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Guía informe del magister Ivan fuentes ...

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Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias y Tecnología Departamento de Física

Docente: Fuentes Miranda Ivan Asignatura: Laboratorio de Física 102

Cochabamba – Bolivia

PRÁCTICA 4

PÉNDULO FÍSICO 4.1 RESUMEN En la anterior práctica de laboratorio se habló bastante de los movimientos oscilatorios y las características que estos cumplen, para no redundar en esta nueva práctica ingresaremos directamente a la descripción del péndulo Físico. Llamamos péndulo a todo cuerpo que puede oscilar con respecto de un eje fijo. Si en el extremo de un hilo suspendido sujetamos un cuerpo cualquiera, habremos construido un péndulo físico. Por esto, todos los péndulos que se nos presentan (columpios, péndulo de reloj, una lámpara suspendida, la plomada) son péndulos físicos.

En esta práctica utilizamos un cuerpo metálico constituido por una varilla y una espera unida al extremo inferior de la varilla, dos cronómetros, un soporte donde se hará oscilar al objeto, un pivote con sujetador, y un flexómetro. Los pasos realizados fueron: Nivelar el equipo, ya que en este caso es primordial que el péndulo oscile recto. Buscar el centro de masa del objeto. Hacer oscilar el objeto desde puntos diferentes a su centro de masa. Tomar el tiempo de diez oscilaciones, en seis repeticiones para longitudes desde 0.75m hasta 0.10m. Introducir los datos en la tabla 1 Hallar el promedio del tiempo de las 10 oscilaciones y dividir entre 10 para hallar el periodo , introducir estos datos en la tabla 2 Graficar el periodo en función de la longitud.(gráfica 1)

Buscar una relación funcional par b ( distancia del eje al centro de masa) y T ( periodo) a partir de la gráfica 1 La relación funcional buscada es b 2 

g 4 2

bT 2  k 2 que sale a partir de la ecuación de periodo

k 2  b2 , esta relación es lineal por lo tanto nos facilita el trabajo con los datos, y gracias a gb ello podemos utilizar mínimos cuadrados para estandarizar a una recta. Realizar la gráfica b2 en función a b T2 (gráfica 2)y hallar la ecuación de esa recta Realizamos el método de mínimos cuadrados con X=b T2 y Y = b2 El valor de B será igual a g/4π2 y el de A será – k2 Hallar el valor de la gravedad y del radio de giro Propagar errores y hallar el error de la gravedad y del radio de giro En este caso teóricamente el valor de la gravedad hallado en esta ocasión debe ser más cercano al estándar de lo que fue la gravedad con péndulo simple, ya que este movimiento es mucho más generalizado, es decir más real. La gravedad que hallemos tiene que ser muy cercana a T  2

9.78 m/s2, ya que esa es la gravedad en Cochabamba.

4.2 Objetivo  Determinar el valor del radio de giro respecto del centro de masa.  Determinar el valor de la aceleración de la gravedad en Cochabamba.

4.3 Marco Teórico Cualquier cuerpo rígido suspendido de un eje fijo que no pasa por el centro de masa recibe el nombre de péndulo físico. En la Figura (1.a) se muestra un cuerpo de forma irregular, que se encuentra en su posición de equilibrio, donde el centro de masa C y el eje de oscilación O se encuentran sobre la misma línea vertical. En la Figura (1.b) el cuerpo se encuentra desplazado en un ángulo de su posición de equilibrio. Si se suelta el cuerpo a partir de esa posición empezará a oscilar formando un péndulo físico donde: la distancia del centro de masa al eje de oscilación es b, además I es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje O.

(a)

(b)

Figura 1: Péndulo Físico

El torque restaurador del movimiento oscilatorio se debe a la componente tangencial de la fuerza gravitacional, en este caso:    M g b sen (1) La ecuación (1) no cumple la condición del movimiento armónico simple, pero si se considera desplazamientos angulares pequeños es válida la aproximación sen    , de manera que la ecuación (1) será:    mgb sen (2) Además el torque para un sólido está dado por: (3)

  I Donde la aceleración angular está dada por: d 2   2 dt

(4)

Reemplazando las ecuaciones (2) y (4) en la ecuación (3) se obtiene: d 2 mgb   0 dt 2 I

(5)

La forma de la ecuación (5) corresponde al caso del movimiento armónico simple, a partir de esta ecuación se expresa el período (T) de un péndulo físico como:

T  2

I mgb

(6)

2 2 2 Aplicando el teorema de Steiner y la definición de radio de giro: I  I cm  mb  mk  mb , donde k es el radio de giro del péndulo físico respecto a un eje fijo que pasa por su centro de masa. La ecuación (6) también se puede expresar como:

T  2

k 2  b2 gb

(7)

Despejando b2 en la ecuación (7): g bT 2  k 2 (8) 4 2 Por otro lado, comparando la ecuación (7) con el periodo del péndulo simple L, se obtiene: b2 

k 2  b2 (9) b La longitud de la ecuación (9) se denomina la longitud equivalente del péndulo físico. El comportamiento del período T en función a la distancia b se ilustra en la Figura 2, donde el período es mínimo para una distancia igual al radio de giro. L

Figura 2 Gráfica del Período T en función de la distancia b

Se denominan puntos conjugados aquellos puntos para los cuales se tiene el mismo periodo T (b1 )  T (b2 ) , observando la Fig. 2 existen infinitos puntos conjugados. Es fácil demostrar que los puntos conjugados satisfacen la siguiente relación: k 2  b 1b 2 Asimismo la longitud equivalente del péndulo simple para los puntos conjugados será: L  b1  b2

(10)

(11)

4.4 Materiales Soporte del equipo Péndulo físico Soporte y eje graduable de suspensión en forma de cuchilla Cronómetros Flexómetro

4.5 Procedimiento Experimental 1. Nivele al plano horizontal el soporte del equipo utilizando para ello los tornillos de apoyo y un nivel. 2. Ubique el centro de masa (marcado con un cero) del péndulo físico formado por una esfera soldada al extremo de una varilla. 3. Registre el número de péndulo utilizado que se encuentra en el extremo libre de la varilla. 4. Coloque el péndulo físico sobre el soporte sujetándolo con la cuchilla a 5 cm sobre el centro de masa, de manera que la esfera se encuentre en la parte inferior. 5. Desplace la esfera a partir de su posición de equilibrio ángulos menores a 10 y suelte la esfera produciendo un movimiento armónico simple. 6. Determine el período de oscilación T, y registre la distancia b del eje de rotación al centro de masa. 7. Incremente gradualmente la distancia b en 5 cm y determine el período T en cada caso. Sugerencia: Para determinar el período de oscilación, mida el tiempo requerido para 10 oscilaciones 5 veces y obtenga un promedio de estos tiempos. Finalmente el período será el tiempo promedio entre 10.

4.6 Registro de Datos En la Tabla 1 registre la distancia b del centro de masa al eje de oscilación y los tiempos (t1, t2, t3, t4 y t5) medidos simultáneamente con 5 cronómetros, donde cada tiempo corresponde a 10 oscilaciones.

Tabla 1 Datos de la Distancia b y los Tiempos para 10 oscilaciones No

b[m]

t1(s)

t2(s)

t3(s)

t4(s)

t5(s)

t6(s)

1

0.75

18.59

18.70

18.60

18.85

18.90

18.64

2

0.70

18.43

18.47

18.52

18.39

18.49

18.33

3

0.65

18.02

17.96

17.95

17.87

17.93

17.86

4

0.60

17.59

17.52

17.62

17.50

17.47

17.45

5

0.55

17.13

17.12

17.07

17.08

17.07

17.09

6

0.50

16.84

16.60

16.80

16.63

16.76

16.68

7

0.45

16.38

16.39

16.37

16.33

16.31

16.29

8

0.40

15.93

16.00

16.03

16.02

15.97

16.01

9

0.35

15.77

15.82

15.85

15.87

15.84

15.83

10

0.30

15.79

15.77

15.77

15.72

15.70

15.61

11

0.25

18.84

15.89

15.95

15.79

15.88

15.77

12

0.20

16.60

16.47

16.45

16.44

16.56

16.52

13

0.15

17.60

17.75

17.77

17.80

17.78

17.72

14

0.10

20.47

20.56

20.54

20.60

20.51

20.62

4.7 Cálculos A partir de los datos de la Tabla 1 complete la Tabla 2, donde t es el tiempo promedio de t1, t2, t3, t4 y t5. El período de oscilación T se obtiene dividiendo t entre 10.

Tabla 2 Datos del Tiempo, Período y la distancia b

i

t [s]

1

18.713333

0.75 1.871333

2

18.438333

0.70 1.843833

3

17.931667

0.65 1.793167

4

17.525000

0.60 1.752500

5

15.426667

0.55 1.542667

6

16.718333

0.50 1.671833

7

16.345000

0.45 1.634500

8

15.993333

0.40 1.599333

9

15.830000

0.35 1.583000

10

15.726667

0.30 1.572667

11

16.353333

0.25 1.635333

12

16.506667

0.20 1.650667

13

17.736667

0.15 1.773667

14

20.550000

0.10 2.055000

b[m]

T [s]

Gráfica 1 Periodo vs. Longitud 2,5

2

1,5

T[s] 1

0,5

0 0

0,1

0,2

0,3

0,4

b[m]

0,5

0,6

0,7

0,8

La gráfica 1 no presenta un comportamiento lineal, ni exponencial, ni potencial. Para linealizar, a partir de la ecuación (7) obtenga una expresión para b 2 (despeja b 2 ) y escriba en el recuadro esta expresión:

b²=A+BxT²b

2

Complete la Tabla 3 a partir de los datos de la Tabla 2. En la Gráfica 2 grafique b en función de T 2 b

TABLA 3 DATOS DEL TIEMPO, PERIODO Y LONGITUD

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

T 2 [ s2 ]

T 2 b [s2 m]

b 2 [ m2 ]

3.5019

2.6264

0.5625

3.3997

2.3798

0.4900

3.2154

2.0900

0.4225

3.0713

1.8428

0.3600

2.9218

1.6070

0.3025

2.7950

1.3975

0.2500

2.6716

1.2022

0.2025

2.5579

1.0231

0.1600

2.5059

0.8771

0.1225

2.4733

0.7420

0.0900

2.6743

0.6686

0.0625

2.7247

0.5449

0.0400

3.1459

0.4719

0.0225

4.2230

0.4223

0.0100

GRAFICA 2 Periodo versus Longitud

y = 0,2476x - 0,0946 R2 = 0,9998

0,6

0,5

b^2 [m^2]

0,4

0,3

0,2

0,1

0 0

0,5

1

1,5

T^2 * b [ s^2 m]

2

A partir de la Gráfica 2 escriba la ecuación de ajuste:

b2 = 0,2476T2 *b - 0,0946

2

Determine la relación funcional b = f[ T 2 b ] usando el método de mínimos cuadrados:

2,5

3

Determinación de los parámetros de la ecuación de ajuste y sus correspondientes errores. ∑y∑x2 -∑xy∑x A=  A = -0.094688692 n∑x2 - (∑x)2 n∑xy -∑x∑y B= B = 0.247710272 n∑x2 - (∑x)2 r = 0.999908664 r2 = 0.999817337 ∑d i 2= ∑y2 + n A2 + B2∑x2 - 2A∑y – 2B∑xy + 2 AB ∑x ∑d i 2= 7.838433 × 10-5 ∑d i 2 σ² = σ² = 6.5320275 × 10-6 n–2 ∆ = n∑x2 - (∑x)2 ∆ = 97.89067423 A ± σA  σA = √ ∑x2 σ² / ∆ σA = 1.409345236 × 10-3

σA = 0.001



A = [-0.095 ± 0.001] [m2] , 1%

B ± σB  σB = √ n σ² / ∆ σB = 9.665344991×10-4

σB = 0.001



B = [0.248 ± 0.001] [ m/s2] ; 0.4%

b2 = A + B T2 b

 b2 = - 0.095 + 0247 T2 b

A partir de los parámetros encontrados en el ajuste determine el valor de la aceleración de la gravedad y el radio de giro con sus respectivos errores

Determinación del valor de la aceleración de la gravedad con su error.

b2 = - 0.095 + 0247 T2 b

 g = (0.247710272) × 4π2 g = 9.779209573 [ m/s2]

∂g e gravedad = * eB ∂B e gravedad = 4π2 × eB e gravedad = 0.038157252

→ eg = 0.04

g: [9.78 ± 0.04] [m/s2] ; 0.4%

Aceleración de la gravedad

Determinación del valor del radio de giro con su error.

b2 = - 0.095 + 0247 T2 b

K = √-(-0.094688692) K = 0.307715277 [m]

∂k e k = * eA ∂A e k = (½) (-A) ½ × eB e k = 2.290015052 × 10-3

→ eg = 0.002

K: [0.308 ± 0.002] [m] ; 0.6%

Aceleración de la gravedad

4.8 Resultads Escribe el valor de los parámetros encontrados, A y B, más sus errores y el factor de correlación r:

A = [-0.095 ± 0.001] [m2] , 1% B = [0.248 ± 0.001] [ m/s2] ; 0.4% r = 0.999908664

2

La ecuación de ajuste b = f[ T 2 b ] es: b2 = - 0.095 + 0247 T2 b

El valor del radio de giro k y su error es: K= [0.308 ± 0.002] [m]; 0.6%

4.9 Cuestionario 1. ¿Qué es un péndulo físico? El péndulo físico, también llamado péndulo compuesto, es un sistema integrado por un sólido de forma irregular, móvil en torno a un punto o a eje fijos, y que oscila solamente por acción de su peso. Este péndulo es una representación mucho más generalizada que el péndulo simple donde suponíamos la oscilación de una partícula.

2. ¿Cuál es la interpretación física del radio de giro k? El radio de giro corresponde a un punto que acumulara toda la masa teniendo el mismo momento de inercia. Entonces el momento de inercia sería I = m * d² siendo d el radio de giro, m la masa del cuerpo e I el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de giro por lo tanto d= (I / m)^(½) d = raíz cuadrada de (I / m) Tomando la ecuación del período del péndulo físico: T = 2 * pi * (I/(m*g*d))^(½) reemplazando I = m*d² (d = radio de giro) queda: T = 2 * pi * (m*d² /(m*g*d))^(½) y simplificando queda: T = 2 * pi * (d/g))^(½) que es la ecuación del período del péndulo ideal.

3. Explique el teorema de Steiner. El teorema de Steiner establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de gravedad, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de gravedad más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes:

Donde: Ieje es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de masa; I(CM)eje es el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por el centro de gravedad; M - Masa Total y h - Distancia entre los dos ejes paralelos considerados. La demostración de este teorema resulta inmediata si consideramos la descomposición de coordenadas relativa al centro de masas C inmediata:

Donde el segundo término es nulo puesto que la distancia vectorial promedio de masa en torno al centro de masa es nula, por la propia definición de centro de masa.

4. ¿Qué mide el momento de inercia de un sólido rígido? El momento de inercia o inercia rotacional es una magnitud que da cuenta de cómo es la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas alrededor de uno de sus puntos. En el movimiento de rotación, este concepto desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Representa la inercia de un cuerpo a rotar.

El momento de inercia (escalar) de una masa puntual rotando alrededor de un eje conocido se define por

donde m es la masa del punto, y r es la distancia mínima entre ella y el eje de rotación. 5. El período del péndulo físico ¿depende del momento de inercia y del peso del péndulo? El periodo de un péndulo físico que oscila con pequeña amplitud es:

Para amplitudes mayores, el péndulo físico sigue teniendo un movimiento armónico, pero no simple. Como se puede observar en la fórmula de periodo para péndulo físico, el periodo si depende momento de inercia y también de la masa del péndulo y de la gravedad, pero además depende de la distancia que existe entre el centro de masas y el eje de oscilación representado por d.

k 2  b2 Pero la ecuación para hallar periodo también puede ser expresada en función la gb radio de giro k, la distancia del centro de masa al eje de rotación b, y por la gravedad, ambas relaciones son correctas. T  2

6. ¿Qué tipo de relación funcional existe entre el período de oscilación y la distancia del eje de rotación al centro de masa del péndulo físico? Explique k 2  b2 T  2 gb Como ya se estuvo explicando en la anterior pregunta el periodo de un péndulo simple también puede encontrarse en función del radio de giro, la distancia entre eje de rotación con el centro de masa y la gravedad, esta relación aparece debido a la sustitución del momento de inercia por la relación dada por el teorema de Steiner. En este trabajo de laboratorio en particular utilizaremos la relación: g b2  bT 2  k 2 2 4 Para hallar el valor de la gravedad y del radio de giro, además tomamos esta relación , ya que si se observa cuidadosamente esta relación es lineal. Y nuestro trabajo se facilita.

7. Calcule la diferencia porcentual entre los valores encontrados para la aceleración de la gravedad del péndulo simple respecto al péndulo físico. [9.77 ± 0.54] [m/s2] ; 6% Aceleración de la gravedad hallado con péndulo simple [9.78 ± 0.04] [m/s2] ; 0.4%

Aceleración de la gravedad hallada con péndulo físico

La diferencia porcentual entre la gravedad del péndulo físico con el simple es de 1% , lo que significa que el péndulo físico es más exacto, más real en el cálculo de la gravedad. 8. Calcule teóricamente el momento de inercia del péndulo físico respecto de su centro de masa. Sugerencia: Mida la longitud de la varilla y el radio de la esfera del péndulo. M = [694,2 ± 0,1] [gr]; 0,01% D es = [47,52 ± 0,02] [mm]; 0,04 % D va = [6,54 ± 0,02]; [mm]; 0,3 % L va = [99,5± 0,1]; [cm]; 0,1 %

9. Calcule experimentalmente el momento de inercia del péndulo físico respecto de su centro de masa. Sugerencia: Utilizar el valor encontrado del radio de giro k respecto del centro de masa. K= [0.308 ± 0.002] [m]; 0.6%

OBSERVACIÓN: Debido a un error no se pudo ...