PEC sintesis CAST PDF

Preview

Summary

2020-21-Sem·Oto ̃no Estudios deInform ́atica,Multimedia yTelecomunicaci ́onPresentaci ́onEn este documento se detallan las instrucciones de realizaci ́on de la PEC de s ́ıntesis as ́ı como elenunciado de la actividad y la soluci ́on correspondiente.CompetenciasEn esta PEC se trabajar ́an las siguien...

Description

´ · PEC S´ıntesis 75.557 · Algebra 2020-21-Sem.1 · Oto˜ no Estudios de Inform´ a tica, Multimedia y Telecomunicaci´ on

Presentaci´ on En este documento se detallan las instrucciones de realizaci´on de la PEC de s´ıntesis as´ı como el enunciado de la actividad y la soluci´on correspondiente.

Competencias En esta PEC se trabajar´an las siguientes competencias: - Dominar el lenguaje matem´atico b´asico para expresar conocimiento cient´ıfico. - Conocer fundamentos matem´aticos de las ingenier´ıas en inform´atica y telecomunicaci´on. - Conocer y representar formalmente el razonamiento cient´ıfico riguroso. - Conocer y utilizar software matem´atico. - Analizar una situaci´on y aislar variables. - Capacidad de s´ıntesis. - Capacidad de abstracci´on. - Capacidad de enfrentarse a problemas nuevos recurriendo conscientemente a estrategias que han sido ´utiles en problemas resueltos anteriormente.

Objetivos Los objetivos concretos de esta PEC son: - Revisar y completar los conceptos sobre los n´umeros naturales y sus propiedades. - Conocer el concepto de inducci´on matem´atica y su aplicaci´on a la demostraci´on de propiedades. - Conocer el conjunto de los n´umeros complejos y entender su utilidad. Conocer c´omo se representan y aprender a manipularlos. - Conocer la utilidad y saber operar con matrices. - Conocer la utilidad y saber operar con determinantes. - Conocer y aplicar las t´ecnicas b´asicas de discusi´on, resoluci´on e interpretaci´on de sistemas de ecuaciones lineales utilizando la teor´ıa de matrices y determinantes.

1

´ · PEC S´ıntesis 75.557 · Algebra 2020-21-Sem.1 · Oto˜ no Estudios de Inform´ a tica, Multimedia y Telecomunicaci´ on

- Conocer y saber operar con los conceptos de espacio vectorial, subespacio vectorial y dimensi´on. - Conocer y saber operar con los conceptos de base, coordenadas y cambios de base. - Conocer y saber operar con bases ortonormales. - Revisar y completar los conceptos sobre aplicaciones lineales, sus propiedades, diagonalizaci´on de matrices y transformaciones geom´etricas. - Conocer la diagonalizaci´on de matrices y encontrar valores y vectores propios. - Conocer las transformaciones geom´etricas b´asicas, escalados y giros. Conocer como se representan y aprender a componerlas.

Descripci´ on de la PEC a realizar En esta PEC se trabajar´an: 1) los n´umeros y el principio de inducci´on, poniendo especial ´enfasis en dos conjuntos concretos de n´umeros: los naturales y los complejos; 2) las matrices, los determinantes y los sistemas de ecuaciones lineales, con especial ´enfasis en saber operar tanto con matrices como con determinantes y en la expresi´on matricial de los sistemas de ecuaciones lineales y en su discusi´on y resoluci´on; 3) los espacios vectoriales, poniendo especial ´enfasis en dominar y saber operar con las nociones de espacio vectorial, subespacio vectorial, dimensi´on, base, coordenadas, cambios de base y bases ortonormales; y 4) las aplicaciones lineales y las transformaciones geom´etricas, con especial ´enfasis en el c´alculo de la matriz de una aplicaci´on lineal, su diagonalizaci´on y en los c´alculos de las matrices de las transformaciones geom´etricas.

Recursos Recursos B´ asicos - Los m´odulos en PDF editados por la UOC. - La calculadora CalcMe. - Las gu´ıas UOC de la CalcME: https://docs.wiris.com/es/calc/basic guide uoc/start

Recursos Complementarios ´ - Castellet, Manuel (1990). Algebra lineal y geometr´ıa / Manuel Castellet, Irene Llerena amb la col·laboraci´o de Carles Casacuberta. Bellaterra: Servei de Publicacions de la Universitat Aut`onoma de Barcelona, 1990. ISBN: 847488943X.

2

´ · PEC S´ıntesis 75.557 · Algebra 2020-21-Sem.1 · Oto˜ no Estudios de Inform´ a tica, Multimedia y Telecomunicaci´ on

- Anton, Howard (1997). Introducci´ on al ´ algebra lineal / Howard Anton. M´exico, D.F. [etc.]: Limusa, 1997. ISBN: 9681851927. - El aula Laboratorio CalcMe.

Criterios de valoraci´ on - Los resultados obtenidos por el estudiante en las PECs se calificar´an de 0 a 10 en funci´on de la siguiente escala num´erica, usando dos decimales, a la que se a˜nadir´a su correspondiente calificaci´on cualitativa, seg´ un la escala ECTS: • [0, 3): Suspenso bajo (D) • [3, 5): Suspenso alto (C-) • [5, 7): Aprobado (C+) • [7, 9): Notable (B) • [9, 10]: Excelente (A) - La realizaci´on fraudulenta de la PEC comportar´a la nota de suspenso en la PEC, con independencia del proceso disciplinario que pueda seguirse hacia el estudiante infractor. Recordad que las PECs se tienen que resolver de forma individual, no se pueden formar grupos de trabajo. - Una vez publicada la nota definitiva de la PEC, no hay ninguna opci´on a mejorarla. La nota s´olo servir´a para la evaluaci´on en el semestre actual y, en ning´ un caso, ´esta no se guardar´a para otros semestres. - Las respuestas incorrectas no descuentan nada. - Las PECs entregadas fuera del plazo establecido no punt´ uan y constar´an como no presentadas. - En la realizaci´on de la PEC, se valorar´a: • el uso correcto y coherente de conceptos te´ oricos estudiados en el m´odulo (10 % del valor de cada ejercicio), • la claridad, concreci´on y calidad en la exposici´on de la soluci´on de los ejercicios (10 % del valor de cada ejercicio), • la correcta resoluci´ on del ejercicio y la justificaci´ on de los procedimientos (80 % del valor de cada ejercicio).

Formato y fecha de entrega - Recordad que es necesario justificar las respuestas. - La PEC se debe escribir usando un editor de texto (latex, libreoffice, word, ...) y entregar en formato PDF. El nombre del fichero deber´a ser Apellido1 Apellido2 Nombre.PDF. 3

´ · PEC S´ıntesis 75.557 · Algebra 2020-21-Sem.1 · Oto˜ no Estudios de Inform´ a tica, Multimedia y Telecomunicaci´ on

- En la direcci´on de Internet http://www.dopdf.com/ pod´eis descargaros un conversor gratuito a formato pdf. Otro conversor gratuito, en este caso online y para documentos con formado Word, lo pod´eis hallar en http://www.expresspdf.com/ - En la soluci´on de esta PEC se puede usar CalcMe como editor de ecuaciones y/o ayuda para comprobar los resultados. - Dentro del documento de la PEC deb´eis escribir, en la primera p´agina, vuestro nombre y apellidos y vuestro IDP completo. - Recordad que el l´ımite de entrega de la PEC son las 23:59h del d´ıa 21/12/2020.

4

´ · PEC S´ıntesis 75.557 · Algebra 2020-21-Sem.1 · Oto˜ no Estudios de Inform´ a tica, Multimedia y Telecomunicaci´ on

Responded las siguientes preguntas razonando en todo momento los pasos seguidos. 1. (Valoraci´on de un 25 %) Dados los n´ umeros complejos en forma polar, z 1 = 2π , z2 = (a + 1)− π2 , donde a es la primera cifra de la derecha de vuestro IDP del campus UOC, calculad: a) z1 + z2 , y expresad la soluci´on en forma polar.

Soluci´ on: Para sumar n´ umeros complejos, primero los expresaremos en forma bin´ omica. Para ello, recordemos las f´ ormulas que dado un n´ umero complejo en forma polar, rθ , nos permiten pasar a forma bin´ omica [ver m´ odulo: Los n´ umeros, secci´ on 3.4.1], z = α + βi, α = r cos (θ), β = r sin (θ). As´ı pues, aplicando las f´ ormulas anteriores tenemos que z1 = 2 cos (π ) + 2 sin (π )i = −2, π π z2 = (a + 1) cos (− ) + (a + 1) sin (− )i = −(a + 1)i. 2 2 A continuaci´ on, se realiza la suma en forma bin´ omica sumando las partes reales y las partes imaginarias por separado [Ver m´ odulo: Los n´ umeros, secci´ on 3.4.1] y se obtiene z1 + z2 = −2 − (a + 1)i. Finalmente, se nos pide el resultado en forma polar. Para ello, recordemos las f´ ormulas que dado un n´ umero complejo en forma bin´ omica, α + βi, nos permiten pasar a forma polar [ver m´ odulo: Los n´ umeros, secci´ on 3.4.1], p r = α2 + β 2    arctan αβ , si α es positivo,      β θ= arctan α + π, si α es negativo y β es positivo,       arctan αβ − π, si α es negativo y β es tambi´en negativo. Aplicando las anteriores f´ ormulas obtenemos p p r = (−2)2 + (−(a + 1))2 = 4 + (a + 1)2 ,     −(a + 1) a+1 θ = arctan −π − π = arctan 2 −2 As´ı pues, las posibles soluciones en funci´ on del valor a son:

5

´ · PEC S´ıntesis 75.557 · Algebra 2020-21-Sem.1 · Oto˜ no Estudios de Inform´ a tica, Multimedia y Telecomunicaci´ on

a

Soluci´ on en forma polar √ 5arctan ( 1 )−π 2 √ 2 2− 3π 4 √ 13arctan ( 3 )−π 2 √ 2 5arctan (2)−π √ 29arctan ( 5 )−π 2 √ 2 10arctan (3)−π √ 53arctan ( 7 )−π 2 √ 2 17arctan (4)−π √ 85arctan ( 9 )−π 2 √ 2 26arctan (5)−π

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

b)

r 4

z1 , y expresad las soluciones en forma polar con argumentos en el intervalo (−π, π]. z2

z1 . Para ello, se dividen los m´ odulos y se restan z2 los argumentos [ver m´ odulo: Los n´ umeros, secci´ on 3.4.3]     2 2 z1 2π = = . = a + 1 π−(− π ) a + 1 3π z2 (a + 1)− π

Soluci´ on: Primero calcularemos el cociente

2

2

2

Recordemos que, con el objetivo de unificar la representaci´ on de n´ umeros complejos en forma polar, es habitual considerar el argumento en el intervalo (−π, π], [ver m´ odulo: Los n´ umeros, secci´ on 3.4.1]. Por lo tanto, al argumento obtenido, 3π , le restaremos una vuelta para obtener 2 un argumento en el intervalo mencionado anteriormente. As´ı pues, la soluci´ on al cociente es   2 z1 = . a + 1 −π z2 2

A continuaci´ on, calcularemos las ra´ıces cuartas. Para ello, [ver m´ odulo: Los n´ umeros, secci´ on 3.6.1] s ! r z1 2 4 4 , k = 0, 1, 2, 3. = (a + 1) − π2 +2πk z2 4

Por lo tanto, las ra´ıces pedidas en forma polar son s s s ! ! ! 2 2 2 4 4 4 , , , (a + 1) − π2 (a + 1) − π2 +2π (a + 1) −π2 +4π 4

4

4

s 4

2 (a + 1)

!

π − 2 +6π 4

,

que, tras realizar las operaciones en los argumentos, vienen dadas por s s s s ! ! ! ! 2 2 2 2 4 4 4 4 . , , , (a + 1) (a + 1) 3π (a + 1) 7π (a + 1) 11π π − 8

8

8

8

6

´ · PEC S´ıntesis 75.557 · Algebra 2020-21-Sem.1 · Oto˜ no Estudios de Inform´ a tica, Multimedia y Telecomunicaci´ on

Finalmente, observamos que la u ´ltima soluci´ on no tiene el argumento en el intervalo (−π, π], por lo tanto, le restaremos una vuelta para obtener s s s s ! ! ! ! 2 2 2 2 4 4 4 4 . , , , (a + 1) (a + 1) 3π (a + 1) 7π (a + 1) π 5π −8

8

− 8

8

As´ı pues, las posibles soluciones en funci´ on del valor a son: a 0

Soluciones √ √ √ √     4 4 4 4 2 − 5π 2 7π , 2 3π , 2 −π,

2

(1)− π , (1) 3π , (1) 7π , (1)− 5π 8 8 8 8 q  q  q  q  4 2 4 2 4 2 , , , 4 23 3 3 3π 3 7π π −8

3 4 5 6 7 8 9

8

8

8

8

1

q  4

1 2

q  4

2 5

q  4

1 3

q  4

2 7

q  4

1 4

q  4 2 9

q  4

1 5

− 8π

− 8π

− 8π

− 8π

− 8π

− 8π

− 8π

8

, , , , , , ,

q  4

1 2

q  4

2 5

q  4

1 3

q  4

2 7

q  4

1 4

q  4 2 9

q  4

1 5

3π 8

3π 8

3π 8

3π 8

3π 8

3π 8

3π 8

8

, , , , , , ,

q  4

1 2

q  4

2 5

q  4

1 3

q  4

2 7

q  4

1 4

q  4 2 9

q  4

1 5

7π 8

7π 8

7π 8

7π 8

7π 8

7π 8

7π 8

, , , , , , ,

q  4

1 2

q  4

2 5

q  4

1 3

q  4

2 7

q  4

1 4

q  4 2 9

q  4

1 5

− 5π 8

− 5π 8

− 5π 8

− 5π 8

− 5π 8

− 5π 8

− 5π 8

− 5π 8

2. (Valoraci´on de un 25 %) Discutid el siguiente sistema lineal de ecuaciones dado en forma matricial, donde a es la primera cifra de la derecha de vuestro IDP del campus UOC y b ∈ R es un par´ametro. Resolvedlo en los casos en que sea posible.      x a b 1 1  1 b 1  y  =  a  z a 1 1 b

Soluci´ on: Recordemos que antes de proceder a buscar las soluciones de un sistema de ecuaciones, puede resultar conveniente estudiar el sistema para saber si ´ este ser´ a o no compatible. Este proceso de determinar el tipo de sistema al que nos enfrentamos se llama discusi´ on del sistema. Para ello, utilizaremos el Teorema de Rouch´ e-Fr¨ obenius [ver m´ odulo: Sistemas de ecuaciones lineales, secci´ on 4], el cual nos dice que dado un sistema de m ecuaciones lineales y n inc´ ognitas, con A la matriz de coeficientes del sistema y M la matriz ampliada, se cumple lo siguiente: Si rg(A) = rg(M ) = n, entonces se tiene un sistema compatible determinado (SCD).

7

´ · PEC S´ıntesis 75.557 · Algebra 2020-21-Sem.1 · Oto˜ no Estudios de Inform´ a tica, Multimedia y Telecomunicaci´ on

Si rg(A) = rg(M ) = r < n, entonces se tiene un sistema compatible indeterminado (SCI). En esta situaci´ on se dice que el sistema tiene n − r grados de libertad. Si rg(A)...