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Pendulo Fisico - FISICA II...

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA INSTITUTO DE FÍSICA DEPARTAMENTO DE FÍSICA GERAL FIS122 – FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II-E / LABORATÓRIO TURMA P17 DATA: 13/09/2014 EQUIPE: Ana Carolina A da N Petitinga Anna Paula Santos Prado Juliana Mutti C A. de Santana Priscilla Vanessa P. dos Santos

PÊNDULO FÍSICO

I - INTRODUÇÃO O estudo das oscilações foi fundamental para o desenvolvimento da física. O pêndulo físico, qualquer corpo rígido suspenso por um ponto fixo P que realize movimento oscilatório em torno do eixo horizontal passando por P e restrito a um plano vertical, fornece base para o entendimento de movimentos que sejam gerados pela atuação de uma força restauradora, característica de sistemas oscilatórios. O pêndulo físico, ou pêndulo composto, é qualquer sistema suspenso por um ponto O, que pode girar em torno de um eixo horizontal que passa por este ponto. Ele compreende uma vasta gama de situações reais, e não se sujeita às condições quase ideais definidas para o pêndulo simples. É claro que o pêndulo simples restrito a oscilações em um plano é um caso especial do pêndulo físico. Utilizaremos o conceito de momento de inércia, que depende da massa e do raio do eixo de rotação escolhido, para analisar estes movimentos. 

O Pêndulo Físico A posição de equilíbrio do pêndulo físico é aquela em que o centro de gravidade do corpo está no plano vertical que passa pelo eixo de sustentação. No caso onde a gravidade é constante, o centro de gravidade coincide com o centro de massa do corpo (caso deste experimento). Quando o pêndulo é deslocado da sua posição de equilíbrio, o torque restaurador será proporcional ao produto da força (mg) pela distância s do ponto onde ela é aplicada até o centro de massa do corpo.



Objetivos do experimento 1. Executar medidas de freqüência de um pêndulo físico de modo a relacioná-la com a geometria e distribuição de massa que o caracteriza; 2. observar movimentos complexos que aparecem quando consideramos um sistema de pêndulos acoplados. II – MATERIAL NECESSÁRIO 1. Haste de acrílico com furos 2. Raio de roda de bicicleta 3. Cronômetro ou relógio 4. Bases, garras e barras cilíndricas. 5. Sistema de pêndulos acoplados III – PROCEDIEMNTO EXPERIMENTAL

Utilizamos uma barra de alumínio de 39,9 centímetros de comprimento e 128,4 gramas de massa dotada de doze furos. Fizemos a barra, sustentada por uma haste, oscilar em torno de eixos que passavam por cada um dos furos, medindo com um cronômetro o tempo de dez oscilações por vez, para obtermos o período do movimento com mais precisão, e assim encontrar o período médio. Anotamos os valores obtidos para o período e as respectivas distâncias do eixo de oscilação ao centro de massa.

IV – TRATAMENTO DE DADOS Tabela de dados – Pêndulo físico T(seg) 0,19 0,17 0,152 0,13 s(cm)

0,112 0,091 0,071 0,051 0,032 0,02 0,012

1,022 0,972 0,945 0,918 0,927 0,972 1,012 1,126

1,26

0

1,53 1,646 ∞

Gráfico (I) T x s

No gráfico acima, nota-se que inicialmente há um decaimento considerável até o ponto em que a curva se estabilizaria no intervalo entre 0,112m e 0,13m. Após esse intervalo, um leve crescimento do período pode ser percebido. Observamos também, a existência de um ponto em que o período seria mínimo, supondo contínua a função que relaciona período e distância ao centro de massa. Os dados mostram que algumas distâncias diferentes têm períodos correspondentes iguais, o que pode ser explicado pela influência do momento de inércia da barra, que pode assumir valores iguais para duas distâncias diferentes. Através do gráfico de T x s é possível verificar que T cresce quando s  0 e quando s t  ∞ e que possui um período mínimo que pode ser calculado:

T 2 I mgs ( I é o momento de inércia da barra que é encontrada por ml²/12 + ms²) Logo:

T 2 l ²  12 s²

12 gs

Na situação de mínimo, o coeficiente angular do próprio ponto é nulo, facilitando nossa procura. Derivando o período encontrado, em função da distância s, devemos igualá-lo a zero para encontrarmos o ponto de s para Tmínimo, que denominaremos sm.. Derivando:

  T '   2 l ²  12 s²12gs  ' 0   0 = 12²g²sm²) [(24sm.12gsm -12g(l² + 12sm²)].[(12gsm)/(l²+12sm²)] Ou 12²g²sm²)[(24sm².12gsm -12g(l² + 12hsm²)] = 0 (i) ou

 12 gs     0 (ii) ² 12 ² l  s  

A solução da (ii) seria sm = 0. Solução descartada já que quando a distância entre o eixo de giração e o centro de massa é nulo o corpo não possui força restauradora tendo seu período tendendo ao infinito. Continuamos com a (i). 12²g² sm²)[(24 sm.12gsm -12g(l² + 12sm²)] = 0 [(24sm².12gsm -12g(l² + 12sm²)] = 0

l 12sm ² - l² = 0, sm² = l²/12  sm 

12

 0,115 m

Sendo o comprimento l da barra igual a 39,9cm, o período seria mínimo para h ~ 11,5cm. Valor que se encontra entre o intervalo de 0,112m e 0,13m. O período mínimo seria: T 2

0 ,399² + 12.0,115² /

12 9,8 0,115 ~ 0,95s

Gráfico (II) T x s (4 menores valores)

Observa-se que a equação de relação entre T e s, para os 4 menores valores de s, se comporta como uma função potência do tipo Y = KX m, onde m< 0. Feito o gráfico de T x s em papel log-log (em anexo) para os quatro menores valores de s, este se comporta como uma reta. Pelo teorema dos mínimos quadrados: T = Ksm log T = log K + m log s, Onde : log T = y  log K = b  log s = x  m = a. Calculando temos: s (m)

T (s)

log s

log T

log s x log T

(log s)²

0,051 0,032 0,02 0,012 0,115

1,126 1,26 1,53 1,646 5,562

-1,2924298 -1,49485 -1,69897 -1,9208188 -6,4070686

0,05153839 0,10037055 0,18469143 0,21642983 0,5530302

-0,066609753 -0,150038912 -0,313785201 -0,415722478 -0,946156344

1,67037485 2,23457659 2,88649908 3,68954469 10,4809952

a = [Σ xi] [Σ yi] – n [Σ xi yi]



a = - 0,2762862



b = - 0,3042887

[Σ xi]2 – n [Σ xi2]

2 b == [Σ xi yi] [Σ xi] –[Σ xi ] [Σ yi] 2

[Σ xi] – n [Σ x ] 2 i

Logo y = b + ax = -0,3042887 – 0,2762862 x

log k = -0,3042887 

k = 0,49626235

Assim T = 0,496 s-0,276 Tabela ajustada para os quatro menores valores de T. Novos Valores de T s (m) T (s) 1,12925469 0,051 1,28445182 0,032 1,46255888 0,02 1,68425217 0,012

Gráfico (III) Gráfico (T²s/4π²) x (s²)

Método dos mínimos quadrados Para realizar o ajuste da melhor reta, utilizamos a tabela abaixo para auxiliar no cálculo dos coeficientes angular e linear. Considerando y = T²s/4π² e x = s².

s² 0,0361 0,0289 0,023104 0,0169 0,012544 0,008281 0,005041 0,002601 0,001024 0,0004 0,000144

T²s/4π² 0,00502686 0,00406839 0,00343834 0,00277504 0,00243791 0,00217778 0,00184188 0,0016379 0,00128686 0,00118592 0,00082353

(s²) x(T²s/4π²) 0,00018147 0,00011758 0,00007944 0,00004690 0,00003058 0,00001803 0,00000928 0,00000426 0,00000132 0,00000047 0,00000012

(s²)² 0,001303 0,000835 0,000534 0,000286 0,000157 0,000069 0,000025 0,000007 0,000001 0,000000 0,000000

0,135039

0,02670041

0,000489455

0,00321716

a = [Σ xi] [Σ yi] – n [Σ xi yi]



a = 0,1036777



b = 0,001155

[Σ xi]2 – n [Σ xi2]

2 b == [Σ xi yi] [Σ xi] –[Σ xi ] [Σ yi] 2

[Σ xi] – n [Σ x ] 2 i

Sendo T2 = L2/12 + s2 4Π2

sg

T2 = L2 + s2 4Π

2

12g

T2 = y  4Π2

onde :

g L2 = b  1 = a e s2 = x assim: y = b + ax. 12g

g

Logo y = 0,0012 + 0,1037s²

Ajustando os valores de s² e T²s/4π²:

Novos Valores de

T²s/4π² 0,0361 0,004897 0,0289 0,004151 0,023104 0,003550 0,0169 0,002907 0,012544 0,002455 0,008281 0,002013 0,005041 0,001677 0,002601 0,001424 0,001024 0,001261 0,0004 0,001196 0,000144 0,001169

Encontrando uma relação entre I e s temos: T²s  as ²  b (I) 4 ² T ²s L ² / 12  s ² I / m I    (II) g g mg 4 ²

Substituindo (II) em (I): I as²  b  I 0,1302 s²  0,0014 (III) mg

Satisfazendo o teorema dos eixos paralelos: I 

0,12840,399² mL ²  0,1284s ²  I  0,1284s ²  0,0017 (IV)  ms²  12 12

Observamos que os valores da equação III e IV diferem pouco, o que pode ser justificado por erros cometidos no laboratório.

Encontrando uma relação entre k e s: k

I I k² I  k²    m m g mg

(V)

k² T ²s  (VI) g 4 ²

Substituindo (VI) em (I) k² as ²  b  k ²  9,78(0,1037s ²  0,001155) g  k 1,008 s²  0,1064

RESPOSTAS DA FOLHA DE QUESTÕES 1 – Experimentalmente, notamos que se fizermos a régua girar no seu centro de massa, a mesma oscila até o atrito o fazer parar. Isto se dá porque, matematicamente, temos que para a d ² d ²  ² 0 .Já no pêndulo físico temos que  mgs 0 equação horária do MHS é I dt ² dt² Quando comparamos as duas equações, encontramos que a frequência angular é   mgs I 2 1 Sabemos que T  e que f  logo concluímos que se s  0, consequentemente T  0 e T  f  0. 2 – A restrição de θ para valores menores que 25º se deve ao fato de que sen(θ) ≈ θ neste intervalo. Podemos, assim, aproximar a equação: Τ = -m.g.s.sen(θ) para T = -m.g.s.θ e assim resolver mais facilmente a equação diferencial do movimento. 3 –Sim, é possível que a distância do eixo ao centro de oscilações seja maior que o I ml ² ms²  comprimento da régua, visto que, matematicamente, Lo  , Lo  , assim ms ms 12 ² l Lo   s .Analisando , observamos que, quando s apresenta valores muito pequenos, Lo 12 s

tende a ser um valor grande, podendo ultrapassar os valores da própria barra. 4 Para explicar esta questão, levaremos em consideração a equação que relaciona K e s: K= √L/m; Assim K = √( L2/ 12 + ms2/ms) /m; K= √ (L2/12) + s2. Como no pêndulo físico, s está num intervalo de 0 a L/2, quando s apresentar um valor de L/2, k será igual a: K= √ (L2/12) + (L2/4), então K= L/ √3. Assim, K...