P4 repro solucion PDF

Preview

Summary

Download P4 repro solucion PDF

Description

Problema 1 (4 pu puntos) ntos) De 4:05pm a 4:20 pm para resolver. Hasta 4:25 pm para enviar Calcular el volumen del sólido cuya base es la región comprendida entre la 𝑦 = 1 − 𝑥  y el eje 𝑥 . Y sus secciones transversales, perpendiculares al eje 𝑦, son triángulos equiláteros con base ubicada en la región indicada antes. Las intersecciones con los ejes son: 𝑥 = 1 𝑦 = 0; 𝑥 = −1 𝑦 = 0; 𝑥 = 0 𝑦 = 1

Las arandelas tienen sección triangular y ancho ∆𝑦 . Una arandela genérica tiene lado y altura igual a: 𝑙 = 2𝑥 = 21 − 𝑦

ℎ = 𝑙 𝑠𝑒𝑛(60º) = 21 − 𝑦 Por tanto, el volumen de una arandela es: 𝑣=

√3 = 3(1 − 𝑦) 2

𝑙ℎ ∆𝑦 = 1 − 𝑦3(1 − 𝑦)∆𝑦 = √3(𝑦 − 1)∆𝑦 2 

Luego, el volumen del sólido es igual a:

𝑉 = √3  (1 − 𝑦)𝑑𝑦 = √3 󰇩𝑦 − 

1 𝑦 √3  󰇪 = √3   = 𝑢 2  2 2 

Problema 2 (12 puntos puntos)) De 4:25pm a 4:50 pm para resolver. Hasta 4:55 am para enviar Indicar la integral que calcula el volumen (por por cascaro cascarones nes cilí cilíndricos ndricos ndricos) del sólido que se obtiene al hacer girar la región indicada, alrededor de: a) el eje 𝑦 (3 puntos puntos)) b) la recta 𝑦 = 7 (3 punto puntos) s) Indicar la integral que calcula el volumen (por por arandela arandelass) del sólido que se obtiene al hacer girar la región indicada, alrededor de: c) el eje 𝑥 (3 pu puntos) ntos) d) la recta 𝑦 = 8 (3 punto puntos) s)

a)

Se tiene que dividir en volumen en tres intervalos, de [0 a 1] de [1 a 3] y de [3 a 6] quedando la siguiente integral. 





𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 =  2𝜋𝑥(𝑥  )𝑑𝑥 +  2𝜋𝑥(𝑥)𝑑𝑥 +  2𝜋𝑥𝑥 − (2𝑥 − 6)𝑑𝑥 











𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 = 2𝜋  𝑥  𝑑𝑥 + 2𝜋  𝑥  𝑑𝑥 + 2𝜋  (−𝑥  + 6𝑥 )𝑑𝑥 





b) Se tiene que dividir en volumen en dos intervalos en el eje y, de [0 a 1] y de [1 a 6], quedando la siguiente integral.   𝑦+6 𝑦+6 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 =  2𝜋(7 − 𝑦)  − 𝑦 𝑑𝑦 +  2𝜋(7 − 𝑦)  − 𝑦 𝑑𝑦 2 2  

c)

Se tiene que dividir en volumen en tres intervalos en el eje x, de [0 a 1], de [1 a 3] y de [3 a 6], quedando la siguiente integral. 





𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 =  𝜋(𝑥  )𝑑𝑥 +  𝜋(𝑥) 𝑑𝑥 +  𝜋 [𝑥  − (2𝑥 − 6) ] 𝑑𝑥 





d) Se tiene que dividir en volumen en tres intervalos en el eje x, de [0 a 1], de [1 a 3] y de [3 a 6], quedando la siguiente integral. 





𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 =  𝜋(8 − 𝑥  ) 𝑑𝑥 +  𝜋(8 − 𝑥 ) 𝑑𝑥 +  𝜋 [(8 − 2𝑥 + 6) − (8 − 𝑥 ) ] 𝑑𝑥 





Problema 3 (4 p puntos) untos) De 4:55pm a 5:10 pm para resolver. Hasta 5:15 am para enviar

Indicar la integral que resuelve el perímetro que del área que encierran las funciones 𝑦 = 𝑥  , 𝑦 = 𝑥 y la función 𝑦 = 2𝑥 utilizando: a) Diferencial de x b) Diferencial de y

a) Integrando respecto al eje x   𝑑(𝑥)  𝑑(𝑥  ) 𝑑(2𝑥)  𝑑𝑥 𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 =  1 +  󰇨 𝑑𝑥 +   𝑑𝑥 +  1 + 󰇧 𝑑𝑥  1 +  𝑑𝑥  𝑑𝑥  











𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 =  √2𝑑𝑥 +  1 + 4𝑥  𝑑𝑥 +  √5𝑑𝑥 





b) Integrando respecto al eje y

 𝑦     𝑑(2) 𝑑(𝑦) 𝑑(𝑦)  󰇮 𝑑𝑦  𝑑𝑦 +  1 + 󰇧 󰇨 𝑑𝑦 +  1 + 󰇭 𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 =  1 +  𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑦    





𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 =  √2𝑑𝑦 +  1 + 



 1 5 𝑑𝑦 +   𝑑𝑦 4 4𝑦 ...