Permutationen Gruppe Ring Körper PDF

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SoSe19 Klausurvorbereitungskurs von Jameel Komaira...

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Mathe 2 für Informatiker Permutationen - Gruppe - Ring - Körper 



1 2 3 4 5 6 Aufgabe 1: Seien σ =  ,π = 2 5 3 1 6 4 und U = hπ i



1 2 3 4 5 6  4 6 1 3 2 5

 

∈ S6

a) Stellen Sie σ und π als Produkte disjunkter Zyklen dar. b) Geben Sie alle Elemente von U an. c) Bestimmen Sie : σ ◦ π und π ◦ σ ist ◦ kommutativ ? d) Bestimmen Sie σ 151 , σ −1 und π −1 .

e) Bestimmen Sie die Ordnung von σ und π ∈ S6 . f) Ist U Gruppe ? g) Geben Sie eine Untergruppe der Ordnung 2 von S6 an. h) Geben Sie eine Untergruppe der Ordnung 3 von S6 an. i) Geben Sie eine Untergruppe der Ordnung 4 von S7 an. j) Geben Sie eine Untergruppe der Ordnung 5 von S8 an. k) Für welche x ∈ S6 ist : σ ◦ x = π l) Für welche y ∈ S6 ist : σ = y ◦ π m) Für welche z ∈ S6 ist : σ = π ◦ z 

n) Sei α = 



1 2 3 4 5 , berechnen Sie die Permutation α902 4 3 1 5 2 → Bitte wenden 1

Aufgabe 2 : Es sei die Menge G := R\{−1} gegeben. Weiter sei auf G die Verknüpfung ◦ durch : a ◦ b := ab + a + b ,

für a, b ∈ G

1. Zeigen Sie, dass (G, ◦) eine abelsche Gruppe ist. 2. Lösen Sie in der Gruppe (G, ◦) die Gleichung : 3 ◦ x ◦ x = 15 3. Ist (Z\{−1}, ◦) eine Untergruppe von (G, ◦) ? Aufgabe 3 : Gegeben sei das offene, reelle Intervall I = (−1, 1] und die Verknüpfung ⊗ : I × I → I : (a, b) =

a+b ab+1

(Sie müssen nicht beweisen, dass die Menge I abgeschlossen ist bzgl. ⊗). a) Untersuchen Sie, welche Gruppeneigenschaften (I, ⊗) erfüllt. Geben Sie gegebenfalls das Neutralelement und zu jedem Elemen von I das entsprechende Inverse an, sofern diese Elemente existieren. b) Ist ⊗ kommutativ ? c) Ist (Z51 , .) ein Körper ? d) Ist (Z53 , .) ein Körper ? Aufgabe 4 : Untergruppe ∗ a) Bestimme alle Elemente von Z15 ∗ b) Zeige, dass {1, 4, 7, 13} ≤ Z15

∗ , die 2 als Element enthält. c) Finde eine Untergruppe von Z15

→ Bitte wenden 2

Aufgabe 5 : Gegeben sei R = Z5 × Z3 zusammen mit den Komponentenweisen Verknüpfungen : ⊕ : R × R → R : ((a, b), (c, d)) → (a + c mod 5 , b + d mod 3 ) ⊙ : R × R → R : ((a, b), (c, d)) → (a . c mod 5 , b . d mod 3 ) a) Bestimmen Sie alle Einheiten des Rings (R, ⊕, ⊙) . b) Ist (R, ⊕, ⊙) ein Körper ? Aufgabe 6 : Sei a ∈ R fest und X := R\{a} für alle x, y ∈ X : Sei x ◦ y := (x − a)(y − a) + a Zeigen Sie, dass (X, ◦) eine abelsche Gruppe ist. Aufgabe 7 : Komplexe Zahlen a) Berechne Realteil, Imaginärteil und Betrag von z = b) Berechne Realteil, Imaginärteil und Betrag von z =

Ich wünsche euch viel Erfolg Jameel Komaira

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−2+4i 3−i √ | 3+i| 1+3i...