PEC1 Solucion PDF

Preview

Summary

PEC1 Solucion Oficial...

Description

´ · PEC1 75.557 · Algebra 2019-20-Sem.2 · Primavera Estudios de Inform´ a tica, Multimedia y Telecomunicaci´ on

Presentaci´ on En este documento se detallan las instrucciones de realizaci´on de la PEC as´ı como el enunciado y la resoluci´on de la actividad.

Competencias En esta PEC se trabajar´an las siguientes competencias: - Dominar el lenguaje matem´atico b´asico para expresar conocimiento cient´ıfico. - Conocer fundamentos matem´aticos de las ingenier´ıas en inform´atica y telecomunicaci´on. - Conocer y representar formalmente el razonamiento cient´ıfico riguroso. - Conocer y utilizar software matem´atico. - Analizar una situaci´on y aislar variables. - Capacidad de s´ıntesis. - Capacidad de abstracci´on. - Capacidad de enfrentarse a problemas nuevos recurriendo conscientemente a estrategias que han sido u ´tiles en problemas resueltos anteriormente.

Objetivos Los objetivos concretos de esta PEC son: - Revisar y completar los conceptos sobre los n´ umeros naturales y sus propiedades. - Conocer el concepto de inducci´on matem´atica y su aplicaci´on a la demostraci´on de propiedades. - Conocer el conjunto de los n´ umeros complejos y entender su utilidad. Conocer c´omo se representan y aprender a manipularlos. 1

´ · PEC1 75.557 · Algebra 2019-20-Sem.2 · Primavera Estudios de Inform´ a tica, Multimedia y Telecomunicaci´ on

Descripci´ on de la PEC a realizar En esta PEC se trabajar´an los n´ umeros y el principio de inducci´on. En particular, se pondr´a un ´enfasis especial en dos conjuntos concretos de n´ umeros: los naturales y los complejos.

Recursos Recursos B´ asicos - El m´odulo 1 en pdf editado por la UOC. - La calculadora CalcMe, tanto en su versi´ on en l´ınea como local. - Las gu´ıas UOC de la CalcME: https://docs.wiris.com/es/calc/basic guide uoc/start

Recursos Complementarios ´ - Castellet, Manuel (1990). Algebra lineal y geometr´ıa / Manuel Castellet, Irene Llerena amb la col·laboraci´o de Carles Casacuberta. Bellaterra: Servei de Publicacions de la Universitat Aut`onoma de Barcelona, 1990. ISBN: 847488943X - Anton, Howard (1997). Introducci´ on al ´ algebra lineal / Howard Anton. M´exico, D.F. [etc.]: Limusa, 1997. ISBN: 9681851927 - El aula Laboratorio CalcME.

Criterios de valoraci´ on - Los resultados obtenidos por el estudiante en las PECs se calificar´ an de 0 a 10 en funci´on de la siguiente escala num´erica, usando dos decimales, a la que se a˜ nadir´a su correspondiente calificaci´on cualitativa, seg´ un la escala ECTS: • [0 − 3): Suspenso bajo (D) • [3 − 5): Suspenso alto (C-)

2

´ · PEC1 75.557 · Algebra 2019-20-Sem.2 · Primavera Estudios de Inform´ a tica, Multimedia y Telecomunicaci´ on

• [5 − 7): Aprobado (C+) • [7 − 9): Notable (B) • [9, 10]: Excelente (A) - La realizaci´on fraudulenta de la PEC comportar´a la nota de suspenso en la PEC, con independencia del proceso disciplinario que pueda seguirse hacia el estudiante infractor. Recordad que las PECs se tienen que resolver de forma individual, no se pueden formar grupos de trabajo. - Una vez publicada la nota definitiva de la PEC, no hay ninguna opci´on a mejorarla. La nota s´olo servir´a para la evaluaci´ on en el semestre actual y, en ning´ un caso, ´esta no se guardar´a para otros semestres. - Las respuestas incorrectas no descuentan nada. - Las PECs entregadas fuera del plazo establecido no punt´ uan y constar´an como no presentadas. - La nota de EC se computa a partir de las 3 mejores PECs que entregu´eis, de las 4 que se realizan durante el curso. Para optar a MH, sin embargo, hay que entregar las 4 PECs. - Es necesario resolver un cuestionario Moodle que complementa esta PEC. - Del cuestionario pueden realizarse 5 intentos. La nota del cuestionario es la m´axima puntuaci´on obtenida en los 5 intentos. - En la realizaci´on de la PEC, se valorar´a: • el uso correcto y coherente de conceptos te´ oricos estudiados en el m´odulo (10 % del valor de cada ejercicio), • la claridad, concreci´on y calidad en la exposici´on de la soluci´on de los ejercicios (10 % del valor de cada ejercicio), • la capacidad de presentar adecuadamente la PEC (orden, formato, correcci´on ortogr´afica y de estilo, recursos tipogr´aficos utilizados, tablas. . . .) (10 % del valor de cada ejercicio), • la correcta resoluci´ on del ejercicio y la justificaci´ on de los procedimientos (70 % del valor de cada ejercicio).

Formato y fecha de entrega - Esta parte de la PEC representa el 80 % de la nota final y el 20 % restante se obtiene realizando las actividades Moodle asociadas a la etiqueta PEC1-evaluaci´ on. 3

´ · PEC1 75.557 · Algebra 2019-20-Sem.2 · Primavera Estudios de Inform´ a tica, Multimedia y Telecomunicaci´ on

- Recordad que es necesario que justifiques las respuestas. - El nombre del fichero tiene que ser Apellido1 Apellido2 Nombre.PDF. - En la direcci´on de Internet http://www.dopdf.com/ pod´eis descargaros un conversor gratuito a formato pdf. Otro conversor gratuito, en este caso online y para documentos con formado Word, lo pod´eis hallar en http://www.expresspdf.com/ - En la soluci´on de esta PEC se puede usar CalcMe como editor de ecuaciones y/o ayuda para comprobar los resultados. Para utilizar la i, de los n´ umeros complejos, con CalcMe deb´eis utilizar el icono que aparece en la herramienta S´ımbolos (no la i del teclado del ordenador). - En el examen final presencial no es posible utilizar ning´ un tipo de calculadora por lo que es aconsejable realizar los c´alculos de las PECs sin utilizar dicho instrumento. - Recordad que el l´ımite de entrega de la PEC son las 24.00h. del d´ıa 09/03/2020

4

´ · PEC1 75.557 · Algebra 2019-20-Sem.2 · Primavera Estudios de Inform´ a tica, Multimedia y Telecomunicaci´ on

Responded las siguientes preguntas razonadamente: 1. (Valoraci´ on de un 50 %) Demostrad, umero natural,  por inducci´ on, que, para cualquier n´  . n > 1, se cumple que: 1 − 14 · 1 − 91 ·. . .· 1 − n12 = n+1 2n

Soluci´ on: En este caso no se trata de demostrar una propiedad sino una identidad.   Es f´ a cil probar que esta identidad es verdadera para n = 2: 1 − 41 = 34 . Cierto.      Supongamos cierta la hip´ otesis para n, es decir, supongamos cierto que 1 − 41 · 1 − 19 ·. . .· 1 − n12 = n+1 y probaremos si la hip´ otesis es cierta para n + 1, es decir, queremos ver si es cierta la identidad 2n siguiente:       (n+1)+1 1 1 − 14 · 1 − 91 ·. . .· 1 − n12 · 1 − (n+1) = 2(n+1) . 2 Partimos de:     1 − 14 · 1 − 91 ·. . .· 1 −

1 n2

 · 1−

1 (n+1)2





=

Por hip´ otesis de inducci´ on sabemos que 1 −   n+1   1 = 2n · 1 − (n+1) = 2

1 4

   · 1 − 19 ·. . .· 1 −

1 n2



=

n+1 2n

.

Desarrollamos la expresi´ on anterior.  n+1   n2 +2n  (n+1)·n·(n+2) = 2n · (n+1)2 = 2n·(n+1)2 = Eliminamos del numerador y del denominador las expresiones que son iguales. =

(n+2) 2(n+1)

=

(n+1)+1 2(n+1)

Y llegamos a lo que quer´ıamos demostrar. Entonces, por el principio de inducci´ on matem´ a tica, la identidad es cierta para cualquier n´ umero natural n > 1.

2. Responded a los siguientes apartados: a) (Valoraci´ on de un 25 %) Pasad a forma polar el siguiente complejo: (3 + 4i) la respuesta.

−1

. Razonad

Soluci´ on: 5

´ · PEC1 75.557 · Algebra 2019-20-Sem.2 · Primavera Estudios de Inform´ a tica, Multimedia y Telecomunicaci´ on

Debemos saber cu´ a l es el n´ umero complejo que obtenemos de la fracci´ on dada. Para ello multiplicamos y dividimos por el conjugado del denominador (tal como se explica en el apartado 3.3.4., p´ a gina 26, del material sobre la divisi´ on de n´ umeros complejos en forma bin´ omica) y agrupamos parte real y parte imaginaria. Tambi´ en debemos tener presente que i2 = −1: 1 3 −4 i 3 −4 i 3 4 (3 + 4i)−1 = 3+4i = 9+16 i = (3+43−4i = 32 − = 25 − 25 42 ·i2 i)·(3−4i) Por tanto, la respuesta es: 4 3 − 25 (3 + 4i)−1 = 25 i A continuaci´ on pasamos a forma polar el n´ umero anteriormente hallado. Tal como se explica en el apartado 3.4., p´ a gina 27 del material, sobre la forma polar de los n´ umeros complejos: q  q q   2 2 −1 16 3 9 25 + −4 m= + 625 = 51 = 5 = 625 = 25 625 25  −4  o o α = arctan 3 = −53 = 307 NOTA ACLARATORIA: Sabemos que la tangente de un a´ngulo vale −4 en 307o y en 127o . 3 Como el afijo del punto buscado es (3, −4) el a´ngulo est´ a en el cuarto cuadrado, es decir, en 307o . Como se dice en el ejercicio 19 de autoevaluaci´ on, cuando queremos pasar un n´ umero de forma bin´ omica a forma polar, es muy importante, con vista a no equivocarnos en el resultado, hacer el dibujo. Por lo tanto, lo primero que hacemos es dibujar el n´ umero 3−4i en el plano complejo. Este n´ umero est´ a asociado al punto (3, −4), por lo tanto, es un n´ umero que se encuentra en el cuarto cuadrante.   Tenemos, por tanto, que: (3 + 4i)−1 = 5−1 307o

b) (Valoraci´ on de un 25 %) Resolved la ecuaci´on: z 2 − z + (2i + 4) = 0. Proporcionad las soluciones en forma bin´omica.

Soluci´ on: Para resolver la ecuaci´ on z 2 − z + (2i + 4) = 0 seguiremos el ejemplo de la p´ a gina 16 as´ı como los ejercicios 6 y 7 de la p´ a gina 49 del material. Primero aplicamos la f´ ormula de resoluci´ on de la ecuaci´ on de segundo grado: √ √ √ 1± (−1)2 −4·1·(2i+4) 1± 1−8i−16 1± −15−8i = = z= 2 2 2 A continuaci´ on calculamos las dos ra´ıces cuadradas del n´ umero complejo −15 − 8i en forma polar tal como se explica en el apartado 3.4, p´ a gina 27 del material, sobre la forma polar de los n´ umeros complejos: q m = (−15)2 + (−8)2 = 17   −8 α = arctan −15 = 208o

6

´ · PEC1 75.557 · Algebra 2019-20-Sem.2 · Primavera Estudios de Inform´ a tica, Multimedia y Telecomunicaci´ on

NOTA ACLARATORIA: Sabemos que la tangente de un a´ngulo vale 158 en 208o y en 28o . Como el afijo del punto buscado es (−15, −8) el a´ngulo est´ a en el tercer cuadrante, es decir, en 208o . Como se dice en el ejercicio 19 de autoevaluaci´ on, cuando queremos pasar un n´ umero de forma bin´ omica a forma polar, es muy importante, con vista a no equivocarnos en el resultado, hacer un dibujo. Por lo tanto, lo primero que hacemos es dibujar el n´ umero −15 − 8i en el plano complejo. Este n´ umero est´ a asociado al punto (−15, −8), por lo tanto, es un n´ umero que se encuentra en el tercer cuadrante. Tenemos, por tanto, que: −15 − 8i = 17208o Como nos piden las ra´ıces cuadradas debemos hacer (observemos que en el apartado 3.6.1 de la p´ a gina 43 del material se hace lo mismo pero con las ra´ıces c´ ubicas de la unidad): √ √ para k = 0, 1 −15 − 8i = 17 208o +360o k 2 √ Esto es, el m´ odulo de las ra´ıces es r = 17 o o k para k = 0, 1 Los argumentos de las ra´ıces son β = 208 +360 2 Si k = 0, tenemos que β0 = 104o Si k = 1, tenemos que β1 = 284o A continuaci´ on pasamos a n´ umero binario estos n´ umeros polares encontrados: √ √ 17 o = 17·(cos 104 + i sin 104) = −1 + 4i √ 104 √ 17284o = 17·(cos 284 + i sin 284) = 1 − 4i

Regresamos a donde nos hab´ıamos quedado de la ecuaci´ on:   1−1+4i = 2i   2  1+1−4i  √  √ √ = 1 − 2i  1± (−1)2 −4·1·(2i+4) 8i−16 2 = 1± 1− = 1± −15−8i z= = 1+1−4i 2 2 2 = 1 − 2i   2     1−1+4i = 2i 2 Por tanto, las soluciones de la ecuaci´ on dada son: z1 = 2i y z2 = 1 − 2i Comprobaci´ on (no es necesario hacerla en la PEC), si hacemos el siguiente producto vemos que el resultado coincide con la ecuaci´ on dada inicialmente: (z − 2i)·(z − (1 − 2i)) = 0 ⇔ z 2 − z + 2iz − 2iz + 2i + 4 = 0 ⇔ z 2 − z + 2i + 4 = 0

NOTA: En la realizaci´ on de los ejercicios puede ser que necesit´eis utilizar alg´ un/os de los siguientes valores: o o α 0o 28o 30o 45 90o 104o 127o 180o 208o 284o 307o 315 √ √ 2 8 4 1 8 4 4 4 2 √ √ -5 − 2 sin α 0 0 − 17 − 17 1 17 2 5 2 17 cos α

1

tan α

0

15 17 8 15

√ 3 2 √ 3 3

√ 2 2

0

− √117

- 53

−1

− 15 17

√1 17

1

∞

−4

- 34

0

8 15

−4

3 5 − 43

√ 2 2

−1

7

330o − 21 √ 3 2√ − 33...