼) 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 �

𝑚

FRECUENCIA ANGULAR, PERIODO Y FRECUENCIA Idea: La frecuencia angular puede entenderse, por ejemplo, como la velocidad en que la función sobre la gráfica tiempo-posición varía su ángulo de inclinación respecto a los ejes o como una especie de velocidad angular si trasladamos el movimiento sobre una circunferencia.

𝑥

𝑥󰇗

𝛼

𝐴

𝜔

Como ya vimos antes, el cuadrado de la frecuencia angular está definido. Luego:

𝓌𝑜 2 ≝

𝑘 𝑘 𝑟𝑎𝑑 ⟹ 𝓌𝑜 = � 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑜 𝑝𝑢𝑙𝑠𝑎𝑐𝑖ó𝑛 � � 𝑚 𝑚 𝑠

El periodo o periodo de oscilación será el tiempo que tarda el oscilador en recorrer una vuelta completa sobre esa circunferencia o también puede entenderse como el tiempo que tarda la función desplazamiento del OAS en “repetirse”. En cualquier caso, dependerá de la frecuencia angular: 𝑇=

2𝜋 𝑚 = 2𝜋� 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 (𝑠) 𝓌𝑜 𝑘

Finalmente, dado que la frecuencia es el número de repeticiones periódicas por segundo, es decir, la inversa del periodo:

𝑓=𝜐= Nótese que en general:

1 𝓌𝑜 1 𝑘 � 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 (𝑠 −1 ), (𝐻𝑧) = = 𝑇 2𝜋 2𝜋 𝑚 ↑ 𝓌𝑜 ⟺ ↓ 𝑇 ⟺ ↑ 𝑓

↓ 𝓌𝑜 ⟺ ↑ 𝑇 ⟺ ↓ 𝑓

POSICIÓN Y AMPLITUD SEGÚN CONDICIONES INICIALES 𝒙𝒐 , 𝒙󰇗 𝒐 (solución particular de la EDO del OAS):

Sean 𝑥𝑜 y 𝑥󰇗 𝑜 posición y velocidad inicial dadas, con sus valores respectivos, igualaremos estos dos valores iniciales a las ecuaciones generales para el desplazamiento y la velocidad en el momento 𝑡 = 0 o momento inicial, es decir: 𝑥(0) = 𝐴 · cos(𝓌𝑜 · 0 + 𝛼) = 𝐴 · cos(𝛼) = 𝑥𝑜

𝑥󰇗 (0) = −𝐴 · 𝓌𝑜 · sin(𝓌𝑜 · 0 + 𝛼) = −𝐴 · 𝓌𝑜 · sin(𝛼) = 𝑥󰇗 𝑜

A partir de este sistema de dos ecuaciones trataremos de aislar la amplitud A para obtener su valor según condiciones iniciales. Una forma de hacerlo es aislando las expresiones sinusoidales y aplicar una identidad pitagórica conocida: 2 ⎧ cos2 (𝛼) = �𝑥𝑜 � 𝑥𝑜 ⎪ cos(𝛼) = 𝐴 𝐴 � ⟺ 2 𝑥󰇗 𝑜 ⟺� ⎨ sin2 (𝛼) = � 𝑥󰇗 𝑜 � sin(𝛼) = ⎪ −𝐴 · 𝓌𝑜 · sin(𝛼) = 𝑥󰇗 𝑜 −𝐴 · 𝓌𝑜 −𝐴 · 𝓌 𝑜 ⎩

𝐴 · cos(𝛼) = 𝑥𝑜

2 𝑥𝑜2 · 𝓌𝑜2 + 𝑥󰇗 𝑜2 𝑥󰇗 𝑜 𝑖𝑑 . 𝑝𝑖𝑡𝑎𝑔ó𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑥𝑜 2 �⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� cos2 (𝛼) + sin2 (𝛼) = 1 ⟹ � � + � � =1⟺ =1⟺ −𝐴 · 𝓌𝑜 𝐴 𝐴2 · 𝓌𝑜2

⟺

𝑥𝑜2 · 𝓌𝑜2 + 𝑥󰇗 𝑜2 𝑥󰇗 𝑜2 𝑥󰇗 𝑜2 = 𝐴2 ⟺ 𝑥𝑜2 + 2 = 𝐴2 ⟺ 𝐴 = �𝑥𝑜2 + 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 (𝑚) 2 𝓌𝑜 𝓌𝑜 𝓌𝑜2

Nótese, por tanto, que la amplitud será constante durante todo el movimiento OAS y sólo dependerá de la posición inicial respecto al punto de equilibrio, la velocidad inicial, la masa del cuerpo adherido al muelle y la constante elástica del muelle (𝑥𝑜 , 𝑥󰇗 𝑜 , 𝑚, 𝑘).

Si desconocemos la fase inicial pero disponemos de los valores de las condiciones iniciales, también podemos resolver la ecuación de posición 𝑥(𝑡) ∀𝑡. Para ello la manipularemos con la propiedad trigonométrica del coseno de la suma de ángulos y emplearemos las dos ecuaciones ya conocidas para 𝑥(0) y 𝑥󰇗 (0) : 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠

𝑥(𝑡) = 𝐴 · cos(𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼) � ����������������������� 𝑥(𝑡) = 𝐴 · 𝑐𝑜𝑠(𝓌𝑜 𝑡) · 𝑐𝑜𝑠(𝛼) − 𝐴 · 𝑠𝑖𝑛(𝓌𝑜 𝑡) · 𝑠𝑖𝑛(𝛼) 𝐴 · cos(𝛼) = 𝑥𝑜 𝑥󰇗 𝑜 ⟹ 𝑥(𝑡) = 𝑥𝑜 · 𝑐𝑜𝑠(𝓌𝑜 𝑡) + · 𝑠𝑖𝑛(𝓌𝑜 𝑡) � 𝓌𝑜 −𝐴 · 𝓌𝑜 · sin(𝛼) = 𝑥󰇗 𝑜

Esta ecuación constituye la solución particular de la posición del OAS (para condiciones iniciales dadas). Si la derivamos una y dos veces obtendremos, además, las ecuaciones para la velocidad y la aceleración, respectivamente: 𝑥(𝑡) = 𝑥𝑜 · 𝑐𝑜𝑠(𝓌𝑜 𝑡) +

𝑥󰇗 𝑜 · 𝑠𝑖𝑛(𝓌𝑜 𝑡) 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜, (𝑚) 𝓌𝑜

𝑚 𝑥󰇗 (𝑡) = −𝑥𝑜 · 𝓌𝑜 · 𝑠𝑖𝑛(𝓌𝑜 𝑡) + 𝑥󰇗 𝑜 · 𝑐𝑜𝑠(𝓌𝑜 𝑡) 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑, � � 𝑠

𝑥󰇘 (𝑡) = −𝑥𝑜 · 𝓌𝑜2 · 𝑐𝑜𝑠(𝓌𝑜 𝑡) − 𝑥󰇗 𝑜 · 𝓌𝑜 · 𝑠𝑖𝑛(𝓌𝑜 𝑡) 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 �

𝑚

𝑠2

�

Por tanto, ∀𝑡 podemos conocer los valores de 𝑥(𝑡), 𝑥󰇗 (𝑡) y 𝑥󰇘 (𝑡) si son conocidas las constantes 𝑥𝑜 , 𝑥󰇗 𝑜 , 𝑚, 𝑘, es decir: posición inicial, velocidad inicial, masa del cuerpo adherido al muelle y constante elástica del muelle.

Idea: Alternativamente podríamos hallar, junto con la amplitud (A), la fase (α) a partir de las condiciones iniciales y aplicar, por tanto, las fórmulas de desplazamiento, velocidad y aceleración vistas al principio del tema.

𝑥𝑜 ⎪𝐴 · cos(𝛼) = 𝑥𝑜 ⟺ cos(𝛼) = 𝐴 ⎨ 2 𝑥󰇗 𝑜2 ⎪ 2 𝑥𝑜 𝑥󰇗 𝑜 𝐴 = �𝑥𝑜2 + ⎩ ⟹ cos(𝛼) = �𝑥𝑜 + 𝑥𝑜𝓌𝑜2 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 � � = arccos 𝐴

�𝑥𝑜2 +

Otra expresión para la misma fase sería: 𝑥󰇗 𝑜 ⎧−𝐴 · 𝓌𝑜 · sin(𝛼) = 𝑥󰇗 𝑜 ⟺ sin(𝛼) = − 𝐴 · 𝓌𝑜 ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

𝐴 = �𝑥𝑜2 +

𝑥󰇗 𝑜2

𝓌𝑜 2

𝑥𝑜

𝑥󰇗 𝑜2

𝓌𝑜2

𝓌𝑜2

⟹

𝑓𝑎𝑠𝑒 (𝑟𝑎𝑑)

⟹ sin(𝛼) =

−𝑥󰇗 𝑜

𝓌𝑜 · �𝑥𝑜2

−𝑥󰇗 𝑜 −𝑥󰇗 𝑜 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 � � = arcsin 𝑓𝑎𝑠𝑒 (𝑟𝑎𝑑) 2 𝐴 · 𝓌𝑜 �𝓌𝑜 · 𝑥𝑜2 + 𝑥󰇗 𝑜2

Donde A y α son sustituibles en las ecuaciones del movimiento del OAS conocidas: 𝑥(𝑡) = 𝐴 · cos(𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼)

𝑥󰇗 (𝑡) = −𝐴 · 𝓌𝑜 · sin(𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼)

𝑥󰇘 (𝑡) = −𝐴 · 𝓌𝑜 2 · cos(𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼)

𝑥󰇗 2 + 𝑜2 𝓌𝑜

⟹

ENERGÍA POTENCIAL, CINÉTICA Y MECÁNICA EN EL OAS Al principio del tema vimos la expresión de la energía potencia para el muelle ideal. Además, la expresión de la energía cinética es la habitual, así pues, para la posición de equilibrio 𝑥𝑒 = 0, tenemos que: 𝑛𝑜𝑡. 1 ⎧𝑈(𝑥) �⎯� 𝐸𝑝 = ⎪ (𝑥) · 𝑘 · 𝑥2 2 1 ⎨ 𝐸𝑐 (𝑥) = · 𝑚 · 𝑥󰇗 2 ⎪ ⎩ 2

Pero como el desplazamiento y la velocidad (𝑥(𝑡), 𝑥󰇗 (𝑡)) del OAS dependen del tiempo, debemos re-escribir las dos ecuaciones sustituyendo las 𝑥, 𝑥󰇗 por las expresiones de 𝑥(𝑡), 𝑥󰇗 (𝑡) correspondientes: �

𝑥(𝑡) = 𝐴 · cos(𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼)

𝑥󰇗 (𝑡) = −𝐴 · 𝓌𝑜 · sin(𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼) ⟹

2

⟹

⎧ ⎪

𝐸𝑝 (𝑡) =

1 · 𝑘 · [𝐴 · cos(𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼)]2 2

1 ⎨ ⎪𝐸𝑐 (𝑡) = · 𝑚 · [−𝐴 · 𝓌𝑜 · sin(𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼)]2 2 ⎩

⟹

𝑘·𝐴 ⎧𝐸 = · cos2 (𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼) 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 (𝐽) ⎪ 𝑝 (𝑡) 2 ⎨ 𝑘 · 𝐴2 ⎪ 𝐸𝑐 (𝑡) = · sin2 (𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼) 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 (𝐽) 2 ⎩

Finalmente, dado que la energía mecánica es la suma de cinética y potencial: 𝐸𝑚 =

𝑘 · 𝐴2 𝑘 · 𝐴2 · [cos2 (𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼) + sin2 (𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼)] = = 𝐸𝑚 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑚𝑒𝑐á𝑛𝑖𝑐𝑎 (𝐽) 2 2

Nótese que la energía mecánica se mantiene constante en el tiempo, mientras que la cinética y la potencial varían. Gráficamente podemos hacernos una idea de los balances energéticos en relación al desplazamiento:

Ejemplo arbitrario con A=1.5, α=4, m=50, k=3. Tiempo en el eje horizontal e imágenes de las funciones en el vertical. Las coincidencias entre los máximos y mínimos relativos de las distintas funciones NO son casualidad ;)

PROMEDIO DE LA ENERGÍA CINÉTICA, POTENCIAL Y MECÁNICA DEL OAS

IDEAS BÁSICAS PARA EL CÁLCULO DE VALORES PROMEDIOS Sea 𝑓 una función periódica cualquiera, es decir, del tipo 𝑓(𝑡+𝑇) = 𝑓(𝑡) , ∀𝑡 ∈ ℝ , entonces su valor promedio será: 1 𝑇 ˂𝑓˃ = � 𝑓 𝑑𝑡 𝑇 0 (𝑡) Teniendo en cuenta que 𝑇 =

2𝜋

𝓌𝑜

, dos resultados importantes de integrales de funciones trigonométricas con el valor

del periodo como límite de integración son: �

2𝜋 𝓌𝑜

0

�

sin2 (𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼) = �

2𝜋 𝓌𝑜

0

0

2𝜋 𝓌𝑜

cos2 (𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼) =

sin(𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼) = �

2𝜋 𝓌𝑜

0

𝜋 𝓌𝑜

cos(𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼) = 0

CÁLCULO DEL VALOR PROMEDIO PARA LA ENERGÍA CINÉTICA, POTENCIAL Y MECÁNICA DEL OAS: Teniendo en cuenta las ideas básicas, ya podemos calcular los valores promedios para 𝐸𝑝 (𝑡), 𝐸𝑐 (𝑡) y 𝐸𝑚 : ˂𝐸𝑝 ˃ =

˂𝐸𝑐 ˃ =

2𝜋

2𝜋

𝓌𝑜 · 𝑘 · 𝐴2 𝓌𝑜 · 𝑘 · 𝐴2 · 𝜋 𝓌𝑜 1 𝓌𝑜𝑘 · 𝐴2 � · � cos2 (𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼) 𝑑𝑡 = ⟹ · cos2 (𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼) 𝑑𝑡 = 𝑇 0 2𝜋 · 2 · 𝓌𝑜 2 2𝜋 · 2 0 ˂𝐸𝑝 ˃ =

2𝜋

𝑘𝐴2 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 (𝐽) 4 2𝜋

𝓌𝑜 · 𝑘 · 𝐴2 𝓌 · 𝑘 · 𝐴2 · 𝜋 𝓌𝑜 1 𝓌𝑜 𝑘 · 𝐴2 · � sin2 (𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼) 𝑑𝑡 = 𝑜 ⟹ · sin2 (𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼) 𝑑𝑡 = � 2𝜋 · 2 · 𝓌𝑜 2 2𝜋 · 2 𝑇 0 0 ˂𝐸𝑐 ˃ =

˂𝐸𝑚 ˃ =

2𝜋

𝑘𝐴2 4

𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 (𝐽) 2𝜋

𝓌 · 𝑘 · 𝐴2 𝓌 · 𝑘 · 𝐴2 · 2𝜋 𝓌𝑜 1 𝓌𝑜𝑘 · 𝐴2 𝑑𝑡 = 𝑜 · � 𝑑𝑡 = 𝑜 ⟹ � 2𝜋 · 2 · 𝓌𝑜 2 2𝜋 · 2 𝑇 0 0 ˂𝐸𝑚 ˃ =

𝑘𝐴2 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑚𝑒𝑐á𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 (𝐽) 2

FORMULARIO DEL OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLE: LEY DE HOOKE, TRABAJO Y ENERGÍA POTENCIAL DEL MUELLE

EDO

𝐹 = −𝑘(𝑥 − 𝑥𝑒 ) 𝑊(𝑥) = 𝑈(𝑥) =

𝑁

𝑘 (𝑥 − 𝑥𝑒 )2 2

𝐽

𝑇= 𝑓=

2𝜋 𝑚 = 2𝜋� 𝓌𝑜 𝑘

𝓌𝑜 1 𝑘 � = 2𝜋 2𝜋 𝑚

𝑟𝑎𝑑 𝑠 𝑠

𝑠 −1 , 𝐻𝑧

𝐸𝑐 (𝑡) =

𝑘 · 𝐴2 · sin2 (𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼) 2

𝐽

𝐸𝑝 (𝑡) =

𝑘 · 𝐴2 · cos2 (𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼) 2

𝐽

𝑘 · 𝐴2 2

𝐽

˂𝐸𝑝 ˃ = ˂𝐸𝑚 ˃ =

𝑘𝐴2 4 𝑘𝐴2 4 𝑘𝐴2 2

𝑥󰇘 (𝑡) = −𝐴 · 𝓌𝑜2 · cos(𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼) AMPLITUD Y FASE SEGÚN CONDICIONES INICIALES 𝑥󰇗 𝑜2 𝓌𝑜2

−x󰇗 o 𝑥𝑜 � 𝛼 = arccos � � = arcsin � 𝐴 A · 𝓌o

𝐽 𝐽 𝐽

𝑚 𝑚 𝑠

𝑚 𝑠2

𝑚 𝑟𝑎𝑑

ECUACIONES DEL OAS SEGÚN CONDICIONES INICIALES

𝑥(𝑡) = 𝑥𝑜 · 𝑐𝑜𝑠(𝓌𝑜 𝑡) +

𝑥󰇗 𝑜 · 𝑠𝑖𝑛(𝓌𝑜 𝑡) 𝓌𝑜

𝑥󰇗 (𝑡) = −𝑥𝑜 · 𝓌𝑜 · 𝑠𝑖𝑛(𝓌𝑜 𝑡) + 𝑥󰇗 𝑜 · 𝑐𝑜𝑠(𝓌𝑜 𝑡)

PROMEDIOS ENERGÉTICOS

˂𝐸𝑐 ˃ =

𝑥󰇗 (𝑡) = −𝐴 · 𝓌𝑜 · sin(𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼)

𝐴 = �𝑥𝑜2 +

ENERGÍAS CINÉTICA, POTENCIAL Y MECÁNICA

𝐸𝑚 =

ECUACIONES GENERALES DEL OAS

𝑥(𝑡) = 𝐴 · cos(𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼)

FRECUENCIA ANGULAR, PERIODO Y FRECUENCIA

𝑘 𝓌𝑜 = � 𝑚

𝑥󰇘 + 𝓌𝑜2 𝑥 = 0

𝑥󰇘 (𝑡) = −𝑥𝑜 · 𝓌𝑜2 · 𝑐𝑜𝑠(𝓌𝑜 𝑡) − 𝑥󰇗 𝑜 · 𝓌𝑜 · 𝑠𝑖𝑛(𝓌𝑜 𝑡)

𝑚 𝑚 𝑠

𝑚 𝑠2

MOVIMIENTO OSCILATORIO AMORTIGUADO (MOA): IDEA BÁSICA: PLANTEAMIENTO Y SOLUCIÓN DE LA EDO LINEAL DE SEGUNDO ORDEN PARA EL MOA Como ya vimos en el OAS, la EDO del movimiento oscilatorio es el resultado de igualar la segunda ley de Newton con la ley de Hooke. En realidad debemos entender la igualación como una forma de ecuación de equilibrio, es decir: ∑𝐹 = 𝐹1 + ⋯ + 𝐹𝑛 = 𝑚 · 𝑥󰇘

Donde, en el caso del OAS, sólo actúa una fuerza: la del muelle sobre la masa adherida, que expresábamos según la ley de Hooke: 𝐹ℎ = −𝑘 · 𝑥

Con lo cual nos quedaba:

−𝑘 · 𝑥 = 𝑚 · 𝑥󰇘

En el caso del MOA, sin embargo, la idea fundamental es que no actúa sólo la fuerza del muelle sobre la masa adherida sino que además actúa una especie de fuerza de oposición al movimiento (que puede ser una fuerza de rozamiento o de viscosidad de un fluido (agua, aire…), etc.). Podemos expresar esta fuerza como: 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑏 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 (𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑜𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑) 𝑥󰇗 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑜 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝐹𝑟 = −𝑏 · 𝑥󰇗 � 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑜𝑝𝑜𝑛𝑒 𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜/𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑

Por lo tanto, si aplicamos de nuevo la ecuación de equilibrio:

𝐹ℎ + 𝐹𝑟 = 𝑚 · 𝑥󰇘 ⟺ −𝑘 · 𝑥 − 𝑏 · 𝑥󰇗 = 𝑚 · 𝑥󰇘

Y manipulando un poco la ecuación obtenemos la EDO lineal de segundo orden para el MOA: 𝑚 · 𝑥󰇘 + 𝑘 · 𝑥 + 𝑏 · 𝑥󰇗 = 0 ⟺ 𝑥󰇘 +

𝑏 𝑘 · 𝑥󰇗 + · 𝑥 = 0 𝑚 𝑚

Análogamente a como hicimos con el OAS, para simplificar la ecuación definiremos por convención 𝓌𝑜 y γ como:

Con lo cual obtenemos una EDO de la forma:

𝓌𝑜2 ≝

𝑘 𝑏 ; 2γ ≝ 𝑚 𝑚

𝑥󰇘 + 2𝛾𝑥󰇗 + 𝓌𝑜 2 𝑥 = 0

La solución 𝑥(𝑡) es este caso es una combinación lineal de funciones exponenciales:

𝑥(𝑡) = 𝐶1 · 𝑒 �𝛼

+ ·𝑡�

+ 𝐶2 · 𝑒 (𝛼

− ·𝑡)

Donde 𝐶1 , 𝐶2 son constantes que dependerán de las condiciones iniciales, y el valor α es de la forma: 𝛼 ± = −𝛾 ± �𝛾 2 − 𝓌𝑜2

Observación: La expresión de α no es una definición, sino una consecuencia de la resolución de la EDO. Matemáticamente, se trata de la expresión de las raíces de la ecuación característica. Es decir, suponiendo conocidos los valores 2𝛾 y 𝓌𝑜2 , si nuestra EDO lineal de segundo orden era:

𝑥󰇘 + 2𝛾𝑥󰇗 + 𝓌𝑜 2 𝑥 = 0 Su ecuación característica o polinomio característico viene a ser una ecuación polinómica de segundo grado con coeficientes 2𝛾 y 𝓌𝑜2 : 𝛼 2 + (2𝛾)𝛼 + (𝓌𝑜2 ) = 0

Así, vemos que la resolución de esta ecuación, suponiendo α como incógnita a resolver, nos da la expresión de α ya vista: 𝛼± =

−2𝛾 ± �(2𝛾)2 − 4𝓌𝑜2 2

=

2 �−𝛾 ± �𝛾 2 − 𝓌𝑜2 � 2

= −𝛾 ± �𝛾 2 − 𝓌𝑜2

Nota: Si alguien quiere abundar en las matemáticas que fundamentan todos estos desarrollos, se puede remitir a libros donde se explique el método de resolución para EDOs lineales de orden n con coeficientes constantes.

FRECUENCIA NATURAL (𝔀𝒐), FRECUENCIA ANGULAR DEL MOA (𝔀𝟏), COEFICIENTE DE ARMOTIGUAMIENTO (𝒃) Y TASA DE AMORTIGUAMIENTO (𝜸): con el fin de simplificar la EDO que debíamos 𝑘 Si bien hemos definido de nuevo la frecuencia angular como 𝓌𝑜2 ≝ 𝑚 resolver, esta frecuencia, que ahora llamaremos frecuencia angular natural o frecuencia natural (𝓌𝑜 ), que es la propia de un oscilador armónico simple, en general NO es la frecuencia angular propia de un oscilador amortiguado. La frecuencia natural y la frecuencia del MOA, en el caso general, son las siguientes:

𝓌𝑜2 ≝

𝑘 𝑘 𝑟𝑎𝑑 � ⟺ 𝓌𝑜 = � 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 � 𝑠 𝑚 𝑚

𝑟𝑎𝑑 𝓌1 = �𝓌𝑜2 − 𝛾 2 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑀𝑂𝐴, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 � � 𝑠

Y como ya vimos antes, la tasa de amortiguamiento (𝛾) está definida. Por tanto: 2γ ≝

𝑏 𝑏 𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 (𝑎𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙) ⟺ γ= 2𝑚 𝑚

Nótese que si 𝐹𝑟 es una fuerza de rozamiento o de oposición al movimiento cualquiera, como ya vimos al inicio del tema: 𝐹𝑟 = 𝑏 · 𝑥󰇗

Teniendo en cuenta que la fuerza de rozamiento (𝐹𝑟 ) tiene por unidad el 𝑁 y la velocidad (𝑥󰇗 ) los

que las unidades del coeficiente de amortiguamiento serán 𝑏=

𝑘𝑔 𝑠

:

𝑚

𝑠

es fácil observar

𝐹𝑟 𝑑𝑡 𝑁·𝑠 𝑘𝑔 = 𝐹𝑟 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 (𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑜𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 ) � �,� � 𝑠 𝑥󰇗 𝑑𝑥 𝑚

Teniendo en cuenta la expresión de la frecuencia angular del MOA, la relación entre 𝓌𝑜2 y 𝛾 2 determinará el tipo de movimiento amortiguado.

TIPOS DE MOVIMIENTO OSCILATORIO AMORTIGUADO:

Según la relación entre 𝓌𝑜2 y 𝛾 2 , existen tres tipos de movimientos amortiguados, a saber: •

SOBREAMORTIGUADO �𝜸𝟐 > 𝔀𝟐𝒐� : El sistema tiende al equilibrio (decae exponencialmente) sin oscilar. Cuanto may...