Otros métodos de derivación PDF

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! !Otros!métodos!de!derivación!

! Por: Oliverio Ramírez!

Funciones)explícitas)e)implícitas) Fuenlabrada (2001) menciona que “si están indicadas las operaciones que hay que realizar con la variable independiente para obtener la variable dependiente, se dice que la función está en forma explícita. En caso contrario es implícita” (p.14).

Lo anterior implica que las funciones explícitas son aquellas en las que tanto la variable dependiente como la variable independiente se encuentran en lados opuestos del signo de igualdad.

Ejemplos:) 𝑦 = cos 2𝑥

𝑦 = 𝑒 !!

𝑦=

!!! !!!

𝑦 = 𝑙𝑛!(𝑥 ! − 1)

Las funciones implícitas, por otro lado, son aquellas que están escritas de forma 𝑓 𝑥, 𝑦 = 0 porque tanto la variable dependiente como la independiente se encuentran mezcladas en el mismo lado de la igualdad.

Ejemplos:) 𝑥!𝑠𝑒𝑛!𝑦 + 𝑥 − 𝑦 = 0

2𝑥 ! 𝑦 + 3𝑥𝑦 ! − 𝑥𝑦 = 0

En ocasiones es posible expresar la misma función en ambas formas, por ejemplo, la función 𝑥 ! + 𝑦 ! − 4 = 0 expresada en forma implícita también se puede expresar en forma explícita si se despeja la variable dependiente y, quedaría:

! ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 1

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4 − 𝑥!

𝑦=

Sin embargo, dependiendo de la forma de la función implícita en ocasiones no es posible (o sencillo) despejar la variable dependiente, por ejemplo, la función 2𝑥 ! 𝑦 + 3𝑥𝑦 ! − 𝑥𝑦 = 0 ¿Qué pasa si necesitamos calcular la derivada

𝒅𝒚 𝒅𝒙

?, ¿cómo lo hacemos?

Una forma sería intentar despejar la variable dependiente y. ¿Quieres intentarlo?

Para derivar funciones explícitas sólo es necesario aplicar directamente los teoremas de derivación, sin embargo, para aquellas situaciones en las que no es posible despejar la variable dependiente existe un método de derivación que se estudia a continuación: el método de derivación implícita.

Método)de)derivación)implícita) De acuerdo con Fuenlabrada (2001), los pasos que deben realizarse para derivar una función implícita son: 1. Derivar término a término cada uno de los elementos de la ecuación, tomando a y como función de x. 2. En la expresión resultante, despejar 𝒚′.

Ejemplo)1:) ) Deriva la función implícita 𝑦 ! + 7𝑦 = 𝑥 ! Paso 1. Deriva cada término con respecto a x. Este paso implica derivar por separado cada elemento de la función (convenientemente se ha colocado el término 𝒙𝟐 en la primera posición).

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Término

𝑑 ! 𝑥 = 𝑑𝑥

Derivada La derivada de los términos que contienen exclusivamente a la variable independiente se derivan aplicando las reglas de derivación de forma convencional, es decir:

𝑑 ! 𝑥 = 2𝑥 𝑑𝑥 Para derivar términos que contengan a la variable dependiente, también utilizamos los teoremas de derivación pero aplicando el hecho que

𝑑 7𝑦 = 𝑑𝑥

! !"

𝑦 =

!" !"

= 𝑦′

De esta forma:

𝑑 𝑑 𝑑𝑦 𝑦 =7 = 7𝑦′ 7𝑦 = 7 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 Aplicamos el mismo procedimiento anterior y tenemos: 𝑑 𝑦! = 𝑑𝑥

𝑑 𝑦! = 3 𝑦 𝑑𝑥

!!!

𝑑 𝑑𝑦 = 3𝑦 ! ∙ 𝑦′ 𝑦 = 3𝑦 ! 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Ahora las derivadas calculadas por separado se escriben en la misma posición de cada elemento en la función implícita (respetando los signos) y queda: !!!!!!!!𝑦 ! !!! + 7𝑦!!! = ! 𝑥 ! 3𝑦 ! ∙ 𝑦 ′ + 7𝑦 ′ = 2𝑥 Paso 2. Despeja 𝐲′. Para despejar el elemento 𝒚! , primero debes asegurarte de que todos los términos que lo contienen se encuentren en el mismo lado del signo de igualdad (generalmente el lado izquierdo). De la expresión anterior observa que todos los elementos 𝒚′ 3𝑦 ! 𝑦′ + 7𝑦′ = 2𝑥

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Observa que 𝑦′ se encuentra en los dos términos del lado izquierdo, por lo que es posible factorizar de la siguiente manera: 𝑦′ 3𝑦 ! + 7 = 2𝑥

Ahora sólo despejamos 𝑦′ al pasar la expresión 3𝑦 ! + 7 dividiendo al otro lado de la igualdad, con lo que tenemos: 2𝑥 𝑦′ = 3𝑦 ! + 7 Que es el resultado final. Debido a que

!" !"

= 𝑦′, en los ejemplos siguientes se usan indistintamente.

Ejemplpo)2:) ) Deriva la función implícita 𝑥 − 4𝑦 ! = 2𝑦.

Paso 1. Deriva cada término con respecto a x. 1 − 4(3)𝑦 !!! 1 − 12𝑦 !

𝑑𝑦 𝑑𝑦 =2 𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑦 𝑑𝑦 =2 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Observa que en este ejemplo se está usando el término

Paso 2. Despeja

!" !"

.

𝐝𝐲 𝐝𝐱

𝑑𝑦 𝑑𝑦 =2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 debemos colocar los términos que tienen 1 − 12𝑦 !

Observa que para despejar

!" !"

!" !"

en el mismo lado de la

!"

igualdad y el resto de términos (que no contengan ) en el otro lado de la igualdad: !" 𝑑𝑦 𝑑𝑦 ! −2 −12𝑦 = −1 𝑑𝑥 𝑑𝑥

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Ahora, ya podemos factorizar: 𝑑𝑦 −2 − 12𝑦 ! = −1 𝑑𝑥 Y despejar el término

!" !"

Que es el resultado final.

Ejemplo)3:) ) Deriva la función implícita 3𝑥𝑦 − 𝑦 ! = −4 Paso 1. Deriva cada término con respecto a x. Observa el término 3𝑥𝑦 de la ecuación. ¿Cómo debemos derivarlo? Debido a que tanto x como y son funciones diferentes, para poder derivar el término 3𝑥𝑦 debemos ! 𝑢𝑣 = 𝑢𝑣 ′ + 𝑣𝑢 ′ utilizar el teorema (7) !"

u = 3x u’ = 3

v=y !" v’ = !"

Por lo que

!"

!

!"

3𝑥𝑦 = 3𝑥 !" + 3𝑦

De esta manera la derivada de cada término de la función implícita es: 3𝑥

𝑑𝑦 𝑑𝑦 =0 + 3𝑦 − 3 𝑦 !!! 𝑑𝑥 𝑑𝑥

3𝑥

Paso 2. Despeja

𝑑𝑦 𝑑𝑦 =0 + 3𝑦 − 3𝑦 ! 𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝐝𝐲 𝐝𝐱

Enviamos al término 3y restando del otro lado de la igualdad:

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3𝑥

Factorizando los términos que contienen

𝑑𝑦 𝑑𝑦 = −3𝑦 − 3𝑦 ! 𝑑𝑥 𝑑𝑥 !" !"

𝑑𝑦 (3𝑥 − 3𝑦 ! ) = −3𝑦 𝑑𝑥 Obtenemos la solución final: 𝑑𝑦 𝑑𝑥

=

−3𝑦 3𝑥 − 3𝑦 !

Ejemplo)4:) ) Deriva la función implícita 𝑥 ! 𝑦 − 𝑥 ! = 𝑦 ! Paso 1. Deriva cada término con respecto a x. Debido a que el término 𝒙𝟑 𝒚 es un producto de las funciones x así como también de y, para derivarlo se aplica el teorema (7)

! !"

𝑢𝑣 = 𝑢𝑣 ′ + 𝑣𝑢 ′

Resolviendo la derivada de 𝒙𝟑 𝒚 u = x3 u’= 3x2

v=y v = 𝑦′

Por lo tanto: 𝑑 ! 𝑥 𝑦 = 𝑥 ! 𝑦′ + 3𝑥 ! 𝑦 𝑑𝑥 Resolviendo la derivada de todos los términos queda: 𝑥 ! 𝑦′ + 3𝑥 ! 𝑦 − 2𝑥 = 2𝑦𝑦′ Paso 2. Despeja 𝐲′ Pasamos del lado izquierdo del signo de igualdad todos los términos que contienen 𝑦′ así como el resto de términos al lado derecho. Tenemos: 𝑥 ! 𝑦′ − 2𝑦𝑦′ = 2𝑥 − 3𝑥 ! 𝑦 Factorizando como factor común

!" !"

! queda:

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𝑦′(𝑥 ! − 2𝑦) = 2𝑥 − 3𝑥 ! 𝑦 Despejando 𝑦′ 𝑦′ =

2𝑥 − 3𝑥 ! 𝑦 𝑥 ! − 2𝑦

La derivación implícita es una herramienta muy útil que ayuda a derivar funciones en las que no es posible despejar la variable dependiente.

Derivadas)sucesivas)

Las derivadas sucesivas, también conocidas como derivadas de orden superior, se refieren a que una vez que se ha encontrado la derivada de una función ésta puede volver a derivarse. Por esta razón, a la derivada se le conoce como primera derivada (y'), a la derivada de la primera derivada se le llama segunda derivada y'', y así sucesivamente.

Fuenlabrada (2001) menciona que existen varias formas de escribir una derivada. En ocasiones, de acuerdo al contexto del problema, es conveniente utilizar alguna u otra forma de presentar una derivada, así de la misma forma como la primera derivada se denota por: 𝑑𝑦 = 𝑦 ′ = 𝑓′ 𝑥 𝑑𝑥

La segunda derivada se suele escribir como: 𝑑! 𝑦 = 𝑦 ′′ = 𝑓′′ 𝑥 𝑑𝑥 !

La tercera derivada y posteriores siguen la misma notación. ! ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 7

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Ejemplo)1:) ) Encuentra la tercera derivada (𝒚′′′) de la función 𝑦 = 𝑥 ! − 3𝑥 ! + 2𝑥 ! + 5𝑥 − 2 La primera derivada es: 𝒚′ = 𝟒𝒙𝟑 − 𝟗𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟓 Para hallar la segunda derivada, se deriva el resultado anterior, es decir: 𝑦 ′′ =

𝑑 (4𝑥 ! − 9𝑥 ! + 4𝑥 + 5) 𝑑𝑥

𝒚′′ = 𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟖𝒙 + 𝟒 Por último, para encontrar la tercera derivada solicitada, calcula la derivada de y’’. 𝑦 ′′′ =

𝑑 (12𝑥 ! − 18𝑥 + 4) 𝑑𝑥 𝒚′′′ = 𝟐𝟒𝒙 − 𝟏𝟖

Que es el resultado buscado. Algunos ejercicios de derivadas sucesivas suelen complicarse si no haces con cuidado los cálculos. Analiza el siguiente ejemplo.

Ejemplo)2:) !

!

Encuentra la tercera derivada (y’’) de la función 𝑦 = 𝑥 !! + 2𝑥 ! + 4𝑥 ! La primera derivada es: 𝑦′ =

! ! 𝑑 𝑥 !! + 2𝑥 ! + 4𝑥 ! 𝑑𝑥

2 ! 20 ! 𝑦′ = −3𝑥 !! + 𝑥 ! ! + 𝑥! 3 2

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𝟏

𝒚′ = −𝟑𝒙!𝟒 + 𝒙! 𝟐 +

𝟐𝟎 𝟐 𝒙𝟑 𝟑

Para hallar la segunda derivada, se deriva el resultado anterior, es decir: 𝑦′′ =

𝒚′′ =

! 20 ! 𝑑 −3𝑥 !! + 𝑥 !! + 𝑥! 3 𝑑𝑥

𝟏 𝟑 𝟒𝟎 !𝟏 𝒅 𝟏𝟐𝒙!𝟓 − 𝒙!𝟐 + 𝒙 𝟑 𝒅𝒙 𝟗 𝟐

También es posible calcular derivadas de orden superior de funciones trigonométricas.

Ejemplo)3:) ) Encuentra la tercera derivada (y’’) de la función 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠! 𝑥 ! . La primera derivada es: 𝑦 ′ = −𝑠𝑒𝑛! 𝑥 ! ! ∙ (2𝑥) 𝑦 ′ = −2𝑥!𝑠𝑒𝑛! 𝑥 ! Para obtener la segunda derivada se deriva el resultado anterior. 𝑦 ′′ =

𝑑 −2𝑥!𝑠𝑒𝑛!𝑥 ! 𝑑𝑥

Observa que para obtener la segunda derivada es necesario utilizar el teorema (7) 𝑣𝑢 ′ , en donde: 𝑢 = −2𝑥 𝑢′ = −2

! !"

𝑢𝑣 = 𝑢𝑣 ′ +

𝑣 = 𝑠𝑒𝑛! 𝑥 ! ! 𝑣′ = 2𝑥 cos 𝑥 ! !

𝑦′′ = −2𝑥 2𝑥!𝑐𝑜𝑠 !𝑥 !

+ 𝑠𝑒𝑛 !𝑥 ! (−2)

𝑦′′ = −4𝑥 ! 𝑐𝑜𝑠! 𝑥 ! − 2!𝑠𝑒𝑛! 𝑥 ! Ejemplo)4:) Encuentra la tercera derivada (𝑦’’’) de la función 𝑦 = 𝑒 !!!! .

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La primera derivada es: 𝑦′ = 𝑒 !!!! (2) 𝑦′ = 2𝑒 !!!! La segunda derivada es: 𝑦′′ = 2(𝑒 !!!! )(2) ′ 𝑦′ = 4𝑒 !!!! La tercera derivada es: ′

𝑦′ = 4(𝑒 !!!! )(2) ′ 𝑦′ = 8𝑒 !!!!

Aplicación)de)derivadas)sucesivas) Giancoli (2006) define el concepto de velocidad como el cambio de posición de un cuerpo respecto al tiempo y la aceleración como el cambio de velocidad de un cuerpo respecto al tiempo. Por lo anterior, es posible afirmar que si la función 𝑠(𝑡) representa la posición de un cuerpo en función del tiempo 𝑡, su velocidad está dada por 𝑠’(𝑡), y su aceleración por 𝑠’’(𝑡). Considera el siguiente ejemplo.

Ejemplo):) ) La posición de un cuerpo en los primeros 10 segundos de recorrido está representada por la función 𝑠(𝑡) = 0.5𝑡 ! − 𝑡 + 5, donde 𝑠 está en metros y 𝑡 en segundos. Obtén su velocidad y su aceleración cuando 𝑡 = 6!𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠. La velocidad es la primera derivada de la posición respecto al tiempo, por lo que: 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 = 𝑠 ′ 𝑡 =

𝑑 (0.5𝑡 ! − 𝑡 + 5) 𝑑𝑡

𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 = 𝑠 ′ 𝑡 = 3 0.5 𝑡 !!! − 1 + 0 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 = 𝑠 ′ 𝑡 = 1.5𝑡 ! − 1 Para determinar la velocidad en t = 6 segundos, se sustituye este valor en la expresión anterior, tenemos: 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑!!! = 𝑠 ′ 6 = 1.5(6)! − 1 = 53𝑚/𝑠

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La aceleración es la segunda derivada de la posición respecto al tiempo, por lo que: 𝐴𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 = 𝑠 ′′ 𝑡 =

𝑑 (1.5𝑡 ! − 1) 𝑑𝑡

𝐴𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 = 𝑠 ′′ 𝑡 = 2 (1.5)𝑡 !!! ) 𝐴𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 = 𝑠 ′′ 𝑡 = 3𝑡 Al sustituir el valor t = 6 en la segunda derivada tenemos: 𝐴𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛!!! = 𝑠 ′′ 6 = 3 6 = 18𝑚/𝑠 ! Observa que la ecuación para la posición, velocidad y la aceleración tienen un comportamiento diferente porque son funciones polinomiales de diferente grado.

Las derivadas sucesivas también se aplican en el análisis de funciones para determinar la existencia de valores críticos que determinan el comportamiento de la función.

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Referencias* Fuenlabrada, S. (2001). Cálculo Diferencial (2ª. ed.). D. F., México: McGraw-Hill. Giancoli, C. D. (2006). Física, principios con aplicaciones, Volumen 1. (6ª. ed.). México: Pearson Educación. Recuperado de http://books.google.com.mx/books?id=uUAogT2C6FwC&pg=PT158&dq=gianco li&hl=es&ei=CqNhTKfCHouosQOT7pCrCA&sa=X&oi=book_result&ct=bookpreviewlink&resnum=6&ved=0CEcQuwUwBQ#v=onepage&q=velocidad&f=false !

*Bibliografía* Arya, J. y Lardner, R. (2002). Matemáticas aplicadas a la Administración y a la Economía. México: Pearson Educación. Cruz, L.; Prado, C. y Vallejo, F. (2006). Cálculo diferencial para ingeniería. México: Pearson Educación. Edwards, C. (1996). Cálculo con geometría analítica. México: Prentice Hall. Edwards, C. H. & Penney, D. E. (1997). Cálculo diferencial e integral (O. A. Palmas, trad.). México: Prentice Hall. Purcell, E.; Varberg, D. y Rigdon, S. (2001). Cálculo (V. H. Ibarra y O. Palmas, trad.). México: Pearson Educación. Smith, R. y Minton, R. (2000). Cálculo. Colombia: McGraw-Hill.

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